相似、反比例函数、二次函数、正方形矩形菱形 等 中考压轴题 难题易错题

1、菁优网 反比例、相似 中考难题、易错题、压轴题 一解答题（共19小题）1（2011吉林）如图，在平的直角坐标系中，直线y=2x+2与x轴y轴分别相交于点A，B，四边形ABCD是正方形，曲线y=在第一象限经过点D（1）求双曲线表示的函数解析式；（2）将正方形ABCD沿X轴向左平移1个单位长度时，点C的对应点恰好落在（1）中的双曲线上考点：反比例函数综合题。分析：（1）根据已知得出AO，BO的长度，进而得出AOBDEA，求出D点坐标，进而得出解析式；（2）利用AOBDEA，同理可得出：AOBBFC，即可得出C点纵坐标，如果点在图象上，利用纵坐标求出横坐标即可解答：解：（1）过点D作DEx轴于点E直

2、线y=2x+2与x轴，y轴相交于点AB，当x=0时，y=2，即OB=2当y=0时，x=1，即OA=1四边形ABCD是正方形，BAD=90°，AB=ADBAO+DAE=90°ADE+DAE=90°，BAO=ADEAOB=DEA=90°AOBDEADE=AO=1，AE=BO=2，OE=3，DE=1点D 的坐标为（3，1）把（3，1）代入 y=中，得k=3y=；（2）过点C作CFy轴，AOBDEA，同理可得出：AOBBFC，OB=CF=2C点纵坐标为：3，代入y=，x=1，应该将正方形ABCD沿X轴向左平移 21=1 个单位长度时，点C的对应点恰好落在（1）中

3、的双曲线上故答案为：1点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用，根据图象上点的坐标性质以及全等三角形的判定与性质得出是解题关键2（2011吉林）如图，梯形ABCD中，ADBC，BAD=90°，CEAD于点E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm从初始时刻开始，动点P，Q 分别从点A，B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿ABCE的方向运动，到点E停止；动点Q沿BCED的方向运动，到点D停止，设运动时间为xs，PAQ的面积为ycm2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题：（1）当x=2s时，y=2cm2；当x=s时，y=9cm2（2）当5x14 时，求y与x之间的

4、函数关系式（3）当动点P在线段BC上运动时，求出S梯形ABCD时x的值（4）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值考点：二次函数综合题。分析：（1）当x=2s时，AP=2，BQ=2，利用三角形的面积公式直接可以求出y的值，当x=s时，三角形PAQ的高就是4，底为4.5，由三角形的面积公式可以求出其解（2）当5x14 时，求y与x之间的函数关系式要分为三种不同的情况进行表示：当5x9时，当9x13时，当13x14时（3）可以由已知条件求出S梯形ABCD，然后根据条件求出y值，代入当5x9时的解析式就可以求出x的值（4）利用相似三角形的性质，相似三角形的对应线段成

5、比例就可以求出对应的x的值解答：解：（1）当x=2s时，AP=2，BQ=2y=2当x=s时，AP=4.5，Q点在EC上y=9故答案为：2；9（2）当5x9时y=S梯形ABCQSABPSPCQ=（5+x4）×4×5（x5）（9x）（x4）y=x27x+当9x13时y=（x9+4）（14x）y=x2+x35当13x14时y=×8（14x）y=4x+56；（3）当动点P在线段BC上运动时，S梯形ABCD=×（4+8）×5=88=x27x+，即x214x+49=0，解得：x1=x2=7当x=7时，S梯形ABCD（4）设运动时间为x秒，当PQAC时，BP

6、=5x，BQ=x，此时BPQBAC，故=，即=，解得x=；当PQBE时，PC=9x，QC=x4，此时PCQBCE，故=，即=，解得x=；当OQBE时，EP=14x，EQ=x9，此时PEQBAE，故=，即=，解得x=由题意得x的值为：x=、或点评：本题考查了用函数关系式表示变化过程中三角形的面积，相似三角形的判定及性质，梯形的面积等多个知识点是一道分段函数试题，难度较大3（2011江西）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设BAC=（0°90°）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互

