初中数学竞赛辅导资料1

1、初中数学竞赛辅导教案 第一课有理数运算教学目标1、复习整理有理数有关概念，整理本章知识网络；2、培养学生综合运用知识解决问题的能力；3、渗透数形结合的思想教学重点和难点重点：有理数概念的理解难点：数轴、绝对值、相反数、倒数的理解及应用。教学过程例1计算1/99+2/99+3/99+296/99.解：1/99+2/99+3/99+296/99=（1/99+296/99）+（2/99+295/99）+（148/99+149/99）=3×296/2=444.想一想 如果是求n项和1/99+2/99+3/99+n/99，能算出来吗?该怎样算？1/m+2/m+n/m呢？例2观察发现这个算式中的

2、任何相邻两项之和为1或-1，如果分别将式中的2、3两项，4、5两项，结合（加括号）求和，就可以得到若干个其和为1的组，关键是最末一项（-1）n+1n是否编在了组里？容易看出，如果这个算式有奇数项，那么（-1）n+1n已编入组里；如果这个算式有偶数项，那么最末一项（-1）n+1n=- n就未编入组里，应单独计算。解：原式=1+（-2）+3+（-4）+5+（-1）n+1n=想一想 如果分别将式中的1、2两项，3、4两项，分组求和，怎样算？例3计算11×-1解：11×-1=（1+1）×-1=+-1（分配律）=-1（结合律）=8例4计算1/1+（2/1-1/2）+（3/1

3、-2/2+1/3）+（4/1-3/2+2/3-1/4）+（9/1-8/2+7/3-6/4+1/9）。解：原式=（1/1+2/1+9/1）-（1/2+2/2+8/2）+（1/3+2/3+7/3）-（1/8+2/8）+1/9=（1+2+9）-1/2（1+2+8）+1/3（1+2+7）-1/8（1+2）+1/9=45-1/2×36+1/3×28-1/4×21+-3/8+1/9=45-18+28/3-21/4+3-10/6+6/7-3/8+1/9=33（5/504）。练习1、选择题：（1）计算3-6+9-12+-1992等于（ ）（A）-332 （B）332 （C）-99

4、6 （D）-996（2）计算6666×5555-6665×2222等于（ ）（A）33330000 （B）22220000 （C）55550000 （D）111100002、填空题：（1）计算机36+63×0.125+×63+63×= ； （2）计算-21-×78+78×0.375-78×= ； （3）计算1+2-3+4+5-6+7+8-9+97+98-99= ； （4）求和+= ； （5）算式1-2+3-98+99-100中，除去9的倍数的九，其结果是 ；（6）计算= ；（7）自然数N=1234567891011

5、1994，是由1到1994这1994个自然数顺次排列而成，从首位开始的第94个数字是a，第1994个数字是b，则a+b= ；3、五个数（-1）、（-2）、（-3）、1、2、中，设其中各个数之各为N1，任选两数之积的和为，任选三个数之积的和为N3，任选四个数之积的和为N4，五个数之积为N5，求和N1 +N2 +N3 +N4 +N5。4、计算×+15、（1989年上海市初一数学竞赛题）计算+的和。 第二课.用图象法解一元二次方程教学目标1. 在（一元二次方程）中，根据根的判别式和根与系数的关系，介绍了存在实数根，有理数根，整数根的充分必要条件.2. 要讨论两个实数根的符号，则可以建立不等

6、式组.方程ax2+bx+c=0中， 有两个实数根的充分必要条件是有两个正实数根的充要条件是(a0包含在之中)有一正一负实数根的充要条件是(a0，>0均已包含在内)有一正一负实根且负根绝对值较大的充要条件是3. 在较小区间内讨论实数根，则常利用图象来建立不等式组.4. 一些含有绝对值符号的方程、不等式的题解，也可借助图象.教学过程：例1.已知：方程7x2(k+13)x+k2k2=0的两个实数根x1,x2满足：0<x1<1<x2<2.求：k的取值范围. (1990年全国初中数学联赛题)解：先画出二次函数y=7x2(k+13)x+k2k2的图象的略图.根据图象的开口方向

