汽车侧倾稳定性的动态仿真一数学模型的建立

1、2003 年 6 月DR IV E SYST EM T ECHN IQU EJu ly 2003文章编号: 100628244 (2003) 02225210汽车侧倾稳定性的动态仿真 (一)数学模型的建立D ynam ic S im ula t ion of the Veh icles Roll Stab il ity (I )E stabl ish M athema t ica l M odel刘合法花家寿 上海交通大学汽车工程研究所L IU H e F aH UA J ia S houS J TU A u tom obile E ng ineering Institu te 摘要 本文通过

2、对独立悬架和非独立悬架侧倾运动特性的分析并结合采用已有的轮胎力学模型, 建立了反 映独立悬架和非独立悬架侧倾运动特性的数学模型。 在此基础上, 根据汽车侧倾时悬挂质量对前后悬架的 力和力矩作用来组合前后悬架, 我们得到了双轴汽车在稳态转向时侧倾运动的数学模型。 通过组合不同的 前后悬架, 这个数学模型可以反映各种悬架配置的双轴汽车。 它主要是针对汽车进行稳态转向时的侧倾情 况, 考虑了汽车的结构参数、惯性参数以及悬架、轮胎的柔性形变对汽车侧倾运动特性和抗侧翻能力的影响。 它可以用来计算一定横向加速度下汽车的侧倾反应和轮胎的载荷变化, 也可以用来计算一辆确定的汽 车在保持侧倾稳定性的前提下所能达

3、到的最大横向加速度, 还可以用来分析各项参数对汽车侧倾稳定性的 影响。Abstract In th is paper, based on m athem atical analysis of the ro lling dynam ics of suspension s, including dependent and independent ones, and app lica t ion of available t ire model, w as t rying to model the ro lling dy2 nam ics. T hen the ro lling model of a

4、 tw o 2ax le veh icle pu rchasing a steady2state tu rn w as ob tained by com 2 p rising front and rear suspension s acco rding to the act ion s of the suspended of the veh icle on the unsuspend2 ed. By incropo rating variab le fron t and rear su spen sio n s, the model can app ly to the tw o 2ax le

5、veh icles of all k ind of suspension configurat ion s. It considered the configurat ion param eters, inertia param eters and the f lex ib le derivat ion s of the suspension s and t ires and their im pact on the veh icles ro lling dynam ics and ro ll stab ility. T he model can be adap ted to calcu la

6、 te the ro ll respon se and la teral lo ad distribu t io n s of the veh icle deriving a given centrip etal accelerat ion, and also can be adap ted to determ ine the ro llover th resho ld of the veh icle, and to analyze the effect of variable param eters on the veh icles ro ll stability.关键词: 汽车侧倾稳定性数

7、学模型侧翻极限侧倾试验台Key w o rds: veh icles ro ll stab ilitym athem atical modelro llo ver th resho ldt ilt tab le中图分类号: 467. 5+ 21文献标识码: B前言目前全世界的汽车年产量约 5 千万辆, 保有量 超过 5 亿辆。我国汽车工业近几年来发展迅速, 高速 公路建设日臻完善。 汽车的行驶安全性已成为人们 十分关注的课题。 随着汽车平均行驶速度越来越 高, 汽车侧倾稳定性在行车安全中的问题越来越突 出。 根据美国公路安全局(N H T SA ) 的统计数据表明, 在所有交通事故中, 汽车侧

8、翻事故的危害程度仅 次于汽车碰撞事故, 居第二位 1 。 上世纪 90 年代以 来, 美、日、法等国都投入了巨资开展这一问题的研 究。随着汽车理论的发展, 以及对轮胎力学的逐渐 了解, 人们也越来越了解和熟悉汽车侧翻机制, 随着 计算机广泛应用, 数学建模方面研究日益完善, 已初 步形成人车环境的闭环系统, 计算机动态仿真技术也被普遍采用。 本文的主要任务是在一定的简化和假设的基础上, 建立一个描述汽车进行稳态转向时发生侧倾运 动的数学模型。 用来计算和分析汽车在一定横向加 速度下的侧倾角以及悬架、轮胎的负荷变化, 预测汽 车发生侧翻时的横向加速度值。目前国内外研究汽车侧倾稳定性的方法大致有:

9、1. 实验测量2. 理论分析和计算机仿真3. 整车场地试验4. 数理统计分析 为研究汽车动力学而建立的数学模型可分为三类, 即低自由度的线性模型、非线性块参数模型。 线 性模型运用汽车的惯性参数, 几何参数以及简单的 悬架和轮胎参数来分析汽车的运动特性及其对参数 的敏感程度。 这类模型分析简单明了, 对计算机支 持的要求低, 但相对而言, 它们预测汽车运动的准确 程度也低。 非线性块参数模型是运用最为广泛的一 种, 它通常建立描述汽车运动以及悬架和轮胎的数 学方程, 然后用计算机来求其数值解。 由于建模时 考虑的问题和因素不同, 模型中的运动自由度会差 别很大, 数学方程也不尽相同, 导致建立

10、的模型相差 很大。 本文建立的汽车侧倾运动数学模型就是属于 非线性块参数模型。建立数学模型时, 暂作如下假设和简化:( 1) 考虑汽车是作稳态转向, 故暂不考虑纵向 运动的影响。(2) 由于空气作用力的大小和方向都具有不确 定性。 因此建模时暂不予考虑, 而是独立地讨论分 析它对汽车侧倾稳定性的影响并把它补充到数学模 型中去。根据以上两点假设和简化, 一双轴汽车转向时 的受力情况如图 1 所示。实际行驶的汽车, 其各个方向的运动都是互相 影响的。 以上的假设和简化无疑会降低数学模型的 可信程度及其对实际情况的预测能力, 影响它的适 用范围。 但正如前面所指出的, 稳态转向是研究汽 车侧倾稳定性

11、最基本, 最简单的行驶方式。 对它的 研究也应该是最迫切、最具有优先权的。 在此基础 上, 通过不断地减少约束条件、假设、简化, 逼近汽车 行驶的真实情况, 从而达到最终了解各种行驶环境 中和操作方式下汽车的侧倾运动特性的目的, 应该 是一条可行的途径。图 1 汽车受力示意图F ig. 1 A u tomob ile fo rced schem e图 2 汽车侧倾力矩示意图F ig. 2 A u tomob ile ro ll to rque schem e1悬架的侧倾运动分析根据刚体运动学的原理, 任何一个刚体的运动 都可以看作是围绕某一点的旋转。 这一点叫做瞬时 中心。 当将汽车车身看作是

12、一个刚体时, 它相对于 悬架的侧倾运动就可以看作是围绕某一点所作的旋 转运动。这一点就是悬架的侧倾中心。显然, 侧倾中 心的位置不是固定的, 而是由汽车车身的瞬时运动 决定的。 或者说, 是随着车身的侧倾位置而变化的。 在实际计算时, 通常不考虑侧倾中心的横向偏移, 而 代之以汽车水平停放时悬架的侧倾中心位置。 这个 位置可以根据悬架的布置通过几何作图来获得。对于双轴汽车而言, 前后悬架侧倾中心的连线 形成了所谓的侧倾轴线。 汽车车身的侧倾运动可以 看作是绕这条轴线进行的。促使汽车车身绕侧倾轴线作侧倾运动的原因, 除了汽车进行稳态转向时所产生的离心力矩外, 还 有汽车悬挂质量的重心偏离侧倾轴线

13、而产生的重力 力矩, 如图 2 所示。 显示, 如果悬挂质量的重心偏置 在图中相反的一侧, 重力力矩将起到阻碍车身侧倾 运动的作用。根据力的等效作用原理, 如果将汽车悬挂质量 的离心力和重力对悬挂质量的作用平移到悬挂质量 的重心在侧倾轴线上的映射位置, 那么除了保持离 26 心力和重力的大小和方向不变以外, 还应该附加一 个使车身发生侧倾的侧倾力矩。是轮距中心到轮胎触地点的地面距离, T 是轮距, rm是轮轴中心至地面的距离, RC 是侧倾中心位置, c有一些文献 7, 8, 12, 16 只在侧倾平面内考虑一个综是侧倾中心到轮轴的距离, m u是悬下质量, msj是悬合悬架(一般是刚性轴非独