7、相垂直，A1A2为第1根小棒数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：能（填“能“或“不能”）（2）设AA1=A1A2=A2A3=1=22.5度；若记小棒A2n1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1，A3A4=a2，），求出此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1数学思考：（3）若已经向右摆放了3根小棒，则1=2，2=3，3=4（用含的式子表示）； （4）若只能摆放4根小棒，求的范围考点：相似三角形的判定与性质；一元一次不等式组的应用；平行线的判定与性质；勾股定理；等

8、腰直角三角形。专题：规律型。分析：（1）本题需先根据已知条件BAC=（0°90°）小棒两端分别落在两射线上，从而判断出能继续摆下去（2）本题需先根据已知条件AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2A2A3，得出A2A3和AA3的值，判断出A1A2A3A4、A3A4A5A6，即可求出A=AA2A1=AA4A3=AA6A，从而此时a2，a3的值和出an（3）本题需先根据A1A2=AA1，得出A1AA2和AA2A1相等，即可得出1的值，同样道理得出2、3的值（4）本题需先根据已知条件，列出不等式，解出的取值范围，即可得出正确答案解答：解：（1）根据已知条件BAC=（0°

9、90°）小棒两端能分别落在两射线上，小棒能继续摆下去（2）A1A2=A2A3，A1A2A2A3，A2A1A3=45°，AA2A1+=45°，AA2A1=，=22.5°；AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2A2A3A2A3=，AA3=1+又A2A3A3A4A1A2A3A4同理；A3A4A5A6A=AA2A1=AA4A3=AA6A5AA3A3A4，AA5=A5A6a2=A3A4=AA3=1+a3=AA3+A3A5=a2+A3A5A3A5=a3=A5A6=AA5=a2a2=an=；（3）A1A2=AA1A1AA2=AA2A1=A2A1A3=1=+1=2同理

10、可得：2=33=4；（4）由题意得：18°22.5°点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与相似三角形的性质相结合是本题的关键4（2011河南）如图，一次函数y1=k1x+2与反比例函数的图象交于点A（4，m）和B（8，2），与y轴交于点C（1）k1=，k2=16；（2）根据函数图象可知，当y1y2时，x的取值范围是8x0或x4；（3）过点A作ADx轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：SODE=3：1时，求点P的坐标考点：反比例函数综合题。专题：代数几何综合题；数形结合。分析

11、：（1）本题须把B点的坐标分别代入一次函数y1=k1x+2与反比例函数的解析式即可求出K2、k1的值（2）本题须先求出一次函数y1=k1x+2与反比例函数的图象的交点坐标，即可求出当y1y2时，x的取值范围（3）本题须先求出四边形OADC的面积，从而求出DE的长，然后得出点E的坐标，最后求出直线OP的解析式即可得出点P的坐标解答：解：（1）一次函数y1=k1x+2与反比例函数的图象交于点A（4，m）和B（8，2），K2=（8）×（2）=16，2=8k1+2k1=（2）一次函数y1=k1x+2与反比例函数的图象交于点A（4，4）和B（8，2），当y1y2时，x的取值范围是 8x0或x4

12、；（3）由（1）知， m=4，点C的坐标是（0，2）点A的坐标是（4，4）CO=2，AD=OD=4 S梯形ODAC：SODE=3：1，SODE=S梯形ODAC=×12=4，即 ODDE=4，DE=2点E的坐标为（4，2）又点E在直线OP上，直线OP的解析式是直线OP与 的图象在第一象限内的交点P的坐标为（ ）故答案为：，16，8x0或x4点评：本题主要考查了反比例函数的综合问题，在解题时要综合应用反比例函数的图象和性质以及求一次函数与反比例函数交点坐标是本题的关键5（2011河南）如图，在RtABC中，B=90°，BC=5，C=30°点D从点C出发沿CA方向以每秒