7、是向上，它与横轴有两个交点，这两点在点(1，0)的两旁， 的大体位置是：分析图象 可知当x=0 时，y>0,记作f(0)>0；1当x=1时，y<0, f(1)<0；当x=2时，y>0, f(2)>0.得不等式组解这个不等式组得 原不等式组解集是2<k<1；或3<k<4.答：k的取值范围是2<k<1；或3<k<4时.本题由三个点的横坐标0，1，2和它所对应的纵坐标范围建立不等式组.例2.m取什么值时，方程x2+(m+2)x+3=0的两个根都大于1？解：根据抛物线y= x2+(m+2)x+3的开口向上；它在纵轴的交

8、点为(0，3)；与横轴的两个交点都在点(1，0)右边.得图象的略图如下（左、右两图）：133 1据图象分析当x=1时， y>0； 顶点横坐标 >1；纵坐标0.得不等式组解这个不等式组得原不等式组解集是6<m22. 答：当6<m22时，方程x2+(m+2)x+3=0的两个根都大于1.本题只有一个特殊点，故用了抛物线的顶点横、纵坐标.例3.已知：方程(1m2)x2+2mx1=0的两个实数根都在0到1之间(不包括0和1).求：m的取值范围.解：函数y=(1m2)x2+2mx1的图象可由：它在纵轴上的截距是1；与横轴的两个交点在0到1之间.得知开口是向下的，画出略图如下： 11

9、11从图象分析：a<0； f(1)<0； 0<<1 .得不等式组解这个不等式组得不等式组解集是 m>2.本题因抛物线的顶点横坐标，上下都有界，故不用顶点的纵坐标.例4.已知：方程x2+2px+6=0的两个实数根，一根大于1，另一根小于1.求：p的值. 解：根据抛物线y= x2+2px+6的开口向上，它与横轴的两个交点的大致位置，画出略图如下：1根据图象可知：f (1)<0； 顶点纵坐标<0.得不等式组解这个不等式组，得不等式组解集是p<7 . 答(略)本题因顶点横坐标无法定，故只有两个不等式.其实只要f (1)<0就可以了.关键是建立充分必

10、要条件的不等式组.注意：(1)若方程可求得有理数根时，则可以直接建立不等式组.如：例3可得两个根为和；(2)若符合基本对称式，则可用韦达定理来解.如： 例4可用x11>0,x21<0建立不等式(x11)(,x21)<0.左边去括号后，再转化为关于p的不等式.例5.a取什么值时，方程 无解？ 有3个解？两个解？解：画出函数y=和y=a的图象 ，它们的交点就是方程的解.直线y=a平行于横轴.当a1时，直线y=a与y=没有交点，即方程无解；当a1时，直线y=1 与. y=恰好有3个公共点，即方程有3个解.；.当a=1或a>1时，y=a与y=都有2个公共点，就是方程有2个解.例

11、6.求代数式|x+1|+|x1|+|x+2|在2<x<2区间内的最大值和最小值.解：作函数 y=|x+1|+|x1|+|x+2|的图象.由图象可知：当x=1,y有最小值 3；当x=2时，y有最大值 8.代数式 |x+1|+|x1|+|x+2|有最大值8和最小值 3.练习651.一元二次方程k2x2+2(k1)x+1=0有两个实数根的充分必要条件是可列方程组：解得：_2.一元二次方程x2+(m+2)x+m+5=0有一正一负的实数根的充分必要条件是，所以m的取值范围是.3.一元二次方程2x2+4mx+3m1=0有两个负实数根的充分必要条件是，可列方程组：解得：.4.已知一元二次方程（m

12、+3x24mx+2m1=0两个实数根异号且负根的绝对值较大.求m 的值.5.已知一元二次方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根，那么a=，b=_.6.求代数式在3x<3区间的最大值和最小值.7.已知方程（a2-1）x2-6(a+1)x+8=0有实数根，试确定a的取值范围.8.k取什么值时，方程x2-11x+k=0两个实数根都大于5？9.若方程x2+(1-2m)x+m2-m=0两个实数根中，一根大于2，另一根小于2.求m 的取值范围.10.已知：方程3x2+(m-1)x+3m+2=0两个实数根中，一根大于3，另一根小于2.求：m的取值范围.11. 已知：m和n

