概率论与数理统计第一章教案

1、第一节 随机事件 一、随机现象在自然界和人类社会生活中普遍存在着两类现象：一类是在一定条件下必然出现的现象，称为确定性现象。例如：(1) 一物体从高度为（米）处垂直下落，则经过（秒）后必然落到地面，且当高度一定时，可由公式得到，（秒）。(2) 异性电荷相互吸引，同性电荷相互排斥。另一类则是在一定条件下我们事先无法准确预知其结果的现象，称为随机现象。例如：(1) 在相同条件下抛掷同一枚硬币，我们无法事先预知将出现正面还是反面。(2) 将来某日某种股票的价格是多少。概率论就是以数量化方法来研究随机现象及其规律性的一门数学学科。 二、 随机试验为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行

2、重复观察， 我们把对随机现象的观察称为随机试验，并简称为试验，记为。 例如，观察某射手对固定目标进行射击； 抛一枚硬币三次,观察出现正面的次数；记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验。随机试验具有下列特点：(1) 可重复性；试验可以在相同的条件下重复进行；(2) 可观察性；试验结果可观察,所有可能的结果是明确的；(3) 不确定性： 每次试验出现的结果事先不能准确预知。 三、样本空间尽管一个随机试验将要出现的结果是不确定的, 但其所有可能结果是明确的, 我们把随机试验的每一种可能的结果称为一个样本点, 记为（或）；它们的全体称为样本空间, 记为(或). 例如：(1) 在抛掷一枚

3、硬币观察其出现正面或反面的试验中有两个样本点：正面、反面. 样本空间为S=正面，反面或正面，反面)。(2) 在将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现情况的试验中，有8个样本点，样本空间：。(3) 在抛掷一枚骰子，观察其出现的点数的试验中，有6个样本点：1点，2点，3点，4点，5点，6点，样本空间可简记为1，2，3，4，5，6。(4) 观察某电话交换台在一天内收到的呼叫次数，其样本点有无穷多个：次， =0,1,2,3，样本空间可简记为0，1，2，3， 。(5) 在一批灯泡中任意抽取一个，测试其寿命，其样本点也有无穷多个(且不可数)：小时，样本空间可简记为|=0,+ ¥。注：同一个随

4、机试验，试验的样本点与样本空间是要根据要观察的内容来确定的。四、随机事件在概率论中，把具有某一可观察特征的随机试验的结果称为事件，事件可分为以下三类：(1) 随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的事情。(2) 必然事件：在每次试验中都必然发生的事件。(3) 不可能事件：在任何一次试验中都不可能发生的事件。显然，必然事件和不可能事件都是确定性事件，为讨论方便，今后将它们看作是两个特殊的随机事件，并将随机事件简称为事件。 五、事件的集合表示任何一个事件都可以用的某一子集来表示,常用字母等表示。称仅含一个样本点的事件为基本事件；含有两个或两个以上样本点的事件为复合事件。显然，样本空间作为事件是必然

5、事件，空集作为一个事件是不可能事件。 六、 事件的关系与运算事件之间的关系与运算可按集合之间的关系和运算来处理.为了方便，给出下列对照表：表1.1注：两个互为对立的事件一定是互斥事件；反之，互斥事件不一定是对立事件，而且，互斥的概念适用于多个事件，但是对立概念只适用于两个事件。 七、事件的运算规律由集合的运算律，易给出事件间的运算律：（1） 交换律；（2） 结合律；（3） 分配律；（4） 自反律；（5） 对偶律。例1甲，乙，丙三人各射一次靶，记“甲中靶” “乙中靶” “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： (2) “甲中靶而乙未中靶”： (3) “三

6、人中只有丙未中靶”： (4) “三人中恰好有一人中靶”： (5)“ 三人中至少有一人中靶”： (6)“三人中至少有一人未中靶”： 或(7)“三人中恰有两人中靶”： (8)“三人中至少两人中靶”： (9)“三人均未中靶”： (10)“三人中至多一人中靶”： (11)“三人中至多两人中靶”： 或注：用其它事件的运算来表示一个事件, 方法往往不惟一，如上例中的(6)和(11)实际上是同一事件，应学会用不同方法表达同一事件, 特别在解决具体问题时,往往要根据需要选择一种恰当的表示方法。课堂练习1. 设当事件与同时发生时也发生, 则 ( ).(A) 是的子事件; (B)或(C) 是的子事件; (D) 是

