《高等数学工本》总习题解答

1、1.确定下列各级数的敛散性:1(1)1 下;n 1 e解这是等比级数，公比高等数学（工本）总习题解答（见教材第459页）1,故该级数收敛 一 n 1 8n解因为lim n18n 61limnn8n1 一1发散，故由第二比较准则知该级数发散1 nn注本题也可用第一比较准则,因为8n 6工，而8nn 1 8n11发散,n 1 n(3)2n3(2n 1) 2因为(2n2n1) 232n3(2n 1)2n(2n)38n 614n211 4n21， ，行收敛，故原级数收敛n 1 n另解：因limn2n(2n 1) 212nlimn2n33(2n 1)1， ，一收敛，故原级数收敛1 n(4)n!9nlim

2、n(n1)!9n 1n!9nn lim 一nn!-n!发散1 9nn2 12 n3 1 '(6)解因为lim n2 n3 nlimn3 n-3 n1 ww发散，所以原级数发散 n解因为lim n2 n4- n-2 nlimn1 ，一一 ，2收敛，故原级数收敛n因为limn1n3213limn3n3n2limn1,1 日 ，是公比13n1的等比级数，是收敛的，故由第二比较准则知1,一1一收敛 n1 32(8)n 1解因为(n lim n1)(9)n 1解因为2 n 12,limW2£1,故由检比法知n 2收敛3123 n13 52n 11231352n 112 3 n -n 1

3、1 3 5 2n 1 -2n 1所以limn1231135 2n 1135 2n 1 2n 1123 n故由检比法知该级数收敛2.当X取什么值时，下列各级数收敛？（参看习题n 1 2n 1(n 1)'11 3第7题)(2)故当解2(n 2)2时该级数收敛；当1即x 2时，该级数发散；当 x 2时，原级数成为发散的，所以当2 x 2时，级数nnx2n 1(n一收敛1)n /n (x2)n ；解因为nimn(x 2)nlim nn故当2 时，lim nxn，从而该级数发散，仅当x 2 0即x2时，该级数收(3)3n当x 0时该级数各项均无定义，所以该级数当解(x 0)x 0时收敛(4) 1

4、n!nn 2 x解因为limn(n 1)!n 1xn!nxlimn当x 0时，该级数发散，所以无论 x(x无需讨论其敛散性，所以使该级数收敛的3.证明级数n(1)n一是发散的 n(x0)0)为何值，该级数都发散，而当 x 0时，级数各项均无意义,x值不存在。证因为1)n(1)n ninn.n ( 1)n n ( 1)n1 2n2n所以n 2(1)n(1)n,n 1(1)n 1 . n 1 1,n ( 1)n n 2 n 1又 （1）n 1 In 1为交错级数 n 1n(n11)21,lim annlim30故由莱布尼兹准则知该级数收敛;1 ，山发散，因此n 1 n(1)nn 1发散4.设an0

5、(n 1,2,3,)因为an收敛，所以1收敛，所以n证法因 an °,理）知该级数的部分和上有界,2又设级数an的部分和为n 1，且 an收敛,n 1证明2an1也收敛n提示：ak2k 1nak2k 1lim an 0,所以存在 nN,0an1,从而c20anan (n>N)收敛，故由第一比较准则知an为收敛的正项级数,1即存在 M>0,使nSnak，且 Snk 1a2收敛，所以 a2收敛Nn 1由正项级数收敛的充分必要条件（见教材第nakk 1421页定n2akk 1nakk 12M2从而Sn有上界，所以由正项级数收敛的充分必要条件和级数2 an收敛15 .如果 an条

6、件收敛，证明lim号1，其中Pn 1(Qn2一 一 1 ,Sn），Qn 2（n Sn)这里n为an的部分和，Sn为 an的部分和证因为an条件收敛，所以n 1n 1an发散，又Sn和n分别为 an和n 1n 1an的部分和，从而lim SnS (有限值)，lim nnn1）到（8）题中，如果收敛半径为有限值，试6.求下列各募级数的收敛半径，并写出它们的敛区，在（ 确定在敛区端点处的敛散性：n(1)nx0(n 1)2nlimncncn 1limn1(n 1)2n1,一、一n 1(n 2)2limn2(n 2)故该级数的收敛半径R=2,敛区为（一2)n一 1此级数为交错级数，且满足莱布尼兹准则的条

