极坐标、参数方程

1、坐标系与参数方程坐标系和参数方程高考以选择、填空、计算题的形式出现，主要以计算题为主。选择、填空一般是5分。计算题是在高考题最后三选一的第2题，分值为10分。极坐标以选择填空为主，难度不大，参数方程以解答题为主，10分左右。1 、极坐标知识及应用2课时2 、参数方程知识及应用2课时3 、坐标系及参数方程综合应用4课时大纲要求：1、理解坐标系的作用2、了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。3、能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。4、能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）

2、的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。5、了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别。6、了解参数方程，了解参数的意义。7、能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。8、了解平摆线、渐开线的生成过程、并能推导出它们的参数方程。9、了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。命题规律:1、常考内容：(1)根据问题的几何特征选择坐标系，平面直角坐标系中的伸缩变换，极坐标系、直线、和圆的极坐标方程。(2)根据问题的条件

3、引进适当的参数，写出参数方程，分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程。2、常见题型：主要以填空题和解答题为主，难度中等。命题趋势：1、热点预测：预测本专题内容任然是2014年高考的热点。极坐标以选择填空为主，参数方程以解答为主。2、趋势分析：预测2014年高考对本专题考查保持平稳，内容仍以极坐标参数方程化为普通方程为主，注重基本运算及极坐标参数方程的应用。知识点：一、坐标系1 .平面直角坐标系中的坐标伸缩变换xx(小0)设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换甲乂t()的作用yy(0)下，点P(x,y)对应到点P'(x：y),称呼为平面直角坐标系

4、中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2 .极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点o ,叫做极点，自极点。引一条射线Ox,叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.（2）极坐标设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为P；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角/xOM叫做点M的极角，记为e.有序数对（

5、p,8）叫做点M的极坐标，记作m（p,e）.一般地，不作特殊说明时，我们认为P之0,日可取任意实数.特别地,当点m在极点时,它的极坐标为（0,e）（eeR）.和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定P>0,0<2n,那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（P,8）表示;同时，极坐标（P,6）表示的点也是唯一确定的.3 .极坐标和直角坐标的互化（1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示：（2）互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（x,y）,极坐标是（P,8）（P>0）,于是极坐标

6、与直角坐标的互化公式如表点M直角坐标（x,y）极坐标（p,e）互化公式x=PcosB'y=PsinQP2=x2十y2tanQ=(x手0)x在一般，f#况下，由tan日确定角时，可根据点M所在的象限最小正角4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆Qt/-；P=r(0<0<2jt)圆心为（r,0）,半径为r的圆AJTJTP=2rcos8(<9<)22圆心为仁上）,半2径为r的圆Go工P2rsin日(0WH<n)过极点，倾斜角为a的直线&.X1)0=a(PwR)或8=n+c(PwR)2)日=a(P殳0)和日=n+ct(P之0)过

7、点（a,0），与极轴垂直的直线1(u.O)-rPcos8=a(<9<)22过点（a,t）,与极2轴平行的直线-i4O9,y)XPsin6=a(0<8<n)注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(P,e),(P,2n+0),(-P,n+0),(-P,-n+日),都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程P=8,点M(土,工)可以表示为4 4二二一：二5二(一,一+2兀)或(一,2n)或(-一,)等多种形式，其中，只有(一,一)的极坐标满足方44444444程

8、"二、参数方程1 .参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数xf(t)x()，并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上y=g(t)那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2 .参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如x=f(t),把它代入普通方程，求xf(t)出另一个变数

9、与参数的关系y=g(t),那么!()就是曲线的参数方程，在参数方程与y=g(t)普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3 .圆的参数如图所示，设圆。的半径为r,点M从初始位置M0出发，按逆时针方向在圆O上作x=rcos1匀速圆周运动，设M(x,y),则(6为参数)。ytrsini这就是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是OM0转过的角度。圆心为（a,b）,半径为r的圆的普通方程是（xa）2+（yb）2=r2,

10、x=arcosi，/一它的参数方程为：（日为参数）。y=brsin14 .椭圆的参数方程22以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为x2+与=1（aab>0）,其参abix=acos数方程为xw为参数），其中参数中称为离心角；焦点在y轴上的椭圆的标准方y二bsin22x=bcos程是yy+4=1（aAbA0）,其参数方程为（中为参数），其中参数邛仍为离心aby=asin：角，通常规定参数中的范围为中C0,2n）。注：椭圆的参数方程中，参数邛的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角a区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2兀冗的范围内），

11、在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当0Eo（E一时，相应地也有2/冗0<<-,在其他象限内类似。25 .双曲线的参数方程22以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为"4=1（a>0,bA0）,abx=asec；：3：其参数方程为x（中为参数），其中中正0,2立）且中#W#3-y=btan2222焦点在y轴上的双曲线的标准方程是-y2-x2-=l（a>0,b>0）,其参数方程为abx=bcotrbm（中为参数，其中甲W（0,2n）eM甲/n.y=acsc以上参数邛都是双曲线上任意一点的离心角。6 .抛物线的参数方程12以坐标原点为顶点开口

