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1、泰勒公式的推广及某些应用数学计算机学院数学与应用数学(师范)专业 2012级届 王杰摘 要: 目的推广带有皮亚诺(Peano)型余项的泰勒公式及应用.方法应用带有皮亚诺型余项的泰勒公式.关键词: 极限；泰勒公式；推广；应用中图分类号：O172Some Application of Taylor formula and its extensionAbstract: In order to generalize Taylor formula with remainder item Peano and its application,the application of Taylor formula

2、 with the Peano form of the remainder was discussed in calculating . Key Words: limits; Taylor formula; extension; application目 录1引言12 泰勒公式在实分析中的应用22.1 泰勒公式在证明不等式中的应用22.2 泰勒公式在求函数极限中的应用33 泰勒公式在复分析中的一个推广43.1 预备知识53.2 主要公式及其推论63.3 主要公式的证明73.3 几个常见解析函数的泰勒展式及简单应用84 泰勒公式在两函数的和、差、商的推广95 结束语13参考文献13致谢14泰勒公

3、式的推广及某些应用1引言泰勒公式有那些形式？为了方便我们研究和讨论，在这我们先说几种. 定理1.1 设在点具有阶导数，即存在，则存在的某个领域，对于该邻域内的任一点，有 (1.1)我们称为皮亚诺型余项，(1.1)式称为带皮亚诺型余项的泰勒公式. 多项式 (1.2)称作在处的泰勒多项式. 当时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式. (1.3) 在泰勒公式(1.2)中，如果取，则在0与之间因此可令，从而泰勒公式变成较简单的形式，即所谓麦克劳林(Maclauri)公式 (1.4)在泰勒公式(1.1)中，如果取，则有带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式 （1.5）那么它在这方面有那些应用？它又有什么推广和应用？我

4、们通过以下的几个方面来深入探讨和研究. 2 泰勒公式在实分析中的应用泰勒公式是研究复杂数学问题的极其有效的工具，在证明不等式、求函数极限、求近似值、判断函数极值等方面有着广泛的应用.因此，关于泰勒公式的应用一直是人们研究的课题. 下面我们介绍泰勒公式的几个应用.2.1 泰勒公式在证明不等式中的应用用泰勒公式证明不等式就是把所要证的不等式适当变形,把其中的函数用此公式展开,再把展开式右边进行放大或缩小,从而推证要证的不等式. 例2.1 当时，证明不等式成立. 证明 由于故即 所以成立. 例2.2 设是上的连续正值函数，且证明. 分析 直接写出的泰勒展开式，然后根据题意对展式进行放缩. 证明 将在

5、点处展开成带拉格朗日型余项的泰勒公式得：2.2 泰勒公式在求函数极限中的应用当极限为分式时，若分子或分母中只需展开一个，那么只需把其展到另一个的同阶无穷小的阶数；若分子和分母都需要展开，可分别展到其同阶无穷小的阶数，即合并后的首个非零项的幂次的次数. 当极限不是为分式时，展开的阶数应与函数中最高次幂相同. 例2.3 求分析 因为分子、分母都需要展开，比较一下分母为两个函数的乘积，先展分母，再把分子展开到分母的同阶无穷小. 解 所以 故 通过上面的几个例子，可以看出利用泰勒公式求解某些函数的极限具有简洁、方便的作用，从而准确、高效的解决一些数学问题. 3 泰勒公式在复分析中的一个推广泰勒公式在实

6、变函数与复变函数中占有重要的地位，特别是在函数逼近论、求解微分方程、级数理论和估值等方面都有其重要的理论与应用价值. 众所周知，在数学分析中，泰勒公式大部分是在Lagrange中值公式的基础之上推广而提出的，并结合数学分析中的其它理论得到了带有各种余项形式的泰勒公式.与此相比较，在复变函数中，泰勒公式是在幂级数理论部分中提出的，并且主要运用柯西积分公式来证明的，也并没有提及泰勒公式余项的问题等.当然，实变函数中的大部分中值公式是不能直接推到复变函数中的1，但在复分析中有Grace公式及其推广与文献中的Lagrange中值公式等类似结论2.这些理论研究有其不同的研究重点，但是它们也是实分析中微分

7、中值公式很好的继承与发展.基于这些理论和上面的分析比较，给本文公式的提出提供了理论支持和推理模式.本文就是在文献中的Lagrange中值公式的改进基础之上2，得出了本文中与实分析中的泰勒公式相类似的结论：设于内解析，在上连续，连线含于内，则在线段上必有两点有在实分析实变函数展开为幂级数时，要证明其余项趋于零.而在复变函数展开为幂级数时，却不必要，要证明余项趋于零是非常困难与复杂的.鉴于此，本部分只形式地给出了余项. 这也是部分结合实变函数的泰勒公式通过推理论证而得到的一个新结果. 3.1 预备知识 定义3.1 具备下列性质的非空点集,称为凸型区域，简称凸域. （1）为开集. （2）中任意两点的

8、连线全在中. 定义3.2 区域加上它的边界,称为闭域，记为. 定义3.3 如果复变函数在区域内处处可微，则称于区域可微.如果函数在区域内可微，则称函数在区域内的解析函数. 区域内的解析函数，也称为区域内的全纯函数或正则函数.为了后面主要公式的证明，对参考文献中的Lagrange中值公式进行了如下的改进2： 引理3.1（Lagrange中值公式） 设在区域内解析,连线包含于内，则在线段上必有两点有 证 （1）时，结论显然成立. （2）时，设线段的方程为：作辅助函数由于内解析,所以于上连续,于上可导，从而与满足实变函数的拉格朗日中值公式，也因此，分别，使 其中， ，整理即得结论. 证毕. 推论3.