13、2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D、E运动的时间是t秒（t0）过点D作DFBC于点F，连接DE、EF（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由考点：菱形的性质；含30度角的直角三角形；矩形的性质；解直角三角形。分析：（1）在DFC中，DFC=90°，C=30°，由已知条件求证；（2）求得四边形AEFD为平行四边形，若使AEFD为菱形则需要满足的条件及求

14、得；（3）EDF=90°时，四边形EBFD为矩形在直角三角形AED中求得AD=2AE即求得DEF=90°时，由（2）知EFAD，则得ADE=DEF=90°，求得AD=AEcos60°列式得EFD=90°时，此种情况不存在解答：（1）证明：在DFC中，DFC=90°，C=30°，DC=2t，DF=t又AE=t，AE=DF（2分）（2）解：能理由如下：ABBC，DFBC，AEDF又AE=DF，四边形AEFD为平行四边形（3分）AB=BCtan30°=5=5，AC=2AB=10AD=ACDC=102t若使AEFD为菱形，

15、则需AE=AD，即t=102t，t=即当t=时，四边形AEFD为菱形（5分）（3）解：EDF=90°时，四边形EBFD为矩形在RtAED中，ADE=C=30°，AD=2AE即102t=2t，t=（7分）DEF=90°时，由（2）知EFAD，ADE=DEF=90°A=90°C=60°，AD=AEcos60°即102t=t，t=4（9分）EFD=90°时，此种情况不存在综上所述，当t=或4时，DEF为直角三角形（10分）点评：本题考查了菱形的性质，考查了菱形是平行四边形，考查了菱形的判定定理，以及菱形与矩形之间的联系难

16、度适宜，计算繁琐6（2011山西）如图（1），RtABC中，ACB=90°，CDAB，垂足为DAF平分CAB，交CD于点E，交CB于点F（1）求证：CE=CF（2）将图（1）中的ADE沿AB向右平移到ADE的位置，使点E落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示试猜想：BE与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；平移的性质。专题：几何综合题。分析：（1）根据平分线的定义可知CAF=EAD，再根据已知条件以及等量代换即可证明CE=CF，（2）根据题意作辅助线过点E作EGAC于G，根据平移的性质得出DE=DE，再根据已知条件判断出CEG

17、BED，可知CE=BE，再根据等量代换可知BE=CF解答：（1）证明：AF平分CAB，CAF=EAD，ACB=90°，CAF+CFA=90°，CDAB于D，EAD+AED=90°，CFA=AED，又AED=CEF，CFA=CEF，CE=CF；（2）猜想：BE=CF证明：如图，过点E作EGAC于G，又AF平分CAB，EDAB，EGAC，ED=EG，由平移的性质可知：DE=DE，DE=GE，ACB=90°，ACD+DCB=90°CDAB于D，B+DCB=90°，ACD=B，在RtCEG与RtBED中，CEGBED，CE=BE，由（1）可知

18、CE=CF，BE=CF点评：本题主要考查了平分线的定义，平移的性质以及全等三角形的判定与性质，难度适中7（2011随州）如图，在等腰直角三角形ABC中，ABC=90°，D为AC边上中点，过D点DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：首先连接BD，由已知等腰直角三角形ABC，可推出BDAC且BD=CD=AD，ABD=45°再由DE丄DF，可推出FDC=EDB，又等腰直角三角形ABC可得C=45°，所以EDBFDC，从而得出BE=FC=3，那么AB=7，则BC=7，BF=4，再根

19、据勾股定理求出EF的长解答：解：连接BD，等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，BDAC，BD=CD=AD，ABD=45°，C=45°，ABD=C，又DE丄DF，FDC=EDB，在EDB与FDC中，EDBFDC（ASA），BE=FC=3，AB=7，则BC=7，BF=4，在RtEBF中，EF2=BE2+BF2=32+42，EF=5答：EF的长为5点评：此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角形全等，求得BE和BF，再由勾股定理求出EF的长8（2011柳州）某校为了创建书香校园，去年又购进了一批图书经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用120