7、的子事件.2. 设事件甲种产品畅销, 乙种产品滞销, 则的对立事件为 ( ).(A) 甲种产品滞销,乙种产品畅销;(B) 甲种产品滞销;(C) 甲、乙两种产品均畅销;(D) 甲种产品滞销或者乙种产品畅销.课后作业P6, 1，2，4第二节 随机事件的概率一、频率及其性质定义1 若在相同条件下进行次试验, 其中事件发生的次数为, 则称为事件发生的频率。频率的基本性质:(1) (2) (3) 设是两两互不相容的事件, 则. 定义2在相同条件下重复进行n次试验，若事件发生的频率随着试验次数n的增大而稳定地在某个常数(附近摆动，则称为事件的概率，记为。 例1从某鱼池中取100条鱼， 做上记号后再放入该鱼

8、池中。 现从该池中任意捉来40条鱼， 发现其中两条有记号， 问池内大约有多少条鱼？ 二、概率的公理化定义定义3 设是随机试验, 是它的样本空间,对于的每一个事件赋予一个实数, 记为, 若满足下列三个条件:(1) 非负性：对每一个事件,有 ;(2) 完备性：;(3) 可列可加性：设是两两互不相容的事件，则有则称为事件的概率. 三、 概率的性质 性质1 性质2 (有限可加性) 若事件两两互不相容，则有性质3 对任一事件，有性质4 ；特别地，若，则有（1），（2）性质5 对任一事件，性质6 对任意两个事件，有注：推广到对任意三个事件，则有例2 已知 , 求 (1) ; (2) ; (3) ; (4)

9、 .课堂练习1.设 , 求事件的逆事件的概率.2.设 求.3.设都出现的概率与都不出现的概率相等, 且, 求.课后作业P10 3、4第三节 古典概型一、古典概型1、我们称具有下列两个特征的随机试验模型为古典概型。(1) 随机试验只有有限个可能的结果;(2) 每一个结果发生的可能性大小相同.古典概型又称为等可能概型.在概率论的产生和发展过程中，它是最早的研究对象，且在实际中也最常用的一种概率模型。2、古典概率二、 计算古典概率的方法1.基本计数原理：(1) 加法原理：设完成一件事有种方式,其中第一种方式有种方法，第二种方式有种方法，,第种方式有种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事,则完成这件

10、事的方法总数为.(2) 乘法原理：设完成一件事有个步骤,其中第一个步骤有种方法，第二个步骤有种方法，第个步骤有种方法；完成该件事必须通过每一步骤才算完成，则完成这件事的方法总数为 .2. 排列组合方法(1)1排列公式：(2) 组合公式。例1 一个袋子中装有10个大小相同的球, 其中3个黑球, 7个白球, 求(1) 从袋子中任取一球, 这个球是黑球的概率;(2) 从袋子中任取两球, 刚好一个白球一个黑球的概率以及两个球全是黑球的概率.例2 将3个球随机放入4个杯子中, 问杯子中球的个数最多为1, 2, 3的概率各是多少?例3 在12000的整数中随机地取一个数, 问取到的整数既不能被6整除, 又

11、不能被8整除的概率是多少? 课堂练习P14 1、2、3、4、课后作业P14 6、9、10第四节 条件概率一、 条件概率的引入引例 一批同型号的产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：厂别数量等级甲厂乙厂合计合格品4756441119次品255681合计5007001200(1) 从这批产品中随意地取一件，则这件产品为次品的概率为多少？(2) 当被告知取出的产品是甲厂生产的时，那么这件产品为次品的概率又是多大？在事件发生的条件下，求事件发生概率，这就是条件概率，记作。二、条件概率的定义1、定义1 设是两个事件, 且, 则称 (1)为在事件发生的条件下，事件的条件概率。相应地，把称为无条件概率。一般

12、地，。2、条件概率的性质 (1) ;(2) ;(3) 设互不相容，则例1 一袋中装有10个球, 其中3个黑球, 7个白球, 先后两次从袋中各取一球(不放回)(1) 已知第一次取出的是黑球, 求第二次取出的仍是黑球的概率;(2) 已知第二次取出的是黑球, 求第一次取出的也是黑球的概率.注: (1) 用维恩图表达(1)式.若事件已发生,则为使也发生,试验结果必须是既在中又在中的样本点,即此点必属于.因已知已发生,故成为计算条件概率新的样本空间.(2) 计算条件概率有两种方法:a) 在缩减的样本空间中求事件的概率，就得到；b) 在样本空间中，先求事件和，再按定义计算。例2 袋中有5个球, 其中3个红

13、球2个白球. 现从袋中不放回地连取两个. 已知第一次取得红球时, 求第二次取得白球的概率。三、乘法公式由条件概率的定义立即得到: (2)注意到, 及的对称性可得到: (3)(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用它们可计算两个事件同时发生的概率.例3 一袋中装10个球, 其中3个黑球、7个白球, 先后两次从中随意各取一球(不放回), 求两次取到的均为黑球的概率。例4 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2, 若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未打破的概率. 四、全概率公式 全概率公