14、立悬架) , 一个侧倾中心。 这样需要进行实验测量来获得一些综合悬架参数。 由于实际汽车悬架配置的多样性, 运用数学模型时 不得不对具体所研究的每一辆汽车进行测量来获得 它们各自的参数, 而无法运用数学模型来分析一些 参数各自对汽车侧倾稳定性的影响。 这都制约了数 学模型的应用。 考虑到这些因素, 本文试图分别建 立双轴汽车前后悬架的侧倾运动模型, 然后通过它 们与悬挂质量的相互作用来组合形成整车的侧倾运 动数学模型。 这无疑增加了数学模型的适用范围和 实用程度。根据杠杆原理, 悬挂质量的离心力和重力在前 后悬架上的分布与悬挂质量的重心相对于前后轴的 距离有关。 设为m sf , m sr有:

15、架所承胆的悬挂质量, 如前所述。 7 是地面侧向倾 斜角度, 是由于轮胎的柔性变形而使轮轴产生的 侧倾角度, 是悬挂质量相对于轮轴的侧倾角度。根据图中的几何关系, 可以列出如下方程:toj = (T j -oj ) r co sj -sin j(1)tij = (T j + ij ) r co sj -sinj(2)rm j = (T j -oj ) r sinj + roj r co sj= rij r sinj - (T j + ij )(3) 令m j= m sj+ m uj, 考虑各方向的力以及力矩平衡。在 垂直方向有:N ij + N oj = m j r G r (co s7 +

16、aj r sin7 )(4)在平行路面方向:S ij + S oj = m j r G r (ay r co s7 -sin7 )(5)对轮距中心取力矩平衡, 有:m sf = b a + b r m s;m sr = a a + b r m s(N oj r toj - N ij r tij ) = M j + m uj r G r (ay r co s7 -式中, a, b 分别是悬挂质量重心所在竖直平面 到前后轴的距离, m s 是汽车的悬挂质量。 悬挂质量 受到的离心力m sgay, 重力m sg 可以等效作用到前后 悬架的侧倾中心位置, 其大小分别是m sfgay, m sfg 和

17、m srgay, m srg。悬挂质量的离心力m sgay 和重力m sg 对侧倾轴 线的侧倾力矩M 也可以等效作用在前后悬架的侧 倾中心位置, 分别设为M f 和M r。力矩的分布主要取sin7 ) r rm j + m sj r G r (ay r co s7 -sin7 ) r( rm j + cj r co sj ) + m sj r G (co s7 + a j r sin7 ) rcj r sinj(6)考虑侧倾中心处的力矩平衡, 有:M j = k j r j(7)式中 k j是悬架的侧倾刚度。 对于轮胎, 我们可以列出以下方程:S ij = ij r N ij ,S oj =

18、oj r N oj(8)决于前后悬架的侧倾刚度和车身的纵向扭转刚度。(1) 非独立悬架ij =S i jk ij,oj =S ojk oj(9)图 3 示非独立悬架侧倾时的受力。式中 k 是轮胎的侧向刚度, 是轮胎与地面接触的等效侧向附着系数。 由式(3) 可以得到: r ij - roj jj = arctan 2T+ ij-oj(10)设N j =由式(6) 近似可以得到: 1 (N oj - N ij )2,(11)N j =2T jM j + m j r G r (ay r co s7 -sin7 ) r rm j图 3 非独立悬架受力示意图F ig. 3Independen t su

19、 spen sio n fo rced schem e图中, 下标 j, f 或 r, 分别表示该悬架是汽车的 前悬或后悬, i, o 分别代表汽车转向时的内侧和外+ m sj r G r (ay r co s7 -sin 7 ) r cj r co sj +m sj r G r (co s7 + aj r sin7 ) r cj r sinj(12)联立考虑式(4) 和(11) , 可以得到:m j r G侧。S 是轮胎受到的侧向力, 是轮胎的侧向变形,N ij =2r (co s7 + a j r sin7 ) -N jm j r G(13)N 是轮胎受到的垂直支持力, r 是轮胎的行驶半

