2018高考数学（理）备考黄金易错点专题17 排列、组合、二项式定理（易错起源）

1、2018高考数学（理）备考黄金易错点专题17 排列、组合、二项式定理（易错起源）1(2017·全国卷)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为()A80 B40C40 D80解析：因为x3y3x·(x2y3)，其系数为C·2240，x3y3y·(x3y2)，其系数为C·2380.所以x3y3的系数为804040.故选C.答案：C2(2017·山东卷)已知(13x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n_.解析：(13x)n的展开式的通项为Tr1C(3x)r.令r2，得T39Cx2.由题意得9C54，解得n4.答案：43(201

2、7·浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_种不同的选法(用数字作答)4某天连续有7节课，其中语文、英语、物理、化学、生物5科各1节，数学2节在排课时，要求生物课不排第1节，数学课要相邻，英语课与数学课不相邻，则不同排法的种数为()A408B480C552D816答案A解析数学在第(1,2)节，从除英语的4门课中选1门安排在第3节，剩下的任意排，故有CA96(种)，数学在第(2,3)节，从除英语，生物外的3门课中选1门安排在第1节，从除英语外剩下的3门课中再选1门安排在第4节，剩下的任意排，故有CCA54(

3、种)，数学在(3,4)，(4,5)，(5,6)情况一样，当英语在第1节时，其他任意排，故有A24(种)，当英语不在第1节，从除英语，生物外的3门课中选一门安排在第1节，再从除英语的剩下的3门中选2门放在数学课前1节和后1节，剩下的任意排，有CAA36(种)，故有3×(2436)180(种)，数学在第(6,7)节，当英语在第一节时，其他任意排，故有A24(种)，当英语不在第1节，从除英语，生物外的3门课中选一门安排在第1节，再从除英语的剩下的3门中选1门放在第5节，剩下的任意排，有CCA54(种)，故有245478(种)，根据分类加法计数原理，共有965418078408(种)故选A.

4、5用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A24B48C60D72答案D解析由题可知，五位数为奇数，则个位数只能是1,3,5；分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C，再将剩下的4个数字排列得到A，则满足条件的五位数有C·A72(个)选D.6如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24B18C12D9答案B解析从E到F的最短路径有6条，从F到G的最短路径有3条，所以从E到G的最短路径为6×318(条)，故选B.7 (2x)5的展开式中，x

5、3的系数是_(用数字填写答案)4在()n的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_答案112解析2n256，n8，通项取k2，常数项为C(2)2112.8(12x)10的展开式中系数最大的项是_答案15360x79用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，则所有涂色方法的种数为_答案260解析如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4.如果使用2种颜色，则只能是第1,4个小方格涂一种，第2,3个小方格涂一种，方法种数是CA20；如果使用3种颜色，若第1,2,3个小方格不同色，第4个小方格只能和第1个

6、小方格相同，方法种数是CA60，若第1,2,3个小方格只用2种颜色，则第4个方格只能用第3种颜色，方法种数是C×3×260；如果使用4种颜色，方法种数是CA120.根据分类加法计数原理，知总的涂法种数是206060120260.10 (ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.答案3解析设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，令x1，得16(a1)a0a1a2a3a4a5，令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)，即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1a3a58(a1)，所以8(a1)32，解得

7、a3.16已知等式x4a1x3a2x2a3xa4(x1)4b1(x1)3b2(x1)2b3(x1)b4，定义映射f：(a1，a2，a3，a4)(b1，b2，b3，b4)，则f(4,3,2,1)_.答案(0，3,4，1)易错起源1、两个计数原理例1、(1)如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()A72种B48种C24种D12种(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<a2且a3<a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个数为()A240B204C729D920答案(1)A(2)A解析(

8、1)按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×124(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×224(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，故不同的涂法共有2424×272(种)(2)分8类，当中间数为2时，有1×22(个)；当中间数为3时，有2×36(个)；当中间数为4时，有3×412(个)；当中间数为5时，有4×520(个)；当中间数为6时，有5×630(个)；当中间数为7

9、时，有6×742(个)；当中间数为8时，有7×856(个)；当中间数为9时，有8×972(个)故共有26122030425672240(个)【变式探究】(1)将1,2,3，9这九个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法有()A6种B12种C18种D24种(2)在一次游戏中，三个人采用击鼓传花的方式决定最后的表演者，三个人互相传递，每人每次只能传一下，由甲开始传，若经过五次传递后，花又被传回给甲，则不同的传递方式有_种(用数字作答)答案(1)A(2)10解析(1)分为三个步骤：12349第一步

10、，数字1,2,9必须放在如图的位置，只有1种方法第二步，数字5可以放在左下角或右上角两个位置，故数字5有2种方法第三步，数字6如果和数字5相邻，则7,8有1种方法；数字6如果不和数字5相邻，则7,8有2种方法，故数字6,7,8共有3种方法根据分步乘法计数原理，有1×2×36(种)填写空格的方法(2)根据题意，画出树状图所以共有10种不同的传递方法【名师点睛】(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化【锦囊妙计，战胜自我】分类加法计

11、数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理，将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理，将各步的方法种数相乘易错起源2、排列与组合例2、(1)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A72B120C144D168(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，则不同的取法共有()A232种B252种C472种D484种答案(1)B(2)C解析(1)先安排小品节目和相声节目，

12、然后让歌舞节目去插空安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”对于第一种情况，形式为“小品1歌舞1小品2相声”，有ACA36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“小品1相声小品2”，有AA48(种)安排方法，故共有363648120(种)安排方法(2)由题意知，任取3张卡片，共有C种取法，其中取出的3张卡片是同一种颜色，有4C种取法，另外，只取出两张红色卡片有CC种取法，故所求的取法共有C4CCC5601672472(种)【变式探究】(1)在某真人秀活动中，村长给6位

13、“萌娃”布置了一项搜寻空投食物的任务已知：食物投掷地点有远、近两处；由于Grace年纪尚小，所以她要么不参与该项任务，但此时另需一位“萌娃”在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；所有参与搜寻任务的“萌娃”须均分成两组，一组去远处，一组去近处，则不同的搜寻方案有()A40种B70种C80种D100种(2)2名男生和5名女生排成一排，若男生不能排在两端又必须相邻，则不同的排法种数为()A480B720C960D1440答案(1)A(2)C【名师点睛】求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素

14、为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数解答计数问题多利用分类讨论思想分类应在同一标准下进行，确保“不漏”“不重”【锦囊妙计，战胜自我】名称排列组合相同点都是从n个不同元素中取m(mn)个元素，元素无重复不同点排列与顺序有关；两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同组合与顺序无关；两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同易错起源3、二项式定理例3、(1)设则二项式n的展开式中x2的系数为()A80B90C120D160(2) 8的展开

15、式中x7的系数为_(用数字作答)答案(1)D(2)56解析(1)因为所以(2x)6的展开式的通项令62，得k3，所以x2的系数为C23160.(2)8的通项Tk1C(x2)8kk(1)kCx163k，当163k7时，k3，则x7的系数为(1)3C56.【变式探究】(1)()10的展开式中系数为正数的有理项有()A1项B2项C3项D4项(2)设A37C35C33C3，BC36C34C321，则AB_.答案(1)B(2)128解析(1)()10展开式的通项为Tk1C()10k·()k(其中kN且0k10)，所以k2,5,8时的项为有理项，且k2,8时的项的系数为正数，故满足条件的有2项，故选B.(2)AB37C36C35C34C33C32C31(31)727128.【名师点睛】(1)在应用通项公式时，要注意以下几点：它表示二项展开式的任意项，只要n与k确定，该