扬州大学概率论练习册详解

1、随机事件与概率 （A卷) 单项选择题1、 事件A、B、C中，A、B至少有一个发生而C不发生的事件可表示为（）(A)AB+AC+BC (B)(C) (D)A+B+C C 由题意知(AB)C ,即C选项。2、 设A、B为任意事件，则（A+B)(A+)(+B)=( )( A)A+B (B)A-B(C)B (D)AB D （A+B）（A+B）=A, A（A+B）=AB，即D项3. 从长度分别为1、3、5、7、9的五条线段中，任取3条线段能构成三角形的概率为（）(A) (B) (C) (D) A 枚举：5条线任选3条，共有C35=10。1 3 5 7 9 五条线，可以组成三角形的只有（3 5 7）、（3

2、 7 9）、（5 7 9）三种，故选A (3/10). （陈志恒） 4.设P(AB）=P(),则P(A)+P(B)=() (A)0 (B)1 (C)1-P(AB) (D) 答案为B由题意知，P()=1-P(A)=1-P(A)-P(B)+P(AB),所以P(A)+P(B)=1 5.设A，B为两个随机事件，且BA,则下列式子正确的是（ ） A P（AB）=P（A） 错 应该等于P（B） B P (B/A)=P(B) 错 应该等于C P（A+B）=P（A） 正确 D P（B）=P(B)-P(A) 错应该大于等于6、5人摸彩方式决定谁得一张电影票，设表示“第i人摸到”（i=1,2,3,4,5）,则下列

3、结 果中有一个不正确，它是（B） A P（)= B P（)= 错 C P（)= D P()= （高震）7. 袋中有五个球，其中3个是新的2个时旧的，无放回地抽取两次，每次取一个，则第二次取到新球的概率为 （A）（A） (B) (C) (D) 解： 设事件A为第二次取到新球的概率 P（A）=3/52/4+2/53/4 =3/5二、填空题1. 在任意相遇的8个人中，至少有两个人的生日在同一个月的概率为_;解：设事件A为至少有两个人的生日在同一个月P(A)=1- =0.952. 则此人在三次内打开房门的概率为_;解：设事件A为在三次内打开房门P（A）=2/5+3/52/4+3/52/42/3 =0.

4、9 (陆雅晴）3. 一批晶体管共有100只，次品率为10%，接连两次从其中任取一个（取后不放回），则第二次才取到正品的概率为_ 解：由题意知，正品90个，次品10个，所求为=4. 设P(A）=0.4，=0.7，那么 （1）若A与B互不相容，则P（B)=_0.3 由已知条件得，P(AB)=0，所以P(AB)=P(A)+P(B)=0.7，P(B)=0.3 (2) 若A与B相互独立，则P(B)=_0.5 由已知条件知，P(AB)=P(A)*P(B),P（AB)=P(A)+P(B)-P(A)*P(B),所以P(B)=0.55.一射手对同一目标独立地进行三次射击，若至少命中一次的概率为为，则该射手每次射

5、击的命中率为_2/3_ 解：由题意知，设命中率为P,则=,即1-P=,所以P= (高静） 6、设三个事件A，B，C两两独立，且ABC=，p(A)=P(B)=p(C), p(A=,则P（A）=解：因为P（ABC)=P(A)+P(B)+P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC); P(A)=P(B)=P(C) ABC=且，两两独立则P（)=3P(A)-3P(A)P(A）=所以P（A）=7、甲，乙，丙三个班级的人数分别是35，40，40，某次考试的及格率依次为80%，90%，85%，现从三个班级中随机挑选一人，发现该生成绩不及格，则该生选自甲班的概率为解：设不及格事件为B，不及格为事件