20、径, tN oj =2r (co s7 + aj r sin7 ) + N j 27 (2) 独立悬架图 4 示独立悬架的侧倾运动特性, 符号的意义式中 # 是材料的剪切弹性模量, D 是稳定杆的 直径, L 是稳定杆的长度。 如果是圆管式稳定性器,同上。则D 4 = D 4 - D 4 , D , D分别是圆管的内、外径。0ii0图 4 独立悬架侧倾运动示意图F ig. 4 D ependen t su spen sio n ro ll mo t io n schem e对于独立悬架, 为了求得某一给定横向加 速度 ay 下的车身侧倾角度, 我们唯一需要考虑的方 程是式(7) , 即M j=

21、 k j·j。 式中 j 是汽车车身相对 于地面的侧倾角度。独立悬架的结构类型不同时, 两侧轮胎的空间 运动也各异。 近似地, 我们认为轮距保持不变, 即:2N j r T j = M j(14)求出 N 以后, 就可以象非独立悬架一样, 用式(13) 和(14) 来计算轮胎的垂直和侧向载荷。 需要指出的是, 由于独立悬架的结构特点, 悬下质量的离心力通过悬架的弹性元件直接影响汽车悬 挂质量的侧倾运动。 因此, 作用于汽车车身的侧倾 力矩除了前面已经提到的汽车悬挂质量的重力偏置 力矩和离心力力矩外, 还应该加上独立悬架悬下质 量的离心力力矩。 设这个力矩为M I, 有:M I = m

22、 uj r G r ay r cj(15) 这个力矩通过影响悬挂质量的侧倾运动进而影 响了另一侧悬架的侧倾反应。 因此它是同时作用于 前后悬架, 由前后悬架共同平衡的, 而不能认为是单独作用于独立悬架。 以上的分析和方程可以运用于所有的独立悬架。 在实际运用时, 可具体根据所研究的独立悬架 类型, 确定其侧倾中心位置并代入相应的参数进行 计算。从以上对非独立悬架和独立悬架的分析中可以 看出, 一些悬架的结构和力学参数对汽车车身的侧 倾运动特性有着重要的影响。 这些也是完成数学模2轮胎的力学计算轮胎的力学特性对汽车的侧倾运动也有着决定 性的影响。 但是, 到目前为止, 轮胎的力学反应机理 尚不完

23、全清楚, 现在可以得到的都是一些半经验性 的轮胎力学模型, 如比较著名的 F ia la 弹性圆环模 型和桥石模型等。这里我们采用文献 7 所推荐的轮 胎力学模型。 轮胎胎体被认为是具有一定应力的帘 布层线性结构。 它可以承受张力但不能承受压力。 轮胎的垂直和侧向载荷呈对称分布, 如图 5 所示。图 5 轮胎受力变形示意图F ig. 5 T ire fo rced defo rm at io n Schem e图中的符号意义如下:R 轮胎没有载荷时的半径; s轮毂半径; 轮胎的断面高度;w 轮胎的有效断面宽度, 这里近似作为轮 胎的印迹宽度;U 轮胎的印迹半长; r 轮胎的应力半径;rn 对应

24、于印迹中心位置的轮胎半径;轮胎胎体的侧向形变;对应于轮胎中心为极点, 印迹中心为零点 的极坐标角度;轮胎截面相对于轮毂的剪切形变; p 轮胎内压。设帘线层的张力为 , 其在侧向的分力之和应 该等于轮胎的侧向力 S, 即:2P r w r (s + r co s) r ta n U型的计算所必需的。当汽车装有横向稳定性器时, 相应的悬架侧倾S = y r N =2 ( - U ) -UrUUN ( - ) r ta n 刚度还应该加上该稳定器的扭转刚度。 以常见的杆=22sinU(17)式稳定器为例, 其扭转刚度为: D 4在垂直方向则有:N = 2P r w r (s + r co sU )

25、r sinU(18) 28 k t =32 r # r L(16)当轮胎承受侧向载荷时, 其侧向刚度为: 1yCG的存在而引起的悬挂质量重心相对侧倾轴线的k =4 (4 -) r k 0 ( 4 - ) r R r U 0 r ( - U 0 )侧偏角, 7、的意义如前所述。=16(19)2k r = r N = S = r kn0 r (R -rn0 )注意到图中的阴影线表示水平线而不是地面,并考虑悬架的垂直变形, 可以得到任意位置悬挂质 量的重力和离心力对侧倾轴线的侧倾力矩:n0= 1 r R r k2r U 0(20)M = m syr G r d r sin (+ -7 + ) +(+