20、0元购进的科普书与用800元购进的文学书本数相等（1）求去年购进的文学羽和科普书的单价各是多少元？（2）若今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用1000元再购进一批文学书和科普书，问购进文学书55本后至多还能购进多少本科普书？考点：分式方程的应用。分析：（1）设文学书的单价是x元，则科普书的单价是（x+4）元，根据科普书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购进的科普书与用800元购进的文学书本数相等，可列方程求解（2）根据（1）求出的单价，可求出购进多少本科普书解答：解：（1）设文学书的单价是x元，则科普书的单价是（x+4）元根据题意，得=，解得x=8经检验得：（x+4）x

21、=12×8=960，x=8是方程的根，x+4=12答：文学书的单价是8元，则科普书的单价是12元（2）（10008×55）÷12=46本答：还能购进46本科普书点评：本题考查理解题意的能力，设出单价，根据购进的数量相等做为等量关系列方程求解9（2010金华）如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和（0，3）动点P从A点开始沿折线AOOBBA运动，点P在AO，OB，BA上运动，速度分别为1，2（长度单位/秒）一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以（长度单位/秒）的速度向上平行移动（即移动过程中保持lx轴），且分别

22、与OB，AB交于E，F两点设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AOOBBA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动请解答下列问题：（1）过A，B两点的直线解析式是y=x+3；（2）当t4时，点P的坐标为（0，），；当t，点P与点E重合；（3）作点P关于直线EF的对称点P在运动过程中，若形成的四边形PEPF为菱形，则t的值是多少？当t2时，是否存在着点Q，使得FEQBEP？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由考点：待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质。专题：综合题；压轴题；分类讨论。分析：（1）考查了待定系数法求一次函数；（2）

23、此题要掌握点P的运动路线，要掌握点P在不同阶段的运动速度，即可求得；（3）此题需要分三种情况分析：点P在线段OA上，在线段OB上，在线段AB上；根据菱形的判定可知：在线段EF的垂直平分线上与x轴的交点，可求的一个；当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；当点P在线段BA上时，根据对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形求得当t2时，可求的点P的坐标，即可确定BEP，根据相似三角形的判定定理即可求得点Q的坐标，解题时要注意答案的不唯一性解答：解：（1）y=x+3；（4分）（2）（0，），t=；（4分）（各2分）（3）当点P在线段AO上时，过F作FGx轴，G为垂足（如图1）OE=FG，EP

24、=FP，EOP=FGP=90°EOPFGP，OP=PG又OE=FG=t，A=60°，AG=t而AP=t，OP=3t，PG=APAG=t由3t=t得t=；（1分）当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；当点P在线段BA上时，过P作PHEF，PMOB，H、M分别为垂足（如图2）OE=t，BE=3t，EF=3MP=EH=EF=，又BP=2（t6）在RtBMP中，BPcos60°=MP即2（t6）=，解得t=（1分）存在理由如下：t=2，OE=，AP=2，OP=1将BEP绕点E顺时针方向旋转90°，得到B'EC（如图3）OBEF，点B'

25、在直线EF上，C点横坐标绝对值等于EO长度，C点纵坐标绝对值等于EOPO长度C点坐标为（，1）过F作FQB'C，交EC于点Q，则FEQB'EC由=，可得Q的坐标为（，）（1分）根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点Q'（，）也符合条件（1分）点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，还考查了菱形的性质与判定以及相似三角形的判定与性质，解题的关键要注意数形结合思想的应用，还要注意答案的不唯一性10（2009金华）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴上的一个动点，连接AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC过

