【教育资料】第一章4.4(二)学习专用

1、教育资源4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）【学习目标】1.掌握诱导公式1.131.14的推导，并能应用它解决简单的求值、 化简与证明问 题.2.对诱导公式1.81.14能作综合归纳，体会出七组公式的共性与个性， 培养由特殊到一般 的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生” “发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.知识点一胃a的诱导公式思考, TT . 一1角a与2+ a的正弦函数、余弦函数有何关系?答案sin(a+ 2 卜 cos a, cos 2 ；= sin a思考2 能否利用公式 sin。+2, cos a, cos(叶2)= - sina得出:一a的正弦、余弦与角

2、a教育资源的正弦、余弦的关系?答案以一“代换公式中的a得到sin 伊)cos(- a)=cos %cos 9 %；= -sin(-a)=sin ”梳理对任意角a,有下列关系式成立:sin 以+ a尸 coscos 2 + a/= sin a(1.13)sin (2- a)= cos(1.14)、一一-一一.TT诱导公式1.131.14的记忆：2a, 2+a的正（余）弦函数值,等于 a的余（正）弦三角函数值,“函数名改变，符号看象限前面加上一个把 a看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为知识点二诱导公式的记忆方法asin acos a公式a+ 2kMkC Z)sin acos a公式兀+ asin

3、 a一cos a公式一 asin acos a公式兀一 asin acos a公式工2一 cos asin a公式2 + “cos asin a1 .a+ 2kKkC Z), %兀为的三角函数值，等于角a的同名三角函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”2.2“的正弦、余弦函数值，函数名改变，把 一 兀 .a看作锐角，符号看5 a的函数值符号.简记为:“函数名改变，符号看象限”诱导公式可以统一概括为k KkC Z) ”的诱导公式.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把a视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，

4、符号看象限”l.sin珈s 0.( X )提示当k= 2时，sini sin( l a)= sin a.2 .口诀“符号看象限”指的是把角a看成锐角时变换后的三角函数值的符号 .(X )提示应看原三角函数值的符号 类型一利用诱导公式求值1例1 (1)已知cos(兀+ 4 = 2，a为第一象限角，求 sin匕$所3t a J的值(2)已知 cos 1c 一止3,求 cos考点利用诱导公式求值题点利用诱导公式求值解(1)cos(兀+ 3= cosa= - 1, cos a=2217171%_3sin； 一1 A3cos g19.sin 兀一一cosay sinay反思与感悟 这是一个利用互余、互补

5、关系解题的问题，对于这类问题，关键是要能发现它们 的互余、互补关系：如 3 一 a与g+ a, 3+ a与g a, 4 - a与+ a等互余，3 +。与 0, + 03 Tt 与丁 。等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题跟踪训练1已知cos96 H5, 22,类型二利用诱导公式化简cos k 兀+ 2- “ sin k 兀一2 a ：例2 化简： 其中kC Z.sin(k+1 尸+ ocos(k7t+ a)考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简 解当k为偶数时，设k= 2m(mCZ),则原式=( kcos W m 兀+ 2 sin(2m+1 产+ cos(2

6、mjt+ a)不in.c0sa Sin2 ayi -sin 0cos a=1.sin 兀+ apos a sin acos a当k为奇数时，设 k=2m+ 1(mC Z).仿上化简得：原式=1.故原式=1.反思与感悟 用诱导公式进行化简时，若遇到k兀为的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简跟踪训练2 化简： 啊；2； 及0s(6兀3 ) sin “+ 2 It cos2 兀 i考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简原式=sin( a) cos ( a)2 k 白sin 2兀一与一sin a cos a一sin a cos aa j cos q- a)=1.一cos a sin

7、 a类型三诱导公式的综合应用兀一x3sin(兀x cos(兀+ x pos |2 兀+例3已知f(x)=*-5cos(3 兀一x pin(兀一x ,in( 7t+ x yin。兀+ xj化简f(x);(2)求31一5考点诱导公式的综合应用题点诱导公式的综合应用兀十sin x( cos x解(1)f(x)= ,兀、cos(兀一 x sin x 一 sin(兀一x sin 尹 xsin x( cos x3兀+cos ? x) sin x一cos xsin x( sin x cos xCOS x(2)fsincos3131 V-sin,0 计3jcos ,0 兀+ n3 j一兀-sin；3=-V3.