26、 -7 + ) (22)sinU = 8r U 0 U 0 = (4 -) r (- )(21)a r co s22式中上述式中脚注U 为轮胎接地印迹顶端;0为无侧 向载荷静止状态;n为轮胎印迹中心位置。hs = hs0 +d =y CG+ hs(23)当已知轮胎的内压, 自然半径, 轮毂半径, 截面高度及一定静力载荷下的静力半径(相对而言, 这些 参数是容易获得的) , 我们就可以运用以上的公式近 似算出整车侧倾运动数学模型所需的轮胎参数。m s r G r 1 - co s ( - 7 ) - ay s in ( - 7 ) ks(24) y CGhv = arctans(25)3汽车侧倾

27、运动模型的总成和计算(1) 侧倾力矩的计算 汽车的前后悬架正是通过对车身的作用来相互影响对方的侧倾反应的。 具体反应到数学模型中, 则是汽车悬挂质量对侧倾轴线的侧倾力矩在前后悬需要指出的是, 参数 yCG 应根据实际情况取不 同的符号。当 yCG偏向汽车转向的外轮方向时符号 取正, 否则为负。根据式 (25) , 角度 v 也相应随 yCG 取号。ks 是悬架的垂直刚度。 它可以按照下式计算:架上的分配。(a + b)k =2r ksfr ksr()s2226如图 6 所示, (a)、(b)、(c)、(d) 分别表示不同的 悬挂质量重心偏置和路面侧向倾斜情况下, 悬挂质 量的重心由于发生侧倾运

28、动而引起的位置变化。a r ksf + b r ksr式中, ksf, ksr 分别是前后悬架的垂直刚度, a, b 分别 是悬挂质量重心到前后轴的纵向距离。类似地, 悬挂质量重心所在的侧倾平面的两个 角度可以按照下式计算:f r b + r r as =s =a + bf r b + r r a(27)a + b图 6 侧倾力矩F ig. 6 Ro ll to rque图中符号意义为: m s 是汽车悬挂质量, ay 是横 向加速度, hs 是汽车水平停放时悬挂质量重心到侧 倾轴线的竖直距离, yCG 是汽车水平停放时悬挂质 量重心相对侧倾轴线的侧向偏置距离, v 是由于正如前面讨论独立悬架

29、时所指出的, 当汽车有 独立悬架结构时, 其悬挂质量对侧倾轴线的侧倾力 矩M 还应该加上独立悬架的悬下质量的离心力对 侧倾中心的力矩M I。(2) 侧倾力矩的分配 汽车悬挂质量对侧倾轴线的侧倾力矩是由前后悬架共同平衡的。 侧倾力矩在前后悬架上的具体分 配与前后悬架的侧倾刚度以及汽车车身的纵向扭转 刚度有关。 近似地, 我们把汽车车身作为刚体来看 待, 即认为其扭转刚度接近于无穷大。 这时, 车身的 任一平面都相对于地面侧倾了相同的角度, 故此有:f + f = r + r(28)我们可以先假设一个侧倾力矩在前后悬架的分 配比例, 如设:M j = x j rM(29) 29 式中 xj 是一个

30、大于 0 小于 1 的数, 且 xf + xr= 1。 将 其代入以上的数学模型中进行计算, 比较最后得到 的(f + f ) 和 (r + r ) 并据此调整 xj 的值重新计算, 直到式(28) 满足为止。当车身比较柔软且其纵向扭转刚度已知时, 汽 车侧倾运动的数学模型也可以计及车身的柔性影 响。 此时, 侧倾力矩的分配按照以下方程计算:M f + M r = M(30)M f - M r = J s r (+ )(31) (+ ) = (f + f ) -(r + r)(32)式中 J s 是车架车身的纵向扭转刚度。(3) 汽车侧倾运动数学模型的计算 在建立了前后悬架的联系之后, 整个汽