7、件，故收敛;2时，募级数成为n 1 n 12时，原级数成为1一-,为调和级数（去掉第一项），故发散2 n(2)(1)n(x 1)nn 0 n21解令x 1 t ,原级数成为1)ntn对此级数,因为2x0故原级数的U敛半径 R2时，原级数成为(1)n( 1)nn 0 n21-它是收敛的10时，原级数成为(1)n -(I)_是收敛的1(3)n 2n 2n(1) 2 x2n解令x2t ,原级数成为1)n22ntn2n,对此级数,1 12,211故该级数当t收敛，当t4发散，从而原级数当 1散，所以原级数的收敛半径R-,敛区为2211211x2,即X 收敛；当x2即x 发424211一或x 时，原级数

8、成为同一个级数225,它是交错级数，且满足莱布尼兹准则的条件，从而是收敛的 n 1 2n(4)1 ( 2)n 1从而该级数为级数1时，该级数21时,2级数和 (2)n 1的和，又是收敛域为1,1)limn(2)n12)n 2成为12)n的收敛半径为(2)显然发散n 11xn的收敛域为成为n12n1)n 1 2显然发散故原级数的收敛半径且当x1一时原级数都发散2(5)n! n-Vx ； nlimncncn 1故该级数的收敛半径为当x e时,limn原级数成为n!nn(n 1)!d n 1n 1e,敛区为n!n为单调递增数列且limn(n 1)nlimne)en ,该级数通项limn1故有1从而a

9、n 1an,即数列n! n -en为单调递增数列，所以 nlimnn!把en发散 n1 n同理当xe时，级数1)nn!en亦发散2(6) an xn (0 an 0解因为lim nanliman x0 ,可见对任何x值,级数nx (01）都收敛，故该级数的收敛半径R(n!)21 (2n)!limnCn1)!2(2n)! 2(n 1)!limn(n!)2(2n2)!2(2n)!(n 1)!2故该级数的收敛半径4 ,敛区为（4,4）当x4时，原级数成为此一4n ,该级数通项为 n 1 （2n）!an(n!)2 - (2n)!所以数列(n!)2(2n)!4n为单调增数列，从而 lim annlimn

10、应4n (2n)!n黑4n发散同理，当4时，原级数成为亦发散(8)n3nlimnCnCn 1limn& n 1/3limn故收敛半径R 1,敛区为1)当x 1时，原级数成为该级数通项an3 n3 nn 1 nn考察函数f (x)x故当lnajx 1 0,即x -4- 3.3时，f (x) 0,从而f(x)为单调增函数，所以当 n 4时,2 ln233 nO nQ n数列an 是单调增加的，因此lim anlim0,故 发散nn n nn i nQ n同理，当x 1时，原级数成为3( 1)n亦发散n 1 n、3 n1任nim 3 n1nim 3 n1 nn2(9)nx ;n2解因为lim

11、n敛，当exlimnnx ex ,故由检根法，当该级数发散，所以该级数的收敛半径敛区为1-时该级数收 e(10)(shan)xn , a 0 ；n 0an eshan解sha(n 1)limna(n 1) eane2a(n 1) e2limnan eanea(n 1) a(n 1) e e1故该级数的U敛半径 R ,敛区为 ea(11)bn(a0,b 0);1limn解 R lim -cn-lim ab一nIcnJn1n 1 n 1a b所以当a b0时该级数的收敛半径为a,当0 ab时该级数的收敛半径为b ,从而该级数收敛半maxa,b,敛区为( R, R)bn c(f xn,(a 0,b