26、点B作x轴的垂线交直线AC于点D设点B坐标是（t，0）（1）当t=4时，求直线AB的解析式；（2）当t0时，用含t的代数式表示点C的坐标及ABC的面积；（3）是否存在点B，使ABD为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由考点：一次函数综合题。专题：压轴题；动点型；开放型。分析：（1）当t=4时，B（4，0），设直线AB的解析式为y=kx+b把A（0，6），B（4，0）代入解析式即可求出未知数的值，从而求出其解析式；（2）过点C作CEx轴于点E，由AOB=CEB=90°，ABO=BCE，得AOBBEC即=，BE=AO=3，CE=OB=故点C的坐标为（t

27、+3，）由于ABBC，AB=2BC，SABC=ABBC=BC2在RtABC中，由勾股定理得BC2=CE2+BE2=t2+9，即SABC=t2+9（3）当t0时，若AD=BD由于BDy轴，故OAB=ABD，BAD=ABD，所以OAB=BAD因为AOB=ABC，所以ABOACB，故=，即=，t=3，即B（3，0）若AB=AD延长AB与CE交于点G，由于BDCGAG=AC过点A画AHCG于HCH=HG=CG，由AOBGEB，得=，故GE=由于HE=AO=6，CE=，t224t36=0，解得：t=12±6因为t0，所以t=12+6，即B（12+6，0）由已知条件可知，当0t12时，ADB为锐

28、角，故BDAB当t12时，BDCEBCAB故当t0时，不存在BD=AB的情况当3t0时，如图，DAB是钝角设AD=AB过点C分别作CEx轴，CFy轴于点E，点F可求得点C的坐标为（t+3，），CF=OE=t+3，AF=6，由BDy轴，AB=AD得，BAO=ABD，FAC=BDA，ABD=ADB故BAO=FAC，又AOB=AFC=90°，AOBAFC，=，求得t的关系式t224t36=0，解得：t=12±6因为3t0，所以t=126，即B（126，0）当t3时，如图，ABD是钝角设AB=BD，过点C分别作CEx轴，CFy轴于点E，点F，可求得点C的坐标（t+3，），故CF=（

29、t+3），AF=6，由于AB=BD，故D=BAD又因为BDy轴，故D=CAF，BAC=CAF又因为ABC=AFC=90°，AC=AC，所以ABCAFC，故AF=AB，CF=BC，AF=2CF，即6=2（t+3），解得：t=8，即B（8，0）解答：解：（1）当t=4时，B（4，0），设直线AB的解析式为y=kx+b把A（0，6），B（4，0）代入得：，解得：，直线AB的解析式为：y=x+6（2）过点C作CEx轴于点E，由AOB=CEB=90°，ABO=BCE，得AOBBEC=，BE=AO=3，CE=OB=，点C的坐标为（t+3，）方法一：S梯形AOEC=OE（AO+EC）=（

30、t+3）（6+）=t2+t+9，SAOB=AOOB=×6t=3t，SBEC=BECE=×3×=t，SABC=S梯形AOECSAOBSBEC=t2+t+93tt=t2+9方法二：ABBC，AB=2BC，SABC=ABBC=BC2在RtABC中，BC2=CE2+BE2=t2+9，即SABC=t2+9（3）存在，理由如下：当t0时，若AD=BD，又BDy轴，OAB=ABD，BAD=ABD，OAB=BAD，又AOB=ABC，ABOACB，=，=，t=3，即B（3，0）若AB=AD延长AB与CE交于点G，又BDCG，AG=AC，过点A画AHCG于HCH=HG=CG，由AOB

31、GEB，得=，GE=又HE=AO=6，CE=，+6=×（+），t224t36=0，解得：t=12±6因为t0，所以t=12+6，即B（12+6，0）由已知条件可知，当0t12时，ADB为锐角，故BDAB当t12时，BDCEBCAB当t0时，不存在BD=AB的情况当3t0时，如图，DAB是钝角设AD=AB过点C分别作CEx轴，CFy轴于点E，点F可求得点C的坐标为（t+3，），CF=OE=t+3，AF=6，由BDy轴，AB=AD得，BAO=ABD，FAC=BDA，ABD=ADB，BAO=FAC，又AOB=AFC=90°，AOBAFC，=，=，t224t36=0，解得