8、兀cos；3反思与感悟 解决诱导公式与函数相结合的问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再化简或求值，这样可避免公式交错使用而导致的混乱sin(兀一a pos(2 兀一apin 1一跟踪训练3 已知f(a) =计3f(1)化简 f(a)；(2)若 Cos( am=5，求 f(“)的值.考点诱导公式的综合应用题点诱导公式的综合应用解(1)f() =sinin(一 兀一 asin a cos a ( cos a)cos a sin aCos a.(2)因为 Cos( a-1 ，力=5,所以cos1a= 5,所以 f( a) = cos a=：.51 .已知sin a=亮，贝U co

9、s13A.1lB.12 C.-, D.等131313考点利用诱导公式求值题点利用诱导公式求值答案解析cos5 Sin a=-2 .若cos（2兀一a）=坐,则sin 一a等于（）3Q2A.1理b_2 C D速3 B. 3 c. 3 D.-3考点利用诱导公式求值题点利用诱导公式求值答案解析. 小 、，、5- cos（2 兀- o） = cos（ a） = cos a= 3,sin 3f-,5一 cos （x= 一 3.3.若 cossin（ 访的值为（B. 3D. .3C.-V3考点利用诱导公式求值题点利用诱导公式求值答案解析cos 2+（）尸sin（f）= 2sin f）=-乎,l3Jt co

10、s 2-一 sin（兀）=一sin4 sin（f）= V3,故选 D.4.已知sin !7- x 3，则 cosG+：考点利用诱导公式求值题点给值（式）求值问题解析Jt icos 9+4 尸 cossin4一 x 尸 5.Jt5.已知 sin（兀 + ）=；.计算 cos3考点利用诱导公式求值 题点给值（式）求值问题解sin（兀+ o）= sin a=；, ，sin a=；.33一. 一 , 兀一1 .学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k土kC Z）”的诱导公式.当k为偶数时，得a的同名函数值；当k为奇数时，得 a的异名函数值，然后前面加一个把 a看 成锐角时原函数值的符号.

11、2 .诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇 变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法3 .诱导公式是三角变换的基本公式，其中角a可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通、选择题1.已知那么COS a等于（12A.-5iB.-5C.5D.5考点利用诱导公式求值题点利用诱导公式求值答案 C解析Sin（+ o）= COS a,故 COS a= 1,故选 C. 254 .已知COS 37+ :厂-|,且a是第四象限角，则cos（3什a）等于（4 A.5 B.-答案 B解析cosgj+ ysin a= -5,且a是第四象限角,

12、COs a=二COs（ 3 兀+ a）= _ COs a=一二553.若角A, B, C是 ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是（）A.cos(A+ B)= cos CB.sin(A+B) = sin CC.cosA+C2=sin BD.sinB+Ccos2考点诱导公式在三角形中的应用题点诱导公式在三角形中的应用答案 D解析A+ B + C= Tt, . - A + B =兀一C, .cos(A+B)=cos C, sin(A+B) = sin C,故 A, B 项不正确;A+C 兀一B a+c=lb, .-2-=,. A+C 包B1, B5-cos 2 = cos q 2尸sin 2，

13、故 C项不正确；B+ C = Ti A,sinB + C ijr A ) =sin -2 ,=A , cos2,故D项正确.4.若 sin(兀+ 力+ cos日 +- m,则 cos1 兀一ay+ 2sin(2 兀一o)的值为(2m2m3m3m3322考点利用诱导公式求值题点综合利用诱导公式求值答案解析 sin(兀+ a) + cosmsin a sin a= m, sin a= 2.拓 3故cos 2兀一3m2sin(2 l a) = sin a 2sin a= 3sin a= 一 ？.5.已知 cos(75 : a)=1,则 sin( a- 15)+cos(105 - a)的值是()31

