等比数列知识点总结与典型例题+答案

1、等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义:-an-q q 0 nan 12,且 n Nq称为公比2、通项公式:n 1anaqa nq qBn a1q 0,A0 ,首项：a1；公比：q推广：ann mamq冬q amanam3、等比中项：(1)如果a, A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：A2 ab或A Tab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项 有两个(2)数列an是等比数列2anan 1 an 14、等比数列的前n项和Sn公式:(1)当 q 1 时，Snna1(2)当 q 1 时，Sna1 1a11 qanA Bn A'Bn A' ( A,

2、B,A',B'为常数)5、等比数列的判定方法:(1)用定义：对任意的n ，都有an 1qan或旦q(q为常数，a00) a0为等比数列 an(2)等比中项：an2an 1an 1 (an 1 an 10)an为等比数列(3)通项公式:anBnan为等比数列6、等比数列的证明方法:依据定义：若n-qan 12,且nN 或an 1 qanan为等比数列7、等比数列的性质:(2)对任何m,n N ,在等比数列an中，有an amq。(3)右 m n s t(m,n,s,t N ),则 an am as at。特别的，当 m n 2k 时，得 an am akr： ai an a2 a

3、n 1 a3an 2等差和等比数列比较：等差数列等比数列定义递推公式；通项公式()中项()()前项和重要性质am an ap aq *(m, n, p,q N ,m n p q)a m a n a p a q,- . *、(m, n, p, q N ,m n p q)经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1.等比数列an中，a1 a9 64, a3 a7 20,求 a11.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于ai和q的二元方程组，解出ai和q,可得an；或注意到下标1 9 3 7,可以利用性质可求出a3、a7,再求即.总结升华:列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利

4、用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要 用除法（除式不为零）.举一反三：【变式11 an为等比数列，a二3, a9=768,求a6。【变式2】an为等比数列，an>0,且a1a89=16,求a44345a46的值。【变式3】已知等比数列an,若a1 a2 a3 7 , a1a2a3 8 ,求an。类型二：等比数列的前n项和公式例2,设等比数列an的前n项和为3,若&+&=2S,求数列的公比q.举一反三：【变式1】求等比数列1J,L的前6项和3 9【变式2】已知：an为等比数列，aia2a3=27, S3=13,求

5、&.【变式3】在等比数列an中，a1 an 66, a2 an 1 128, Sn 126,求n和q。类型三：等比数列的性质例 3.等比数列2门中，若a5a69,求 log 3alog3 a2 logs aio.举一反三：【变式1】正项等比数列an中，若ai 3100=100;贝U lgai+lga2+ +lga 100=【变式2】在8和27之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 320类型四：等比数列前n项和公式的性质例4.在等比数列an中，已知& 48, S2n 60,求S3n。思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比

6、数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，第n个k项和仍然成等比数列。举一反三：【变式11等比数列an中，公比q=2, S4=1，则&二【变式2】已知等比数列a。的前n项和为S 且S°=10, S 20=40，求:&。=?【变式3】等比数列烝的项都是正数，若S=80, S 2n=6560,前n项中最大的一项为54,求n.【变式4】等比数列an中，若a+&=324, a 3+a4=36,则a5+a6=【变式5】等比数列an中，若ai+&+a3=7,a4+a5+a5=56,求a7+a8+&的值。类型五：等差等比数列的综合应用例5.已知三个数成等比

7、数列，若前两项不变，第三项减去32,则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4,则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数， 并将其设为整式形式.总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d, a, a+d；若三数成等比数列，可设此三数为 -,x, xy。但还要就问题而言，这里解法二 y中采用首项a,公比q来解决问题反而简便。举一反三：【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列,如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原

8、来的等比数列.2】已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为 91，求这三个数。【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.类型六：等比数列的判断与证明例6.已知数列an的前n项和S满足：log 5(Sn+1)=n(n N),求出数列an的通项公式, 并判断a n 是何种数列？思路点拨：由数列an的前n项和Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断an类型.举一反三：【变式1】已知数列Cn,其中G=2n+3n,且数列Cn+1-pCn为等比数列，求常数P【答案】 p=2 或 p=3；【证明】设