12、向右的抛物线y2=2Px（p>0）的参数方程为x =2pt2 y = 2pt（t为参数）.7 .直线的参数方程经过点M0（X0,y0）,倾斜角为a（a#土）的直线l的普通方程是y-y0=tana（x-X0）,2一，x=X0+tcosot而过M0（x0,yO）,倾斜角为a的直线l的参数方程为0（t为参数）。y=y°tsin;注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点M0（x0,y0）,倾斜角为a的直线l的参数、x=x0tcos.s.,万程为0（t为参数），其中t表示直线l上以定点M0为起点，任一点y=y0tsin工M（x,y）为终点的有向线段M°M的数量，当点M在M。上方

13、时，t>0；当点M在M。下方时，t<0;当点M与M。重合时，t=0。我们也可以把参数t理解为以M。为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。高考题型示例及解答:1.12012高考真题新课标理23】本小题满分10分）选彳44;坐标系与参数方程x=2cos*已知曲线C1的参数方程是）（中为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴y=3sin为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是P=2,正方形ABCD的顶点都在C2上，n且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2,）3（1）求点A,B,C,D的直角坐标；设p为Ci上任意一点，

14、求|pa|2+|pb|2+|pc|2+|pd|2的取值范围【答案】点4Asl的极坐标为仁今当值当C当）36j6点D的直角坐标为二4L一、1小：巫-。1%=2e5科<2）设网项J。则；,单为参数）：岭二有口举r=|Adtp+|PJ|If|TC|3-fr|j®P=4x?+Va+«=5620sin*56z_6（Lfxlby）2.12012高考真题陕西理15】（坐标系与参数方程）直线2Pcos8=1与圆P=2cos日相交的弦长为【答案】0【解析】直线2pcos&=1与圆pcos8的普通方程为2.Y-1和口-19圆心到直线的距离为1三二!，所以弦长为ij：（3=0.x=

15、t1.3.12012局考真题湖南理9】在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：,（t为参数）y=1-2tx=asin与曲线C2:x,（日为参数，a>0）有一个公共点在X轴上，则a=_.y=3cos1【答案】:一YZ+13【解析】曲线U：,直鱼坐标方程为1二3一工一马慧轴交点为Q.。）；）二1一%2t=£?sin8f1-*曲线C；/:直焦坐标方程为+=1,其与.v轴交点为（-髭0）,（60）.1=jcospq*9由。>0.曲线C与曲线U有一个公共点在X轴上，知口二.L*74.12012高考真题上海理10】如图，在极坐标系中，过点M（2,0）的直线l与极轴的夹角若将l的极坐标方程

16、写成P=f（日）的形式，则f（日）=【答案】a=【解析】设直线上的任一点为P3：可，因为二R*=二，所以r-疆r2sin即一=,即二一=-5in(工一一)sin(S')sin(&)sin(-c-j6666C的直角坐标方程为5.12012高考真题江西理15（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线x2+y2-2x=0,以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C的极坐标方程为【解析】因为Y+j=r所以代入直角坐标方程整理得口二-二夕=0,所以0一二二8营二0，即极坐标方程为Q=【答案】/?=2cos56.12012高考真题湖北理16（选修4-4:坐标系与参数方程）在直角坐标系

17、xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知射线兀fx=t+1,日=一与曲线彳2（t为参数）4y=（t-1）2相交于A,B两点，则线段AB的中点的直角坐标为一»【答案】尸弓二,.fKf-1【解析】3=士在直角坐标系下的一般方程为l=«工已J?）,将参数方程一一（为4y=（r-l?参数）转化为直角坐标系下的一般方程为j=5-1）：=0-1-1）；="-万表示一条抛物线，联立上面两个方程消去工有/-工丫-4=0,设一九5两点及其中点尸的横坐标分V.+te弋别为汇，则有韦达定理r二3二二，又由于点P点在直线V二上，因此的中点产二二）TT7.12012高

18、考真题安徽理13】在极坐标系中，圆P=4sin6的圆心到直线9=L（Pwr）的6距离是【答案】有【解析】mp=44口9=4的圆心C；,直线2g二二仍三为一厂后-th点c到直痴的距离是二862228.12012高考真题天津理12】已知抛物线的参数方程为X=Pt,（t为参数）,其中p>0,J=2pt焦点为F,准线为1.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|=|MF|,点M的横坐标是3,贝Up=.【答案】2【解析】消去参数t得抛物线方程为y2=2px,准线方程为x=-2，因M为抛物线上一2点，所以有|mf|=|me|,又|mf|ef|,所以三角形MEF为等边三角形，则EF|=MF=2p=3（R）=3+2，解得p=2。