31、车侧倾运动的数学模型就完整了。 下面介绍它的计算。 设内外轮胎的侧向附着系数的比例为 f, 即:ij这一过程也可以用流程图来表示, 如图 7 所示。 由计算的迭代过程可见, 数学模型除了能够计算出汽车在一定横向加速度 ay 下的侧倾角度以外, 还能给出汽车侧倾过程中对应于某一侧倾角度(位 置) 的轮胎垂直和侧向载荷以及变形情况等具有参 考价值的数据, 从另一角度反应侧倾动态过程。 虽 然这些数据是根据稳态分析得到的, 但考虑到汽车 侧倾运动是一个相对缓慢的过程, 它们还是相当可 信的。计算的时候, 如果希望得到较快的收敛速度, 则 可以联立式 ( 7) , ( 22) 和 ( 29) , 并采

32、用小角近似, 得 到:j =x j r m s r G r d r sin ( - 7 + ) + a y r co s ( - 7 + ) + x j rM I k j - x j r m s r G r d r co s (- 7 + ) - ay r sin (- 7 + ) (35)运用式 (35) 代替式 (7) 来计算 j, 可以加快整个数f j =oj(33)学模型迭代计算的收剑速度。联合方程(5) 和(8) , 可以得到:m j r G r (a y r co s7 - s in 7 )计算时, 需要的已知数据是: m s, m uf, m ur, kf , kr , ksf

33、, ksr, a, b, T f, T r, cf, cr , hs0 以及轮胎数据 P, R , s, , kn0oj =N oj + fj r N ij(34)(或对应于N 的 rn0 )以及横向加速度 ay。在给定了所需的参数以后, 就可以进行以下的计算:(1) 设定 xj, fj 的值。对于独立悬架, 由于不考虑 轮胎的变形, 不须设 fj 的值;(2) 根据式 (15) 和 (22) 计算侧倾力矩M (初始 时, 取 = = 0) ;(3) 根据式(29) 计算M j;(4) 由式(12) 和(14) 算出 N j; (5) 由式(13) 算出N ij和N o j;(6) 根据式(3

34、3) 和(34) 计算 ij和 o j;(7) 将N ij, N o j和 ij, o j代入轮胎计算模型中, 可 以得到轮胎的 rij, ro j以及 ij, o j;(8) 由式(10) 算出 j;对于独立悬架, 步骤(6)、(7)、(8) 可以省略。(9) 由式(7) 算出 j;( 10) 将 j, j 作为输入数据, 重复步骤 (2) 以下 计算过程 注意须计算式 (23) , (24) , (25) 和 (27) , 直至 j 物 j 的两次计算之差分别不超过各自限定 的精度值为止(例如, 可设为 0. 01)。 这时认为 j 物 j 为稳定值。(11) 比较(f + f ) 和(r

35、 + r )。当两者的差值超 过某一设定的界限时(如 0. 05) , 适当调整 xj 的值, 重复以上计算过程。 直至(f + f ) 和 (r + r ) 在设定 的精度内相符为止。4汽车侧倾极限的计算以上的数学模型, 在已知横向加速度的情况下, 可以计算出汽车的侧倾角度和轮胎的载荷分布。 但 更受研究者们关注的问题是一辆汽车在多大的横向 加速度下发生侧翻。 因为它直接涉及到汽车的安全 行驶。通常把汽车内侧轮胎与地面脱离接触作为汽车 侧倾的极限。 汽车超过这一极限位置继续侧倾则被 认为是危险的, 相当于发生了侧翻。 从实际安全行 驶角度考虑, 这一界限对驾驶员架车行驶来说是合 理的。 对应

36、于汽车内侧轮胎脱离地面这一侧倾位置 的横向加速度 ay 就是汽车所拥有的最大转向能力, 也称为侧倾极限。为了计算汽车的侧倾极限, 以上建立的汽车侧 倾运动数学模型需要作一些修改。 考虑刚性轴非独 立悬架的内侧轮胎刚刚脱离路面的情况, 如图 8 所 示。显然, 图 8 是图 3 的一种特例。此时汽车的内倾 轮胎不受地面作用力, 也没有柔性变形, 垂直和侧向 载荷都由外侧轮胎来承担。 即:rij = R j , N ij = 0, S ij = 0, ij = 0, ij = 0式(4) 和(5) 变成:N oj = m j r G r (co s7 + aj r sin7 )(36) 30 图