9、数列an、bn的公比分别为p, q ,且pwq【变式3】判断正误：a n为等比数列a7=&a4；(2)若b2=ac,贝U a, b, c为等比数列；(3)a n, bn均为等比数列,则anbn为等比数列；a n是公比为q的等比数列，则a2、 仍为等比数列；an(5)若 a, b, c 成等比，则 log na, log mb, log mc 成等差.类型七：Sn与an的关系a (n 1)Sn Sni (n 2)例7.已知正项数列an,其前n项和&满足10Sn a2 5an 6,且ai, a3, ai5成等比数列J, 求数列a n的通项an.总结升华：等比数列中通项与求和公式间有

10、很大的联系，它们是 尤其注意首项与其他各项的关系.举一反三：【变式】命题1：若数列an的前n项和Sn=an+b(awl),则数列an是等比数列；命题2： 若数列an的前n项和S=na-n,则数列an既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中， 真命题为 个.经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1.等比数列an中，a1a9 64, a3 a7 20,求 a11.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于a1和q的二元方程组，解出 a1和q,可得ai；或注意到下标1 9 3 7,可以利用性质可求出a3、a7,再求ai.解析:设此数列公比为q,则a1 a9 a1alq8 6426a

11、3 a7 aq aq20由(2)得：a1q2(1 q4) 20(3), , a10 .由(1)得：(a1q4)2 64 , . aq4 8 (4)/41q205(3)+(4)得：一；一q28242.一2.21 2q 5q 2 0,解得 q2 或 q-2当 q2 2 时，42, a11 a1 q10 64；2110当 q 时，a132, an a q 1.2法一:, a a9 a3 a764，又 a3 a7 20,，a3、a7为方程x2 20x 64 0的两实数根,a3 16a3 4或a7 4a7 1622a7, a3 an a7 , ，a11 1 或 a11 64 .a3总结升华：列方程（组）

12、求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式 不为零）.举一反三：【变式1】an为等比数列,a1=3, a9=768,求a6。【答案】土 96法一：设公比为 q,贝U 768=a1q8, q8=256,，q=±2,%=±96;2法一： a5 =a1a9 a5=± 48 q=±2,，a6=±96。【变式2】an为等比数列，an>0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。【答案】64;aa89 a4516,又 an>0, . . a

13、45=4, , a44 a45 a46a4564。7 ， aa2a3【变式3】已知等比数列an,若a1 a2 a3anaa3-n 13 n2 或 an22a2,aa2a33a2a1 a3 5从而，解之得a1 1 , a3 4或a1 4, a3 1a® 4-1当 ai 1 时，q 2；当 ai 4 时，q 2。故 an 2n 1 或 an 23n。法二：由等比数列的定义知a2 a1q ， a32aq21a1a1qa1q7代入已知得11M1M7,(1) 2 a1 a1q a1q8a1(1q q2) 7, a(1 q q2)3 3a1q8aq 2»29将 a1一代入(1)得 2q

14、2 5q 2 0, q1解得q 2或q. a 4a 1由(2)得臼 或 1,以下同方法q 2 q 2类型二：等比数列的前n项和公式例2.设等比数列an的前n项和为Sn,若&+&=2&,求数列的公比q.解析：若 q=1,贝U有 S3=3a1, &=6a , &=9a1.因aw0,得与+与吃2s9,显然q=1与题设矛盾，故qw1._92ai(1 q )3、6、a1(1 q ) a1(1 q )由 S3 s6 2s9 得，一1A"1 q 1 q整理得 q3(2q 6-q 3-1)=0 ,由 qw0,得 2q6-q 3-1=0 ,从而(2q 3+1)(

15、q 3-1)=0 ,因 q3w1,故 q31一,所以q2342举一反三:【变式1】求等比数列11,3,9,L的前6项和。364；2431， q1161364324313,613【变式2】已知：an为等比数列,a1a2a3=27, S3=13，求 G.-121【答案】121或上1；93贝U a1=1或a9* 27 a2 3, 13 至91 q一 S5135121 或 S5=1211-3【变式3】在等比数列an中，a1 an66 , a2 an 1 128, Sn 126,求 n和 q。1【答案】q 或2, n 6； 2a2 an 1 a an, aan128解方程组aan 128 /日 a1,待

16、q an 66an64a1an264将an 6j。2由 anaqn 1,解得 n 6 ；将a1 2代入Sn a1 anq，得q 2, an 641 q由 anaqn 1,解得 n 6。1八c q 或 2, n 6。2类型三：等比数列的性质例3.等比数列an中，若 a5 a6 9,求 log3allog3a2 . log 3 a10.解析:.an是等比数列，.1 log 3 ai log 3 a2举一反三：【变式1】正项等比数列a1 a10a2 a9a3 a8 a4 a7 a5 a6955log 3 a10 Iog3(a1 a2 a3L a10)Iog3(a5 a6) Iog3 910an中，若