13、都是整数，且方程4x2-2mx+n=0的两个实数根，都在0和1之间（不包括0和1）求：m,和n的值.12.m取什么值时，方程x2-2mx+m2-1=0的两个实数根，都在1和2之间（包括1和2）13.二次函数y=(m2-4)x2+(m2-2m+24)x+6(m-6)的图象与横轴的两个交点的横坐标是两个不同的正整数，试确定m的值.14.k取什么值时，方程k0无解？有3个解？4个解？ 15.方程x2+y2=16和y=x2+4有一公共实数解，那么y的值是（）（A） 只有4（B）7，4（C）0，4（D）y无解，（E）y的所有的值. (提示：x2+y2=16的图象是以原点为圆心，4为半径的圆) 第三课时：

14、.用方程解应用题教学目标： 1.用方程的数学模型反映现实情境中的实际问题 2.认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系， 建立数学模型 3.经历建立方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣 4.审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型教学过程：一、选择题：1、甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行1小时后他们分别到达各自的终点A与B，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A之后35分钟到达B，甲乙的速度之比为（）A. 35B. 43C. 45D. 342、某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提

15、高一个档次，每件产品利润增加2元，用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件，如果获利润最大的产品是第R档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么R等于（）A. 5B. 7C. 9D. 103、某商店出售某种商品每件可获利m元，利润为20%（利润），若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m元，则提价后的利润率为（）A. 25%B. 20%C. 16%D. 12.5%4、某项工程，甲单独需a天完成，在甲做了c（c<a）天后，剩下工作由乙单独完成还需b天，若开始就由甲乙两人共同合作，则完成任务需（）天A. B. C. D. 5、A

16、、B、C三个足球队举行循环比赛，下表给出部分比赛结果：球队比赛场次胜负平进球数失球数A22场1B21场24C237则：A、B两队比赛时，A队与B队进球数之比为（）A. 20B. 31C. 21D. 026、甲乙两辆汽车进行千米比赛，当甲车到达终点时，乙车距终点还有a千米（0a50）现将甲车起跑处从原点后移a千米，重新开始比赛，那么比赛的结果是（）A. 甲先到达终点B. 乙先到达终点C. 甲乙同时到达终点D. 确定谁先到与a值无关7、一只小船顺流航行在甲、乙两个码头之间需a小时，逆流航行这段路程需b小时，那么一木块顺水漂流这段路需（）小时A. B. C. D. 8、A的年龄比B与C的年龄和大16

17、，A的年龄的平方比B与C的年龄和的平方大1632，那么A、B、C的年龄之和是（）A. 210B. 201C. 102D. 120二、填空题1、甲乙两厂生产同一种产品，都计划把全年的产品销往济南，这样两厂的产品就能占有济南市场同类产品的，然而实际情况并不理想，甲厂仅有的产品，乙厂仅有的产品销到了济南，两厂的产品仅占了济南市场同类产品的，则甲厂该产品的年产量与乙厂该产品的年产量的比为2、假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择，甲种客车每辆有40个座位，租金400元；乙种客车每辆有50个座位，租金480元，则租用该公司客车最少需用租金元。3、时钟在四点与五点之间，在时刻

18、（时针与分针）在同一条直线上？4、为民房产公司把一套房子以标价的九五折出售给钱先生，钱先生在三年后再以超出房子原来标价60%的价格把房子转让给金先生，考虑到三年来物价的总涨幅为40%，则钱先生实际上按%的利率获得了利润（精确到一位小数）5、甲乙两名运动员在长100米的游泳池两边同时开始相向游泳，甲游100米要72秒，乙游100米要60秒，略去转身时间不计，在12分钟内二人相遇次。6、已知甲、乙、丙三人的年龄都是正整数，甲的年龄是乙的两倍，乙比丙小7岁，三人的年龄之和是小于70的质数，且质数的各位数字之和为13，则甲、乙、丙三人的年龄分别是三、解答题1、某项工程，如果由甲乙两队承包，天完成，需付1