14、式是概率论中的一个基本公式。它使一个复杂事件的概率计算问题，可化为在不同情况或不同原因或不同途径下发生的简单事件的概率的求和问题。定理1 设是一个完备事件组,且则对任一事件,有五、贝叶斯公式利用全概率公式,可通过综合分析一事件发生的不同原因、情况或途径及其可能性来求得该事件发生的概率.下面给出的贝叶斯公式则考虑与之完全相反的问题，即一事件已经发生，要考察该事件发生的各种原因、情况或途径的可能性。 定理2 设是一完备事件组,则对任一事件,有 注: 公式中,和分别称为原因的先验概率和后验概率。 特别地，若取，并记, 则,于是公式成为 例5 人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化, 往往会去分析

15、影响股票价格的基本因素, 比如利率的变化. 现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%, 利率不变的概率为40%. 根据经验, 人们估计, 在利率下调的情况下, 该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下, 其价格上涨的概率为40%, 求该支股票将上涨的概率.例6 有三个瓶子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑共4个球，3号装有2红2黑共4个球，（1）若某人从中随机取一瓶，再从该瓶中任意取出一个球，求取得红球的概率？（2）若已知某人取出的球是红球，问取自第一个瓶子的概率？课堂练习1、设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8, 活到25年以上的概率为0.4. 问现年20

16、岁的这种动物, 它能活到25岁以上的概率是多少?2、对以往数据分析结果表明, 当机器调整得良好时, 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时, 其合格率为55%. 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为95%. 试求已知某日早上第一件产品是合格时, 机器调整得良好的概率是多少?课后作业P21 7,8第五节 事件的独立性 一、 两个事件的独立性定义1 若两事件,满足 (1)则称,独立, 或称,相互独立。注: (1) 两事件互不相容与相互独立是完全不同的两个概念，它们分别从两个不同的角度表述了两事件间的某种联系。互不相容是表述在一次随机试验中两事件不能同时发生， 而相互独立是表述在一次随

17、机试验中一事件是否发生与另一事件是否发生互无影响。(2) 当,时, ,相互独立与,互不相容不能同时成立。(3) 若,既独立又互斥，则至少有一个是零概率事件。定理1 设,是两事件, 且,若,相互独立, 则. 反之亦然.定理2 设事件,相互独立,则下列各对事件也相互独立: 与,与,与.例1从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 记抽到, 抽到的牌是黑色的, 问事件、是否独立?注：从例1可见，判断事件的独立性，可利用定义或通过计算条件概率来判断。 但在实际应用中, 常根据问题的实际意义去判断两事件是否独立。 二、有限个事件的独立性1、定义2 设为三个事件, 若满足等式则称事件相互独立。定义3 设是个事

18、件, 若其中任意两个事件之间均相互独立, 则称两两独立.2、相互独立性的性质性质1 若事件相互独立, 则其中任意个事件也相互独立;性质2 若个事件相互独立, 则将中任意个事件换成它们的对立事件, 所得的个事件仍相互独立; 注：设是个随机事件，则相互独立 两两独立.即相互独立性是比两两独立性更强的性质, 例2 已知甲、乙两袋中分别装有编号为1, 2, 3, 4的四个球. 今从甲、乙两袋中各取出一球, 设从甲袋中取出的是偶数号球, 从乙袋中取出的是奇数号球, 从两袋中取出的都是偶数号球或都是奇数号球, 试证两两独立但不相互独立.例3 如图是一个串并联电路系统.都是电路中的元件。 它们下方的数字是它

19、们各自正常工作的概率， 求电路系统的可靠性。例4甲, 乙两人进行乒乓球比赛, 每局甲胜的概率为p,p1/2. 问对甲而言,采用三局二胜制有利, 还是采用五局三胜制有利. 设各局胜负相互独立.三、伯努利概型设随机试验只有两种可能的结果: 事件发生(记为) 或 事件不发生(记为), 则称这样的试验为伯努利(Bermourlli)试验. 设将伯努利试验独立地重复进行次, 称这一串重复的独立试验为重伯努利试验, 或简称为伯努利概型.注: 重伯努利试验的特点是：事件在每次试验中发生的概率均为,且不受其他各次试验中是否发生的影响.定理3（伯努利定理） 设在一次试验中,事件发生的概率为则在重贝努里试验中,事件恰好发生次的概率为推论 设在一次试验中,事件发生的概率为 则在重贝努里试验中, 事件在第次试验中的才首次发生的概率为注意到“事件第次试验才首次发生”等价于在前次试验组成的重伯努利试验中“事件在前次试验中均不发生而第次试验中事件发生”,再由伯努利定理即推得. 例5 某型号高炮,每门炮发射一发炮弹击中飞机的概率为0.6,现若干门炮同时各射一发, (1)问：欲以99%的把握击中一架来犯的敌机至少需配置几门炮? (2)现有3门炮,欲以99%的把握击中一架来犯的敌机,问:每门炮的命中率应提