数列的前n项和的几种方法

1、数列的前n项和的求法福田中学雷鸣一、知识回顾1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。；（；） 2.裂项相消法: 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解(裂项)，其基本方法是（1） （2）（3）若 an 分别是等差数列，公差是d，则：（4）例1：求和解答 数列an的前n项和： 迁移1：求数列的前n项和.解：设，则 =2：步步高72页例题33.错位相减法: 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an·bn的前n项和，其中

2、an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例2：求当时，求和：解：由题可知 该数列的通项为是等差数列的通项与等比数列的通项之积设： （设制错位） 得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：又 迁移2：求数列前n项的和.解：由题可知，的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积设： （设制错位）得 （错位相减） 4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法. 就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加,就可以得到n个a1+an. 【特点：一个常数或定值】例3：求证：证明： 设. 把式右边倒转过来得 （反序）又由可得 . +得 （反序相加） 迁移3：求的值解：设. 将式右边反序

3、得. （反序） 又因为 +得 （反序相加）89 44.55.分组求和法: 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例4：求数列的前n项和：，解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）当a1时，（分组求和）当时，迁移4：求数列前项和6，合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求.例5：求 解：观察数列可知，数列每相邻两项的和为一个定值，或 （找特殊性质项）当为奇数时，数列共有奇数项 （合并求和）当为偶数时，数列共有偶数项 （合

4、并求和） =n迁移5：求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设 cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° （找特殊性质项） （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89&

5、#176;+ cos91°）+ cos90°（合并求和） 0（二）.常用结论1） 1+2+3+.+n = 2） 1+3+5+.+(2n-1) = 3） 4） 5） 6） 二、基本训练1.等比数列的前项和S2，则_.2.设，则_.3.求和： .4. 数列1×4，2×5，3×6，n×(n+3)，则它的前n项和= .5. 数列的通项公式 ，前n项和 .三、例1 、求下列各数列前n项的和 例2、在数列中，求S10和S99例、已知数列中，试求前2n项的和例、 已知函数（），（1）求的反函数；（2）若，求；（3）若，求数列前n项和。四、作业 1、

6、等比数列an中，已知对任意自然数n，a1a2a3an=2n1，则a12a22a32+an2等于(A) (B) (C) (D) 2、等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 (A)130 (B)170 (C)210 (D)2603、求和： .4、数列的前n项和是 .5、 数列，3q，5q2，7q3的前n项和是 _.6、 数列满足，则通项公式 ，前n项和 .7、 _.8、在数列中，已知_.9，设，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，求10、已知数列是等差数列，且，（1）求数列的通项公式； （2）令()，求数列前n项和的公式.11、等比数列的首项为，公比为，Sn为其前项和，求和：S1+S2+S3+S12、已知数列的通项公式，