12、0) n解先求xn的收敛半径和敛区;故级数na nx1 n1的收敛半径R 一，敛区为 a故级数bn n2x1 n的收敛半径和敛区bn n2x1 n1的收敛半径R ,敛区为 b由于原级数是上述这两个级数之和，故其敛区至少是上述两敛区的公共部分，记1 1R min a b在（R, R）内原级数收敛，在R,R外，上述两级数一个收敛，另一个发散，故其和即原级数发1敢，故原级数的收敛半径为R min a1一,敛区为（R, R） b7.确定级数n（1 x）xn的收敛域，并求出它的和函数。0解因为级数xn的敛区为（一1,1）,0xn 1的敛区也是（1, 1）,故原级数n(1 x)xn0的敛区为（一1, 1）

13、敛域为1时，原级数为0,显然收敛;01时，原级数为2 ,显然发散，故0n(1 x)xn0的收1,1x 1时,因为(1n 0nx)x(1x)nnx (10x)当x 1时， (1 x)xn0 ,所以n 02.38.确定级数 lg X (lg X) (1g X)的收敛域解该级数为等比级数，且公比q lg x ,所以收敛域为11 lg x 1,10 x 10,故所给级数的收，1敛域为 一,10109.求下列各级数的和函数。(1)( 1)n(n 1)xn ；n 0解 所设级数的收敛半径 R 1,令和函数为f (x),那么f(x) ( 1)n(n 1)xn , n 0(T, 1)xx于是 f(x)dx (

14、 1) (n 1) x dx ( 1) xn 0n 0两边求导数：f (x)1(1 x)2(1x1)1)n 12n 1 x2n 1解所设级数的收敛半径R 1,令其和函数为 f(x),那么f(x)(1)nn 12n 11 x(T, 1)两边求导，f (x)( 1)nx2n 22n 11 x显然f (0)0 ,于是两边积分，一 一一x得 f (x) f (0) arctanx0,即 f(x) arctan x2n 1n 1 x因为 (1) 在x 1和x 1都收敛，故其和函数在 x 1和x 1都连续，故该级数的和n 12n 1函数为 f (x) arctan x (1x1)(3) nxnn 1解该级

15、数的收敛半径R1,令其和函数为 f (x),那么f(x)nxn , ( 1 x 1)n 1于是f (x) xnxn 1 ,令 g (x)nxn 1 , (-1,1)n 1n 1所以 g(x)1(1 x)2于是f(x)xg(x)x(1 x)2(1x1)10.求函数ax的麦克劳林展开式n解因为 ex( x )又 ax exlnan 0 n!x (xln a)n (In a)n n ,、所以 a -x , ( x )n 0 n! n 0 n!11 .把函数f (x) x,x展开为傅立叶级数，并画出它的和函数的图形解因为f (x) x,(x)为奇函数，所以2所以当 x 时，f(x) ( 1)n1sin

16、nx n 1n当x 或x时，级数和为即在 ，上，该傅立叶级数的和函数为x), 0< x<,求它的傅立叶级数。该傅立叶级数的和函数的图形如下：12.设周期函数f(x)在一个周期中的定义为f(x)=x (解an0 x(x)cos- xdx2,22,(x x ) cos2nxdx ( x 00 'x2)d - sin2nx2nx2) sin 2nx12n( 2x)sin2nxdx2n0(2x)dcos2nx 2n2n2x) cos2nxcos2nxdx 2n2 sin2n4n2,(n 1, 2,).所以当0<x< 当x=o或x= 因为f(x)是以n时，时，级数和为为周

17、期的函数且f (0)=f (),所以13.已知周期函数在一个周期中的定义为：(1) f(x)=sinx, 0 <x<； (2) f(x)=cosx,0 <x< 求它们的傅立叶级数。解an1n x 2一 sin x. cosdx sin xcos2nxdx00所以当0<x<由于f(x)在0,上连续，且满足狄利克雷收敛充分条件,f(0)=f()且以为周期的周期函数，所以f(x)的傅立叶级数处处收敛，且(2) f(x)=cosx,0 < x<解ann x . cosx cosdx2cosx cos2nxdx02所以当0<x<当x=0或x= 由于f(x)是以时，时，级数的和为为周期的周期函数，且当时，f(x)是连续的，故由狄利克雷收敛的充分条件得f (x)-nsin 2nx 4n2 14 2 sin