32、：t=12±6因为3t0，所以t=126，即B（126，0）当t3时，如图，ABD是钝角设AB=BD，过点C分别作CEx轴，CFy轴于点E，点F，可求得点C的坐标为（t+3，），CF=（t+3），AF=6，AB=BD，D=BAD又BDy轴，D=CAF，BAC=CAF又ABC=AFC=90°，AC=AC，ABCAFC，AF=AB，CF=BC，AF=2CF，即6=2（t+3），解得：t=8，即B（8，0）综上所述，存在点B使ABD为等腰三角形，此时点B坐标为：B1（3，0），B2（12+6，0），B3（126，0），B4（8，0）点评：本题比较繁琐，难度很大，解答此题的关键是画

33、出图形作出辅助线，结合等腰三角形，全等三角形的判定及性质解答体现了数形结合在解题中的重要作用11（2011泰州）在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限（1）当BAO=45°时，求点P的坐标；（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在AOB的平分线上；（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由考点：正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角

34、形。专题：几何动点问题；几何综合题。分析：（1）当BAO=45°时，因为四边形ABCD是正方形，P是AC，BD对角线的交点，能证明OAPB是正方形，从而求出P点的坐标（2）过P点作x轴和y轴的垂线，可通过三角形全等，证明是角平分线（3）因为点P在AOB的平分线上，所以h0解答：（1）解：BPA=90°，PA=PB，PAB=45°，BAO=45°，PAO=90°，四边形OAPB是正方形，P点的坐标为：（a，a）（2）证明：作PEx轴交x轴于E点，作PFy轴交y轴于F点，BPE+EPA=90°，EPB+FPB=90°，FPB=E

35、PA，PFB=PEA，BP=AP，PBFPAE，PE=PF，点P都在AOB的平分线上（3）解：作PEx轴交x轴于E点，作PFy轴交y轴于F点，则PE=h，设APE=在直角APE中，AEP=90°，PA=，PE=PAcos=cos，又顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），0°45°，h点评：本题考查了正方形的性质（四边相等，四角相等，对角线互相垂直平分，且平分每一组对角）以及坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点12（2011临沂）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶

36、点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F另一边交CB的延长线于点G（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立请说明理由：（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求的值考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质。分析：（1）由GEB+BEF=90°，DEF+BEF=90°，可得DEF=GEB，又由正方形的性质，可利用

37、SAS证得RtFEDRtGEB，则问题得证；（2）首先点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，然后利用SAS证得RtFEIRtGEH，则问题得证；（3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EMAB，ENAD，则可证得CENCAD，CEMCAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得GMEFNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案解答：（1）证明：GEB+BEF=90°，DEF+BEF=90°，DEF=GEB，又ED=BE，D=EBG，RtFEDRtGEB，EF=EG；（2）解：成立证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，

38、ABCD为正方形，CE平分BCD，又EHBC，EICD，则EH=EI，HEI=90°，GEH+HEF=90°，IEF+HEF=90°，IEF=GEH，RtFEIRtGEH，EF=EG；（3）解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，则MEN=90°，EMAB，ENADCENCAD，CEMCAB，即=，NEF+FEM=GEM+FEM=90°，GEM=FEN，GME=FNE=90°，GMEFNE，点评：此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质此题综合性较强，注意数形结合思想的应用13（2011成

39、都）如图，已知线段ABCD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点（1）若BK=KC，求的值；（2）连接BE，若BE平分ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明再探究：当AE=AD（n2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质。专题：几何综合题。分析：（1）由已知得=，由CDAB可证KCDKBA，利用=求值；（2）AB=BC+CD作ABD的中位线，由中位线定理得EFABCD，可知G为BC的中点，由平行线及角平分线性质，得GEB=E