37、7 计算流程图F ig. 7 Calcu la t io n flow schem eS oj = m j r G r (ay r co s7 -sin7 )(37)对外侧轮胎触地点取力矩平衡, 式(6) 变成:m u j r G r (co s7 + aj r sin7 ) r toj + m sj r G r (co s7oj =ij = 0,a y r co s7 - s in 7 co s7 + ay r sin7(39)+ aj r sin7 ) r ( toj - cj r sinj ) = M j + m uj r Gr (ay r co s7 - sin7 ) r rm j +

38、 m sj rG r (ay r co s7-sin7 ) r ( rm j + cj r co sj )(38)由式(36) 和(37) 以及(8) 可以解出:显然此时有 of = o r= 0。 由式(39) 得出:a = o r co s7 - s in 7 oyco s7 - r sin7联立式(38) 和(40) , 可以解出:(40) 31 m j r G r toj - m sj r G r cj r s in j - M j r co s7 T o =m r G r r+ m r G r c r co s - Mr sin7o = 0. 75 H(42)jm jsjjjj(41

39、)它是在数据统计基础上得到的。Tm 是汽车轮 距的平均值, H 是汽车重心高度。正如前面所指出的, 独立悬架的数学模型没有 考虑轮胎的柔性变形, 步骤(2) 和(3) 不必进行。但也 正因为如此, 独立悬架的内侧轮胎脱离地面的状况 不是直接判断的, 而是根据前面所述的近似认为汽 车的两个内侧轮胎同时脱离地面这一假设得到的。 或者说, 独立悬架的内侧轮胎是否脱离地面的判断 是根据非独立悬架内侧轮胎的接地状况来作出的。图 8 非独立悬架侧倾极限位置示意图F ig. 8Independen t su spen sio n ro ll lim it po sit io n schem e以上是针对非独

40、立悬架而言。 对于独立悬架, 由于其数学描述和计算过程本来就没有涉及到轮胎 的变形, 因此不需作修改。只需根据方程(36) 和(37) 直接确定外侧轮胎的载荷即可。至于其他如轮胎力学模型、侧倾力矩的计算依 照前面所述。在给定了相应的参数以后, 就可以按照以下过 程计算汽车的侧倾极限:(1) 设定 xj;(2) 设定 o 的初值;( 3) 将 o 以及 N o j的值代入轮胎的力学模型中 计算出 ro j, o j, to j;(4) 根据式(10) 算出 j;(5) 根据式(22) 和(15) 算出侧倾力矩M ;(6) 由式(29) 算出M j;(7) 由式(7) 算出 j;(8) 将得到的

41、j 代入, 重复步骤(2) 以下计算过 程 注意计算式 (33) , (24) , (25) 和 (27) , 直至 j 的 相邻两次计算之差分别不超过各自设定的精度值为 止(例如, 可设为 0. 01)。(9) 比较(f + f ) 和(r + r )。当两者的差值超过 某一设定的界限时(如 0. 05) , 适当调整 xj 的值, 重 复以上计算过程。 直至(f + f ) 和 (r + r ) 在设定的 精度内相符为止。(10) 根据式(41) 计算 o; 然后取 o 输入值和计 算值的平均值作为新的输入, 重复以上的计算过程。 直至 o 的输入值和计算值相符为止;( 11) 利用最后得

42、到的 o 值由式 (40) 计算侧倾 极限 aylim it。对应的计算流程图 9 所示。关于 o 的初值, 文献 7 推荐按照下式计算:这无疑会影响数学模型预测汽车侧倾极限的准确 性。 对于前后悬架都采用独立悬架的双轴汽车, 这 个数学模型更是无能为力。 但值得庆幸的是, 这种 汽车是比较少见的。 对于前后悬架都是非独立悬架 的双轴汽车, 这个数学模型可以准确地计算其侧倾 极限。同样在计算过程中用式(35) 代替式(7) 来计算 j, 可以加快数学模型迭代计算的收敛速度。进行计算所需要的已知数据是: m s, m uf , m ur, k f , kr , ksf , ksr, a, b,

