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文档简介

1、概率论与数理统计习题第二章 随机变量及其分布习题2-1 一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只,以表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量的分布律.解:X可以取值3,4,5,分布律为 也可列为下表X: 3, 4,5P:习题2-2 进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为,失败的概率为.(1)将试验进行到出现一次成功为止,以表示所需的试验次数,求的分布律.(此时称服从以为参数的几何分布.)(2)将试验进行到出现次成功为止,以表示所需的试验次数,求的分布律.(此时称服从以为参数的巴斯卡分布.)(3)一篮球运动员的投篮命中率为.以表示他首次投中时累计已投篮的次数,写出的分布律

2、,并计算取偶数的概率.解:(1)P (X=k)=qk1pk=1,2, (2)Y=r+n=最后一次实验前r+n1次有n次失败,且最后一次成功其中 q=1p,或记r+n=k,则 PY=k= (3)P (X=k) = (0.55)k10.45k=1,2P (X取偶数)=习题2-3 一房间有同样大小的窗子,其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间,它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去,试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的,鸟飞向各窗子是随机的。(1)以表示鸟为了飞出房间试飞的次数,求的分布律。(2)户主声称,他养的一只鸟是有记忆的,它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以表示这只聪明的鸟为了

3、飞出房间试飞的次数,如户主所说是确实的,试求的分布律。解:(1)X的可能取值为1,2,3,n,P X=n=P 前n1次飞向了另2扇窗子,第n次飞了出去 =, n=1,2,(2)Y的可能取值为1,2,3 P Y=1=P 第1次飞了出去= P Y=2=P 第1次飞向 另2扇窗子中的一扇,第2次飞了出去 = P Y=3=P 第1,2次飞向了另2扇窗子,第3次飞了出去 =习题2-4 设事件在每一次试验中发生的概率为,当发生不少于3次时,指示灯发出信号.(1)进行了5次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率;(2)进行了7次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率.习题2-5 甲、乙两人投篮,投中的概率分别为

4、.今各投3次. 求(1)两人投中次数相等的概率;(2)甲比乙投中次数多的概率.记X表甲三次投篮中投中的次数Y表乙三次投篮中投中的次数由于甲、乙每次投篮独立,且彼此投篮也独立。P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3) = P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3) = (0.4)3× (0.3)3+ (2)甲比乙投中次数多的概率。 P (X>Y)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X=3)

5、 P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)= 习题2-6 有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯.如果从中挑4杯,能将甲种酒全部挑出来,算是试验成功一次.(1)某人随机地去猜,问他试验成功一次的概率是多少?(2)某人声称他通过品尝能区分两种酒.他连续试验10次,成功3次.试推断他是猜对的,还是他确有区分的能力(设各次试验是相互独立的).解:(1)P (一次成

6、功)=(2)P (连续试验10次,成功3次)= 。此概率太小,按实际推断原理,就认为他确有区分能力。习题2-7 一电话交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布,求:(1)某一分钟恰有8次呼唤的概率;(2)某一分钟的呼唤次数大于3的次数。(1)每分钟恰有8次呼唤的概率法一:(直接计算)法二:P ( X= 8 )= P (X 8)P (X 9)(查= 4泊松分布表)。 = 0.0511340.021363=0.029771(2)每分钟的呼唤次数大于10的概率。 P (X>10)=P (X 11)=0.002840(查表计算)习题2-8 以表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达等

7、待的时间(以分计),的分布函数是求下述概率:(1);(2);(3) ;(4);(5)。解:(1)P至多3分钟= P X3 = (2)P 至少4分钟 P (X 4) = (3)P3分钟至4分钟之间= P 3<X4= (4)P至多3分钟或至少4分钟= P至多3分钟+P至少4分钟 = (5)P恰好2.5分钟= P (X=2.5)=0习题2-9 某种型号的电子管的寿命(以小时计)具有以下的概率密度现有一大批此种管子(设各电子管损坏与否相互独立),任取5只,问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少?解:一个电子管寿命大于1500小时的概率为令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时

8、的个数”。则,习题2-10 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(以分计)服从指数分布,其概率密度为某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟,他就离开,他一个月要到银行5次,以表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,写出的分布律,并求.解:该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为因此习题2-11 设,求(1),;(2) 确定,使得;(3)设满足,问至多为多少?解:若XN(,2),则P (<X)=P (2<X5) =(1)(0.5) =0.84130.3085=0.5328P (4<X10) =(3.5)(3.5) =0.99980.0002=0.9996P (|X|>2)=

9、1P (|X|<2)= 1P (2< P<2 ) = =1(0.5) +(2.5) =10.3085+0.0062=0.6977P (X>3)=1P (X3)=1=10.5=0.5(2)决定C使得P (X > C )=P (XC)P (X > C )=1P (XC )= P (XC)得P (XC )=0.5又P (XC )= C =3 习题2-12 某地区18岁的女青年的血压(收缩压,以计)服从.在该地区任选一18岁的女青年,测量她的血压.(1)求;(2) 确定最小的,使1) P (X105),P (100<X 120). (2)确定最小的X使P (X

10、>x) 0.05.解:习题2-13 一工厂生产的电子管的寿命(以小时计)服从参数为的正态分布,若要求,允许最大为多少? P (120X200)=又对标准正态分布有(x)=1(x) 上式变为 解出 再查表,得习题2-14 设随机变量的分布律为-2-1013求的分布律.解; Y=X 2:(2)2 (1)2(0)2(1)2(3)2 P: 再把X 2的取值相同的合并,并按从小到大排列,就得函数Y的分布律为: Y: 0 1 4 9 P: 习题2-15 设随机变量在上服从均匀分布.(1)求的概率密度;(2)求的概率密度.(1)求Y=eX的分布密度 X的分布密度为:Y=g (X) =eX是单调增函数又

11、X=h (Y)=lnY,反函数存在且 = ming (0), g (1)=min(1, e)=1 maxg (0), g (1)=max(1, e)= e Y的分布密度为:(2)求Y=2lnX的概率密度。 Y= g (X)=2lnX是单调减函数又 反函数存在。且 = ming (0), g (1)=min(+, 0 )=0 =maxg (0), g (1)=max(+, 0 )= + Y的分布密度为:习题2-16 设,(1) 求的概率密度;(2) 求的概率密度;(3) 求的概率密度.(1)求Y=eX的概率密度 X的概率密度是 Y= g (X)=eX是单调增函数又X= h (Y ) = lnY

12、反函数存在且 = ming (), g (+)=min(0, +)=0 = maxg (), g (+)= max(0, +)= + Y的分布密度为:(2)求Y=2X2+1的概率密度。在这里,Y=2X2+1在(+,)不是单调函数,没有一般的结论可用。设Y的分布函数是FY(y),则FY ( y)=P (Yy)=P (2X2+1y) =当y<1时:FY ( y)=0当y1时:故Y的分布密度( y)是:当y1时:( y)= FY ( y)' = (0)' =0当y>1时,( y)= FY ( y)' = =(3)求Y=| X |的概率密度。Y的分布函数为 FY ( y)=P (Yy )=P ( | X |y)当y<0时,FY ( y)=0当y0时,FY ( y)=P (| X |y )=P (yXy)= Y的概率密度为:当y0时:( y)= FY ( y)' = (0)' =0当y>0时:( y)= FY ( y)' =习题2-17 设随机变量的概率密度为求的概率密度.解:FY ( y)=P (Yy) = P (sinXy)当y<0时:F

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