17、 ai - aioo=1OO;则 Iga i+lga 2+lga 100=【答案】100; Iga 1+Iga 2+Iga 3+lga 100=lg(a 1 a2 a3 a100)而 a a100=a2 - a99=a3 丽=a50 - a5150 .原式=lg(a 1 - a100) =50lg(a 1 - a100)=50 x Ig100=100。【变式2】在8和红之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 32法一：设这个等比数列为an,其公比为qa2 a3a5a4274 aq281162aq aq3aq3ai63216。法二：设这个等比数列为an,公比为aia5272

18、，加入的三项分别为a2, a3, a4，2由题忌a1，a3, a5也成等比数列，a327236 ,故 a3 6,【答案】216;23a? a3 a4 a3 a3 a3 216。类型四：等比数列前 n项和公式的性质例4.在等比数列an中，已知Sn 48,S2nk项和,思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前 第2个k项和，第3个k项和，第n个k项和仍然成等比数列。解析：法一： 令 b1 = S=48, b 2=Sn-Sn=60-48=12 , b3=S3n-S2n观察 b1=a1+a2+b2=an+1+an+2+-b3=a2n+1+a2n+2+an,-

19、+a2n=qn(a /2+a3n=q易知bi,b2,b3成等比数列，2n,_. 一 .(a 1+32+hb2b3一+an), +an) 望3,S3n=b3+S2n=3+60=63.法二： S2n 2Sn ,qai(1 qn)481 q由已知得 q一q2n)601 qc5ci+得i qn5,即qn144代入得& 64 , i qa1(1q3n)1S3n64(1630法三：:an为等比数列，Sn, S2n & , S3n S2n也成等比数列, (S2nSn)2Sn(S3n S2n),(S2n Sn)2(60 48)2S3n S2n 60 63。Sn48举一反三：【变式1】等比数列a

20、n中，公比q=2, S4=1，则&=【答案】17;S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q +&q +a3q +a4q =S4+q (a 1+a2+a3+a4)=S4+qS4=S4(1+q )=1 x (1+2 )=17【变式2】已知等比数列an的前n项和为Sn,且S10=10, S20=40,求：§。=?【答案】130;法一：S0, S20-S10, S30-S20构成等比数列，(S20-S10)2=S10 - (S30-S20)即 302=10(S30-40),Sb0=130.法二：,2S0WS20,q 1 ,1020 辿山 10, S20 到9 40,1

21、 q1 q.10.- 1 q 1 - a10 3 . _a_520, q 3 ,51 q 41 q30 S301( q )( 5)(1 33) 130.1 q【变式3】等比数列an的项都是正数，若 Sn=80, S 2n=6560,前n项中最大的一项为 54,求n.【答案】-Sn-80- , q 1(否则 S-)S2n6560S2n 2 Sna1(1 q )=80 1 q2nS2naq- =6560(2),1 q(2) +(1)得：1+qn=82, .,.qn=81(3) .该数列各项为正数，由(3)知q>1，an为递增数列，an为最大项54.an=aiqn-1=54,aiqn=54q,

22、 .81ai=54q(4)542,、2 a1q q 代入(1)得q(1 81) 80(1 q),8133q=3,n=4.【变式4】等比数列an中，若a1+a2=324, a 3+a4=36,则a5+a6=.【答案】4; 24, 、令 b1=a1+a2=a1(1+q) , b2=a3+a4=a1q (1+q),b 3=a5+a6=aq (1+q),易知：b1, b 2, b 3成等比数列，m=匡=36_ =4，即 a5+a6=4.。324【变式5】等比数列an中，若a1+a2+a3=7,a 4+a5+a6=56,求a7+a8+a9的值。【答案】448;,an是等比数列，(a 4+a5+a6)=(

23、a 1+a2+a3)q 3,，q3=8, a7+a8+a9=(a 4+a5+a)q3=56x 8=448.类型五：等差等比数列的综合应用例5.已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32,则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4,则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.解析：法一：设成等差数列的三数为a-d, a,a+d.则a-d, a, a+d+32成等比数列，a-d, a-4, a+d成等比数列.a2(a d)(a d 32)(1)(a 4)2 (a d)(a d)(2)d 2 16由(2

24、)得 a=d(3)8 2 由(1)得 32a=d +32d(4)(3)代(4)消a,解得d 8或d=8. 3 8 .26. 当d -时，a ；当d=8时,a=1039 原来三个数为 2 ,空，338或2,10,50.9 99法二：设原来三个数为 a, aq, aq 2,则a, aq,aq 2-32成等差数列，a, aq-4, aq 2-32成等比数列_2.2aq a aq 32(aq 4)2a(aq2 32)(2),2八由(2)得a ，代入解得q=5或q=13q 4， 一 ， 一， 2 当 q=5 时 a=2;当 q=13 时 a -.9，原来三个数为 2, 10, 50或2, _6,338.