43、T f, T r, cf, cr, h s0 , H 以及轮胎数据 P, R , s, , kn0 (或对应于N 的 rn0 )。5 结论与展望通过对独立悬架和非独立悬架的数学分析并结 合采用已有的轮胎力学模型, 我们建立了反映独立 悬架和非独立悬架侧倾运动特性的数学模型。 在此 基础上, 根据汽车侧倾时悬挂质量对前后悬架的力 和力矩作用, 或者说, 前后悬架通过车架(车身) 相互 影响彼此侧倾反应的特点, 我们得到了双轴汽车在 稳态转向时侧倾运动的数学模型。 通过组合不同的 前后悬架, 这个数学模型可以反映各种悬架配置的 双轴汽车。 它主要是针对汽车进行稳态转向时的侧 倾情况, 考虑了汽车的

44、结构参数、惯性参数以及悬 架、轮胎的柔性形变对汽车侧倾运动特性和抗侧翻 能力的影响。 它可以用来计算一定横向加速度下汽 车的侧倾反应和轮胎的载荷变化, 也可以用来计算 一辆确定的汽车在保持侧倾稳定性的前提下所能达 到的最大横向加速度。 与侧倾试验台实验结果的比 较, 证明了它对汽车侧倾稳定性的预测能力。 这个 数学模型可以用来预测、评估汽车的侧倾极限, 还可 以用来分析各项参数对汽车侧倾稳定性的影响。开展汽车侧倾稳定性研究, 对汽车设计, 汽车安 全行驶以及相关法规的制订都有重要的意义。 在这 一方面, 本文所做的工作是基础的, 部分的, 所建立 的数学模型也是针对有限的汽车行驶方式, 数学模

45、 32 图 9 侧倾极限计算流程图F ig. 9 Ro ll lim it calcu la t io n flow schem e型本身也有不精确、与实际情况不相符合的地方。从更准确, 更全面, 更方便地研究汽车侧倾稳定性来 33 考虑, 今后需要从以下几个方面做更多的工作:( 1) 建立更为准确、精致地反映汽车行驶真实 情况的数学模型。 例如, 在数学模型中考虑悬架侧 倾中心横向位置的变化, 考虑轮胎侧偏、车轮外倾的 影响, 采用更准确的轮胎力学模型。(2) 在数学模型中考虑汽车其他方向运动对汽 车侧倾运动特性的影响。 这一点特别体现在对轮胎 附着系数的确定上。 最终的目标是建立反映包括侧

46、 倾运动在内的汽车各个方向运动的统一数学模型。 毕竟, 汽车各个方向的运动是相互影响的, 反映汽车 各个方向运动体特性的数学模型都具有汽车这个共 同的基础。(3) 根据数学模型编制相应的计算机仿真程 序, 以便定性、定量地分析各种因素(参数) 对汽车侧 倾稳定性的影响, 或是计算、确定汽车的侧倾反应, 轮胎的载荷转移, 汽车侧倾极限等, 使这方面的理论 研究更容易开展。参考文献 1 T erry M. K lein, A Statistical A nalysis of V eh icle Ro llover P ropen sity and V eh icle Stab ility, SA

47、E 920584. 2 K. N. M o rm an, J r. &F. Giannopou lo s, R ecen t A d2 vances in the A nalytical and Compu tat io nal A spects of M odelling A ctive and Passive V eh icle Su spen sio n s, Compu tat io nal M ethods in Ground T ran spo rtat io n V e2 h icles, AM D V o l. 50, 1984. 3 郭孔辉, 著. 汽车操纵动力学,

48、吉林科学技术出版社,1991. 4 Jeffrey P. Ch rsto s, A S im p le M ethod fo r the M easu re2 m en t of Compo site Su spen sio n Param eters, SA E 910232. 5 W. R iley Garro t & Gary J. H eydinger, A n Investiga2t io n, V ia S im u la t io n, of V eh icle Characteristics that Con t ribu te to Steering M aneuver Induced Ro llover, SA E 920585. 6 M ·米奇克著, 桑杰译, 汽车动力学, 机械工业出版社,1985. 7 S im on T anm y, Operating V eh icle Ro ll Stab ility, SA E 932945. 8 R. B. W