14、A 3212B.3 C.-3 D. -3考点利用诱导公式求值题点给值（式）求值问题答案 D解析 sin(a 15)+cos(105 0=sin(75 * )-90+ cos180 - (75 + 切。2=sin90 - (75 + 即一cos(75 , a)= cos(75 , 0cos(75 孑力=2cos(75 ; a)=-.36.已知cos2厂5,且122A. -25 B. 25 C.一5c 12D.25考点利用诱导公式求值题点给值（式）求值问题sin。一 cos 1 ,则 sin10-引 sin（兀一。）等于（）答案解析由 sin 0 cos O1,可知cos 0.4e= 5，cos

15、0= 3,512cos 的in e= 25, 故选 A.二、填空题,1 pi . 兀7.右 cos a= 3,则 sin 12 考点利用诱导公式求值题点给值（式）求值问题答案解析因为cos1 a= 3,所以i3兀sin -sin 2-cos a= T.3sin8.化简i9兀 sin 7 a cossin2不215 ,考点诱导公式的综合应用题点综合运用诱导公式化简答案解析原式=3sin q 兀+ a i cosasin 亚一a sin a工匕 aj ( cos a)sin a=1.cos a sin a9 .已知 f(sin x) = cos 3x,则 f(cos 10 )=考点诱导公式的综合应

16、用题点诱导公式的综合应用答案2i解析 f(cos 10)=f(sin 80 )= cos 240 = cos(180 + 60 )= cos 60 = 210 .若 sin 12 r 1，则 cos(+ 72J=.考点利用诱导公式求值题点给值（式）求值问题1答案3解析cos a+7兀兀万厂cose+i（叶石/二 sin（升瓦厂3.ii.已知角a的终边经过点P(-4, 3),则兀， 一一.cos2+ asinLcos 12-a sin (竽+ a J考点利用诱导公式求值题点利用诱导公式求值3答案34解析角a的终边经过点P(-4, 3),sina= I, cos a= , 55一sin a cos

17、 a cos a sin a sin a sin a34.12.化简 sin n %- 2Jcos n 兀+ 孝 j,n C Z的结果为考点诱导公式的综合应用题点综合运用诱导公式化简答案申4解析当n为偶数时，n= 2k, kCZ.原式=sin 2k兀23744滔cosl2k7t+ 厂 sin2叫万 J cossin3：亚X 1 =揖22- 4 .当n为奇数时，n=2k+ 1, kC Z.原式=sin 2k兀+cos|2kTt+ 兀+ 4 i!cos= sin B 2f）4吟 兀-3 广 sin 3 cos ?兀+一:一兀=sin 3 cossin厂 2f）cosnCZ.三、解答题sin13.化

18、简一氏+ a cos a! sin（11 T- aCOs（10 7t+ a）+AC4 sin（兀+ a）考点利用诱导公式化简 题点利用诱导公式化简cos osin a sin “一sin a）解 原式= += sin a+ sin a= 0.cos 00- sin a四、探究与拓展14.已知 sin（ a- 3 句=2cos（a 4昉，则sin （兀一 a）+ 5cos（2 兀一 a）sin（l a）考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案34解析sin( a 3 m=2cos(a 4 吊, . 一 sin（3 兀一a）= 2cos（4 兀一a）, . 一 sin（兀一o）= 2cos（一 力，sin a= 2cos a且 cos # 0,sin a+ 5cos a 2cos a+ 5cos a 3cos a. 原式=:2cos a+ sin a 2cos a 2cos a 4cos a34.15.已知a是第四象限角，且f(a) =sin (兀一apos2 k a)，兀 工c ,cos J2 a sin( 一 兀一 ajcos2 兀+