40、BA=GBE，则EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，利用EF=EG+GF求线段AB、BC、CD三者之间的数量关系；当AE=AD（n2）时，EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，EF=EG+GF可得BC+CD=（n1）AB解答：解：（1）BK=KC，=，又CDAB，KCDKBA，=；（2）当BE平分ABC，AE=AD时，AB=BC+CD证明：取BD的中点为F，连接EF交BC与G点，由中位线定理，得EFABCD，G为BC的中点，GEB=EBA，又EBA=GBE，GEB=GBE，EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，EF=EG+GF，即：AB=BC+CD；AB=BC+CD；同理，

41、当AE=AD（n2）时，过点E作EFAB，则DEFDAB，CKDBKD，故=n1，故当AE=AD（n2）时，BC+CD=（n1）AB点评：本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质关键是构造平行线，由特殊到一般探索规律14如图1，BD、CE分别是ABC的外角平分线，过点A作AFBD，AGCE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N（1）试说明：FG=（AB+BC+AC）；（2）如图2，若BD、CE分别是ABC的内角平分线，则线段FG与ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由；（3）如图3，若BD为

42、ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线，则线段FG与ABC三边的数量关系是FG=（AC+BCAB）考点：三角形中位线定理；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：（1）由AFBD，ABF=MBF，得到BAF=BMF，进一步推出MB=AB，AF=MF，同理CN=AC，AG=NG，即可得出答案；（2）延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，与（1）类似可以证出答案；（3）与（1）方法类同即可证出答案解答：解：（1）AFBD，ABF=MBF，BAF=BMF，MB=ABAF=MF，同理：CN=AC，AG=NG，FG是AMN的中位线FG=MN，=（MB+BC+CN），=（AB

43、+BC+AC）（2）图（2）中，FG=（AB+ACBC）解：如图（2），延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，由（1）中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NGFG=MN，=（BM+CNBC），=（AB+ACBC），答：线段FG与ABC三边的数量关系是FG=（AB+ACBC）（3）解：FG=（AC+BCAB），理由是：延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，同样由（1）中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NGFG=MN，=（CN+BCBM），=（AC+BCAB）故答案为：FG=（AC+BCAB）点评：本题主要考查了三角形的中位线定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的

44、性质和判定等知识点，解此题的关键是作辅助线转化成三角形的中位线15（2009大兴安岭）已知：在ABC中，BCAC，动点D绕ABC的顶点A逆时针旋转，且AD=BC，连接DC过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N（1）如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论AMF=BNE（不需证明）；（2）当点D旋转到图2或图3中的位置时，AMF与BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明考点：三角形中位线定理；平行线的性质；旋转的性质。专题：动点型；探究型。分析：两题思路

45、基本相同，都需要作出两条辅助线，两次运用中位线定理解答解答：解：图1：AMF=ENB；图2：AMF=ENB；图3：AMF+ENB=180°证明：如图2，取AC的中点H，连接HE、HFF是DC的中点，H是AC的中点，HFAD，HF=AD，AMF=HFE，同理，HECB，HE=CB，ENB=HEFAD=BC，HF=HE，HEF=HFE，ENB=AMF如图3：取AC的中点H，连接HE、HFF是DC的中点，H是AC的中点，HFAD，HF=AD，AMF+HFE=180°，同理，HECB，HE=CB，ENB=HEFAD=BC，HF=HE，HEF=HFE，AMF+ENB=180°

46、;点评：此题构思巧妙，融合了中位线定理，平行线的性质等概念，难点是需要作出两条辅助线16（2011威海）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到MNK（1）若1=70°，求MKN的度数；（2）MNK的面积能否小于？若能，求出此时1的度数；若不能，试说明理由；（3）如何折叠能够使MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质。专题：综合题；分类讨论。分析：（1）根据矩形的性质和折叠的性质求出KNM，KMN的度数，

