高中数学解题方法谈圆锥曲线三大难点解读

1、圆锥曲线三大难点解读高考数学试题圆锥曲线部分全面考查曲线定义、简单性质等基础知识，还对最值与定 值（定点）、求参数范围（或值）、存在与对称等问题加大了考查力度.本文对各地考题归类 整理，并探讨这三大难点的求解策略.难点一、最值与定值（定点）问题圆锥曲线的最值与定值（定点）问题一直是高考的一大难点.最值问题求解策略是： 几何法与代数法，前者用于条件与结论有明显几何意义，利用图形性质来解决的类型；后者则将结论转化为目标函数，结合配方法、判别式法、基本不等式 及函数的单调性等知识求解.定值（定点）问题求解策略是：从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点（值）与 变量无关.也可以在推理、计算过程中消去

2、变量，直接得到定点（或定值）x y例1 （江西卷理21）如图1,椭圆q：f二 1（a b 0） a b的右焦点F（G。），过点F的一动直线 m绕点F转动，并且交椭圆于A, B两点，P是线段AB的中点.（1）求点P的轨迹H的方程；b2 sin 0,确定 的值，使原点距椭圆 Q的右准线l最远，此时，设l与（2）在Q的方程中，令a2 1 cos sinx轴交点为D.当直线m绕点F转动到什么位置时，4ABD的面积最大？分析：求轨迹方程可用“设而不求”法，考虑AB的斜率是否存在，注意到 AB与PF2 22 2222共线，得万程为b x a y b cx 0 ；在第（2）向中，由a、b不难得到满足要求的

3、c 1 ,为避免讨论直线 m的斜率是否存在，可设 m的方程为x ky 1,再利用三角函数求出1 ABD的面积用A B纵坐标可表示为S 2|必y2 ,当直线m垂直于x轴时，zABD 的面积最大.点评：本题集轨迹方程、最值问题、动态几何于一身，运用了点差法、分类讨论思想、 山次方程根与系数的关系、三角函数的有界性、分离变量法、均值不等式法等，对各种能力 的熹合要求非常高-例2（全国卷n理21文22）已知抛物线x2 4y的焦点为F, A, B是抛物线上的uuur uuu两动点，且 AF FB（ 0） .过A, B两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M . uuur uuu（1）证明FM AB为定值；

4、（2）设4ABM的面积为S,写出S f （）的表达式，并求S的最小值.2X1y 7X1 ,、一(x Xi)22X2X2Wur(x X2),结合 AF 2uuur uuuu uurFB,求得FMgAB 0为定值;uuuu uuu(2) FM gAB0,则AABM的面积S|FM | AB|4.难点二、求参数范围（或值）问题求参数范围问题的求解策略是：根据题意结合图形列出所讨论参数适合的不等式（组），利用线性规划得出参数的取值范围.有时候需要研究由题设条件列出的目标函数的值域来确定参数的变化范围.例3 （陕西卷理21）如图2,三定点A（2,1）、B（0, 1）、C（ 2,1）；三动点D, E, Mu

5、uuruuuruuuuuur uuuruuur满足 ADtAB,BEtBC, DMtDE, t 0,1.(1)求动直线DE斜率的变化范围；(2)求动点M的轨迹方程.解：(1)设 D(Xd, Yd), E(Xe, Ye), M(X, y) .uuur uuu由 AD tAB,知(xd 2, yD 1) t( 2, 2),即XdVd2t 2m Xe2t,同理 E2t 1. Ve2t 1.kDE匕一yD 1 2t,且 tXe Xd0,1，kDE 1J；X2 ,则过点 A, B的切线分别为简解：（1） F（01）,设点 A B的横坐标为 为,22t2, y 2t 1) ( 2t,4t2 2t).uuu

6、r uuur(2) DM tDE ,即(X2(1 2t):消去参数t,得X2(1 2t)2，t 0,1, X 2(1 2t) 2,2.故 X2 4y , x 2,2.点评：本题主要考查平面向量基本定理、斜率、轨迹等知识，以及依靠不变量（定点坐 标和不变的向量共线）与变量的关系相互转化，综合运用各种知识解决问题的能力.难点三、存在与对称性问题存在与对称性试题是近几年高考大力推行改革与探索的结果.存在性问题的求解策略是： 一般先假设某数学对象存在，按照合情推理或计算， 得到存在的依据或导出矛盾， 从而肯定或否定假设， 有时也可由特殊情况探索可能的对象，作出猜想，然后加以论证.对称性问题的求解策略是

7、：结合轴对称或中心对称.考虑斜率与中点或向量的数量积（可 避开斜率存在性的讨论），常用“设而不求”、待定系数法等方法解决问题.线C2的焦点是否在直线 AB上;AB上？若存在，求出符合条（2）是否存在m, p的值，使抛物线C2的焦点恰在直线件的m, p的值；若不存在，请说明理由.解：（1）当AB，x轴时,m 0 ,直线AB的方程是x331,点A为1,或1,一22代入抛物线方程，得 p,且焦点不在直线AB上;，一，9此时C2的焦点为一,016(2)设 A(X1,yi)、B(x2, y2), C2 的焦点弦AB的两端点在抛物线上,也在椭圆上，所以ABXiX212 X12 1XXX2222，即 x1 x2 - (4 p). 3由（1）知X1X2故kAB2mp 2直线AB的方程是2m；(x p 21),贝 U yiy24m(1P)3(P 2)因A, B在C1上,_223X14 y1C 2423X24 Y212,12,两式相减，得艺y13(x1X2)X2X14( y1y2)即m23(P 4)( P 2)216(1 P)又A,（y,B在C2上，即(y2m)2 m)22 Pxi1两式相减，得2 px/x2 x1y1 y2 2m 2p,即y2 y1一- 2m23P(P 2) .16 10p由、，得3p220p320,-4斛