第四章 曲线积分

1、第四章 曲线积分与曲面积分§1对弧长的曲线积分教学目的：了解对弧长曲线积分的概念和性质，理解和掌握对弧长曲线积分的计算法和应用 教学重点与难点：弧长曲线积分的计算 教学内容：1.1 对弧长曲线积分的概念与性质一、曲线形构件质量设一构件占面内一段曲线弧，端点为，线密度连续AoxyB求构件质量。解（1）将分割（2），（3）（4）图4-1-1二、定义 为面内的一条光滑曲线弧，在上有界，用将分成小段，任取一点， 作和，令，当时，存在，称此极限值为在上对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）记为:注意：（1）若曲线封闭，积分号（2）若连续，则存在，其结果为一常数.（3）几何意义=1，则=L（L为弧长

2、）（4）物理意义 M=（5）此定义可推广到空间曲线=（6）若规定L的方向是由A指向B，由B指向A为负方向，但与的方向无关三对弧长曲线积分的性质a：设，则=+b：=c：=。1.2 对弧长曲线积分的计算定理 设在弧上有定义且连续，方程 （），在上具有一阶连续导数，且，则曲线积分存在，且=。说明：从定理可以看出（1） 计算时将参数式代入，在上计算定积分。（2） 注意：下限一定要小于上限，< （恒大于零，>0）（3） ：, 时，=同理：，时，=(4) 空间曲线：， =例1 计算曲线积分，其中是第一象限内从点到点的单位圆弧解 () ：=图4-1-2() 若是象限从到的单位圆弧（1）=+=+=

3、+ =图4-1-3(2) 若： () =+(3) ：，=例2 计算：所围成的边界解 在上 ，= 在上 = 图4-1-4在上 =+例3 计算：解 ： 图4-1-5，=或=例4 ： 围成区域的整个边界解 = 交点=+=+ 图4-1-6 =+=+§2对坐标的曲线积分教学目的：了解对坐标曲线积分的概念和性质，理解和掌握对坐标曲线积分的计算法和应用 教学重点、难点：对坐标曲线积分的计算 教学内容：2.1 对坐标的曲线积分定义和性质一引例 变力沿曲线所作的功。 设一质点在面内从点沿光滑曲线弧移到点，受力，其中，在上连续。求上述过程所作的功解 （1）分割 先将分成个小弧段(2) 代替 用近似代替，

4、近似代替内各点的力，则沿所 做的功（3） 求和 （4）取极限 令的长度二、定义 设L为面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，函数在L 上有界.在L上沿L的方向任意插入一点列把L分成个有向小弧段设，点为 上任意取定的点.如果当个小弧段长度的最大值时，的极限总存在，则称此极限为函数在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分，记作.类似地，如果的极限值总存在，则称此极限为函数在有向曲线弧L上对坐标曲线积分，记作.即，说明 （1）当在上连续时，则，存在 （2）可推广到空间有向曲线上（3）为有向曲线弧，为与方向相反的曲线，则=，= （4）设=，则=+ 此性质可推广到=组成的曲线上。2.2 对坐标的曲线积分的计算定

5、理 设，在上有定义，且连续,当单调地从变到时，点从的起点沿变到终点，且在以，为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且，则存在，且=注意 （1）：起点对应参数，：终点对应参数 不一定小于 （2）若由 给出 （3）此公式可推广到空间曲线：，：起点对应参数，：终点对应参数例1 计算：摆线，从点到点。解 原式= = = =例2 ：（1）曲线（2）折线 起点为，终点为.解（1）原式=（2） 原式=1故一般来说，曲线积分当起点、终点固定时，与路径有关 图4-2-1练习 1 计算，其中为（1）的抛物线上从到 一段弧。（2）抛物线上从到的一段弧。（3）有向折线，这里依次是点， (结论：起点，终点固定，沿不同路径的

6、积分值相等。)2 计算从点到点的直线段3 两类曲线积分的关系设有向曲线弧的起点 终点 取弧长为曲线弧的参数。 则若在 上具有一阶连续导数，在上连续，则=图4-2-2=其中，是的切线向量的方向余弦，且切线向量与 的方向一致，又=同理对空间曲线：=为在点处切向量的方向角，用向量表示：，为上处的单位切向量，为有向曲线元小结：1.对坐标的曲线积分概念和性质 2. 对坐标的曲线积分的计算 3.两类曲线积分的关系§3Green公式及其应用教学目的：理解和掌握Green公式及应用 教学重点、难点：格林公式的应用教学内容：3.1 Green公式1单连通区域。设为单连通区域，若内任一闭曲线所围的部分都

7、属于。称为单连通区域（不含洞），否则称为复连通区域（含洞）。规定平面的边界曲线的方向，当观测者沿行走时，内在他近处的那一部分总在他的左边，如右图图4-3-1定理1（格林公式） 设闭区域由分段光滑的曲线围成，函数和在上具有一阶连续偏导数，则有=。为的取正向的边界曲线。证 对既为型又为型区域：连续，= 图4-3-2=：又=+ =对于型区域，同理可证 =原式成立对于一般情况，可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域，在上应用格林公式相加，由于沿辅助线积分是相互抵消，即可得证。几何应用： 在格林公式中，取，=说明：（1）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立 （2）记法= 图4-3-3 （3）在一定条件下

8、用二重积分计算曲线积分，在另外条件下用曲线积分计算二重积分。 （4）几何应用。 例1 计算：解 原式=， ，例2 计算星形线围成图形面积解 =二、平面上曲线积分与路径无关的条件1 曲线积分与路径无关：是为一开区域，在内具有一阶连续偏导数，若内任意指定两点及内从到的任意两条曲线恒成立，则称在内与路径无关。否则与路径有关。 例1 ：从到的折线 ；：从到的直线 解 = 3：,即 =图4-3-4定理2 设，在单连通区域内有连续的一阶偏导数，则以下四个条件相互等价（1）内任一闭曲线，=。（2）对内任一曲线，与路径无关（3）在内存在某一函数使在内成立。（4），在内处处成立。证明 （1）（2） 在内任取两点

9、，及连接的任意两条曲线，为内一闭曲线 由（1）知，图4-3-5即+=（2）（3）若在内与路径无关。当起点固定在（）点，终点为后，则是的函数，记为。下证 =的全微分为=。，连续，只需证， 由定义=+ =+ 图4-3-6=， 即， 同理。（3）（4）若=，可证=， 由具有连续的一阶偏导数故=（4）（1）设为内任一闭曲线，为所围成的区域。=。例2 曲线积分， 为过，和点的圆弧。解 令，则，与路径无关。 取积分路径为。+图4-3-7=例3 计算，（1）为以为心的任何圆周。（2）为以任何不含原点的闭曲线。解 （1）令，图4-3-8，在除去处的所有点处有=，作以0为圆心，为半径作足够小的圆使小圆含在内，=，即=（2）=02 二元函数的全微分求积与路径无关，则为某一函数的全微分为=+ 图4-3-9注：有无穷多个。例4 验证：是某一函数的全微分，并求出一个原函数。解 令，原式在全平面上为某一函数的全微分，取，= 图4-3-10例5 计算， 为从到再到，是半圆弧 解 令， ， 图4-3-11添加直线，则，原式+= =