47、根据三角形内角和即可求解；（2）过M点作MEDN，垂足为E，通过证明NK1，由三角形面积公式可得MNK的面积不可能小于；（3）分情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合；情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC两种情况讨论求解解答：解：（1）ABCD是矩形，AMDNKNM=11=70°，KNM=KMN=70°，MKN=40°（2）不能过M点作MEDN，垂足为E，则ME=AD=1KNM=KMN，MK=NK，又MKME，NK1MNK的面积=NKMEMNK的面积不可能小于（3）分两种情况：情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与

48、D重合MK=MD=x，则AM=5x由勾股定理得12+（5x）2=x2，解得x=2.6MD=ND=2.6SMNK=SMND=1.3情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为ACMK=AK=CK=x，则DK=5x同理可得MK=NK=2.6MD=1，SMNK=SMND=1.3MNK的面积最大值为1.3点评：本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，三角形的面积计算，注意分类思想的运用，综合性较强，有一点的难度17（2009威海）一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M，N，与反比例函数y=的图象相交于点A，B过点A分别作ACx轴，AEy轴，垂足分别为C，E；过点B分别作B

49、Fx轴，BDy轴，垂足分别为F，D，AC与BD交于点K，连接CD（1）若点A，B在反比例函数y=的图象的同一分支上，如图1，试证明：S四边形AEDK=S四边形CFBK；AN=BM（2）若点A，B分别在反比例函数y=的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论考点：反比例函数综合题。专题：综合题；压轴题。分析：点A，B在反比例函数y=的图象上，所以矩形AEOC、矩形BDOF面积相等，由图看出矩形OCKD是它们的公共部分，由此可知S四边形AEDK=S四边形CFBK，根据面积为长×宽，易得AKDK=BKCK可知ABCD，从而四边形ACDN、BDCM为平行四边形，所以AN

50、=CD=BM解答：（1）证明：ACx轴，AEy轴，四边形AEOC为矩形BFx轴，BDy轴，四边形BDOF为矩形ACx轴，BDy轴，四边形AEDK，DOCK，CFBK均为矩形（1分）OC=x1，AC=y1，x1y1=k，S矩形AEOC=OCAC=x1y1=kOF=x2，FB=y2，x2y2=k，S矩形BDOF=OFFB=x2y2=kS矩形AEOC=S矩形BDOFS矩形AEDK=S矩形AEOCS矩形DOCK，S矩形CFBK=S矩形BDOFS矩形DOCK，S矩形AEDK=S矩形CFBK（2分）由（1）知：S矩形AEDK=S矩形CFBKAKDK=BKCK（4分）AKB=CKD=90°，AKB

51、CKD（5分）CDK=ABKABCD（6分）ACy轴，四边形ACDN是平行四边形AN=CD（7分）同理BM=CDAN=BM（8分）（2）解：AN与BM仍然相等（9分）S矩形AEDK=S矩形AEOC+S矩形ODKC，S矩形BKCF=S矩形BDOF+S矩形ODKC，又S矩形AEOC=S矩形BDOF=k，S矩形AEDK=S矩形BKCF（10分）AKDK=BKCKK=K，CDKABKCDK=ABKABCD（11分）ACy轴，四边形ANDC是平行四边形AN=CD同理BM=CDAN=BM（12分）点评：此题综合考查了反比例函数的性质，平行四边形等多个知识点此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用18如图，正方形ABCD的顶点C在反比例函数上，把该正方形ABCD绕其顶点C顺时针旋转180°得四边形ABCD，AD边恰好在x轴正半轴上，已知A（1，6）（1）求k的值；（2）若AB与交于点E，求BCE的面积考点：反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质。专题：代数几何综合题。分析：（1）由正方形的性质及A点坐标可确定出C点坐标，再代入反比例函数关系式求得k的值（2）由正方形的性质先确定出A'点坐标，再求出E点坐标，得B'E的长，则BCE的面积代入公式即可求出解答：解：（1）由于正方形ABCD绕其顶点C顺时针旋转180°得四边形ABCD，则DD&#