25、 999总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d, a, a+d;若三数成等比数列，可设此三数为-,x, xy 。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a,公比q来解y决问题反而简便。举一反三：【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列【答案】为2, 6, 18或2,竺,50； 99 9设所求的等比数列为a, aq, aq2;贝U 2(aq+4)=a+aq 2,且(aq+4) 2=a(aq 2+32);2斛得 a=2, q=3 或

26、 a - , q=-5 ；9故所求的等比数列为 2, 6, 18或2, 10,5099 927,或一9、它们的平方和为 91,求这三个数。3、一 1【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为【答案】1、3、9或一1、3、一9或9、3、1设这三个数分别为 -,a,aq , q由已知得a a aq 27 q2a 22 2-2 a a q q91a 3a24 q2 1) 91 q1得 9q4 82q2 9 0 ,所以 q2 9 或 q2-,91即q 3或q 13故所求三个数为：1、3、9或一1、3、 9或9、3、1或一9、3、一 1。【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并

27、且第一个数与第四个数的和 是16,第二个数与第三个数的和为12,求这四个数.【答案】0, 4, 8, 16 或 15, 9,3,1;设四个数分别是 x,y,12-y,16-x2y x 12 y.2(12 y)2y(16 x).(2)由(1)得 x=3y-12 ,代入(2)得 144-24y+y 2=y(16-3y+12) 144-24y+y 2=-3y 2+28y, 4y2-52y+144=0, y2-13y+36=0,y=4 或 9,x=0 或 15,.四个数为 0, 4, 8, 16 或 15, 9, 3, 1.类型六：等比数列的判断与证明例6.已知数列an的前n项和Sn满足：log 5(

28、Sn+1)=n(n C N+),求出数列an的通项公式，并判断an是 何种数列？思路点拨：由数列an的前n项和与可求数列的通项公式，通过通项公式判断an类型.解析：-.log 5(Sn+1)=n, .Sn+1=5n, .S=5n-1 (n CM),ai=Si=51-1=4,当 n>2 时，an=Sn-Sn-i=(5 n-1)-(5 n-1-i)=5 n-5 n-1=5n-1(5-i)=4 X 5n-1而 n=1 时，4X 5n-1=4X 51-1=4=a,n C N+时，an=4X 5n1由上述通项公式，可知 an为首项为4,公比为5的等比数列.举一反三：【变式1】已知数列Cn,其中G=

29、2n+3n,且数列Cn+1-pCn为等比数列，求常数 P。【答案】p=2或p=3;Cn+1-pCn是等比数列，对任意 nCN 且 n>2,有(Cn+1-pCn) 2=(Cn+2-pCn+1)(C n-pCn-1).G=2n+3n,(2 n+1+3n+1)-p(2 n+3n) 2=(2 n+2+3n+2)-p(2 n+1+3n+1)(2 n+3nAp(2 n-1+3n-1)即(2-p)2n+(3-p) - 3n 2=(2-p) 2n+1+(3-p) 3n+1 (2-p)- 2n-1 +(3-p) 3n-1.一 1整理得：(2 p)(3 p) 2n 3n 0,解得：p=2 或 p=3,6显然

30、G+1-pCnW 0,故p=2或p=3为所求.【变式2】设an、bn是公比不相等的两个等比数列，C=an + bn,证明数列Cn不是等比数列.【证明】 设数列an、bn的公比分别为p, q ,且pwq为证Cn不是等比数列，只需证 C1 C3 C；.2 , 、222,22C2 (ap bq)ai p 6 q2a1blpq,q2)2,2、22,222C1 C3 (a bi)(a1 p 6q ) a p6 qabi(p22C1 C3 C2a1bl ( p q) ,又 p w q, a 1 w 0, b 1 w 0,C1 CC；0即C1 C3.数列Cn不是等比数列【变式3】判断正误：a n为等比数列a7=a3a4；(2)若b2=ac,则a, b, c为等比数列；(3)a n,