9、1 设于凸域内解析，则必存在两点，有 注 对于推论1.1，结合定义1.1中的（2）中任意两点的连线全在中，知凸域只是引理1.1中区域的特例，因此推论又可以叙述为：设于区域内解析，中任意两点的连线全在中，则，必存在两点，有并且，通过推理过程，我们可以进一步知到推论中所给出存在的两点，可在所给出的任意两点的连线上得到. 3.2 主要公式及其推论 定义3.4 设于内解析，在上连续，连线含于内，则在线段上必有两点有 推论3.2 设于凸域内解析，则必存在两点，有3.3 主要公式的证明 证明 （类似引理1.1的证明） （1）时，结论显然成立. （2）时，设线段的方程为：. 作辅助函数则由于内解析，所以于上

10、连续，于上可导，又由解析函数的无穷可微性，从而与满足实变函数的泰勒公式，则分别，有从而， 其中，整理即为所证. 说明 对于推论3.2，由凸域的定义3.1中（2）中任意两点的连线全在中，知本公式的区域是公式3.1中区域的特例，从而可以按公式3.1直接证出. 在Grace公式的推广3(文献有详细的叙述与论证)及其文献中的Lagrange中值公式等结论的研究与改进的基础之上2，结合实分析中的泰勒公式及其导出模式，形式地得到了解析函数在线段上的带有余项的泰勒展式：给出这个的泰勒展式，在解某些题目时，便于简化问题，使解题过程直观易于理解. 3.3 几个常见解析函数的泰勒展式及简单应用 例3.1 求函数在

11、平面的解析区域内的线段上的泰勒展式(). 分析 我们已经熟知在解析区域中的泰勒展式，又由于泰勒公式的唯一性，因此，可以只考虑展示的尾项，这是这种展开式的关键. 解 因为所以 . 例3.2 求函数在平面的解析区域内的线段上的泰勒展式(). 分析 我们可以结合实分析的泰勒展式及其本文中的公式，从而可以只考虑尾项，得到等的展式. 解 考虑尾项得到 例3.3 为解析函数的至少级零点，又为解析函数的级零点，则证 分析 本题的应用关键在于，在所要求的区域充分小的情况下，我们可以保证邻域中的任意点与的连线段含于其邻域内，从而在这些线段上有本文的泰勒公式成立，从而可以运用这个公式，相对原来的解法直观一些. 证

12、明 因与在的某邻域内解析，为的至少级零点，为的级零点，则在的某邻域内由于时，邻域中的任意点与的连线段含于其邻域内，从而在这些线段上有： 所以有4 泰勒公式在两函数的和、差、商的推广如果对和在点的某个邻域内分别使用泰勒公式4.则有，将公式移项，得 (4.1) (4.2)问题是，能否找到一个共同的，使得（4.1）（4.2）两式的两端经四则运算以后，分别得到如下几个等式： (4.3) (4.4) (4.5) (4.6)事实上，（4.5）式不成立.因为若将（4.5）式右端取到一阶导数，且令，怎应有.现在取，,取，则，而二者不相等，即在内找不到，使得（4.5）式成立. 下面证明(4.3)、(4.4)、（

13、4.6）式成. 定理 4.1 设在点的某邻域内具有直到阶的导数，则当时，在间至少存在一点，使得（4.3）式成立. 证明 设，显然满足泰勒公式的条件，则有即移项并重新排序即得（4.3）式成立，证毕. 类似的，只要设，即可证明（4.4）式成立. 定理 4.2 设在的某邻域内具有直到阶的导数，且在以为端点的开区间内的各阶导数处处不为零，则在之间至少存在一使得（4.6）式成立. 证明 设易知在内具有直到阶导数，且：于是，经反复使用柯西中值定理，有.这里在与之间，在与之间，在与之间，因而也在与之间 注意到,故有，于是,将与代入即得（4.6）使式，证毕. 若取，则定理4.2可化简为如下形式： (4.7) 例4.1设函数在的某邻域内具有阶导数，试证明 证明 令，因为,所以，于是根据（4.7）式，有证毕. 结束语 根据题目特点,灵适地运用泰勒公式及其推广,不断加深对其理解与认识,对学习微积分学都十分有益. 希望本文对泰勒公式的部分总结和提出的泰勒公式与其相应推论能有其广泛的理论价值与应用价值. 参 考 文 献1 钟玉泉. 复变函数论M. 北京:高等教育出版社，2003.2 潘韵淮. 解析函数的微分中值公式J. 四川师范