6、A，（此题为逆概）P（B）=P(|B)=三、计算题3，在十张球票中，有五张10元的，三张30元的和两张50元的，任意取出三张，求：（1） 三张球票共70元的概率；（2）三张中至少两张票价相同的概率；解（1）有两种可能性30 30 10，50 10 10P=（2）用对立事件做P= (章成芳）2. 某厂的产品中有4%的不合格品，在100件合格品有75件一等品，试求在该厂的产品中任取一件是一等品的概率。 解： 由题意 产品的合格率为96% 合格产品中的一等品率为75% 则出厂产品的一等品率P=96%*75%=72% 所以在该厂产品中任取一件是一等品的概率为72%。3. 甲、乙两选手进行乒乓球比赛，甲

7、选手发球成功后，乙选手回球失误的概率为0.3。若乙选手回球成功，甲选手回球失误的概率为0.4。若甲选手回球成功，乙选手再次回球失误的概率为0.5。试计算这几个回合中，乙选手输掉一分的概率。 解： 乙选手输掉一分有两种情况： 第一种是乙第一次回球就失误，所以P1=0.3; 第二种是乙第二次回球才失误，所以P2=0.7*0.6*0.5=0.21; 因此乙选手输掉一分的概率P=P1+P2=0.51。4. 已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,求A、B、C全不发生的概率。 解： P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-

8、P(AC)+P(ABC) =1/4+1/4+1/4-1/6-1/6 =5/12 则A、B、C全不发生的概率为1-P(AUBUC)=1-5/12=7/12。 （2、3、4题答案由卜某某提供） 5. 甲乙俩人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被射中，求他是甲射中的概率。解：令事件B为被射中 事件A1表示甲射中乙没中 事件A2表示乙射中甲没中 事件A3表示俩人都中则 P（）=0.757.乒乓球盒中有15只球，其中九只是没有用过的新球。第一次比赛时任取3只使用，用毕放回。第二次比赛时又任取3只，求此3只球全是没有用过的新球的概率。解：设Ai为第一次抽到的新球个数。 B为

9、3只球为新球。P（A0）=，P（A1）=P（A2）=，P（A3）=P（）=，P（）=P（）=，P（）=P（B）=P（）P（A0）P（）P（A1）P（）P（A2）P（）P（A3）0.089 （赵雪晴） 四1证明重要公式：P(A-B)=P(A)P (AB);(或P(AB)=P(A) P(AB);2设P(A)=0.7，P(AB)=0.3，求P()AB 所以P（AB）= P（）= P（）+P（AB）P (AB) 又因为AB= 所以P（A）= P（）+P（AB） 所以P（）= P（A） P（AB）即P（AB）P（A）P（AB）P（AB）=0.4 所以P()=1P(AB)=0.6（画图可帮助解题）（胡菁提

10、供） BA一、单项选择题1. 对于任意两事件A和B，与AB不等价的是（ ） (A)AB (B) (C)A= （D)D 解释：AB=B 等价于 AB 则由图可知AB 而A= B2、 设A、B为两个随机事件，P(A)=p,P(B)=q,(0p1,0q1),若P(A+B)=p+q-pq,则事件A与 B （ ） （A)互不相容 （B)相容且独立 （C)对立 （D)不独立 B 相容且独立 p1,0qP(B)应采用第一种5. 两个袋中各放有及个白球和及个黑球，现从每个袋中各取出一球，然后再从这两个球中取出一个，求这个球为白球的概率。解：设为“第一次取两球时取到i个白球”，i=0,1,2; B为“最终取到白

11、球”P（）=0=P(B)=+= （陆杏娟)6某公司生产的某种半导体元件，次品率为4%。一批元件出厂前进行检验，规定在该批元件中任取3只进行检验，若发现一只次品则不能出厂。已知检验时，确是次品而被发现的概率为0.95；确是正品而被误验为次品的概率为0.01，假定对每只元件的检验是相互独立的。求这批产品能出厂的概率。解：设表示取出的一只元件为正品，表示取出的为次品。B表示一只元件经检验为正品的事件。C表示产品能出厂。则 由题可知，产品要出厂则三只元件皆需被检验为正品。则答：这批产品能出厂的概率为0.8639。四设事件A、B满足，证明A、B独立。 证明：由题 由公式可知： 代入式子中可得： 则A、B

12、独立得证。 （汤洁）第五大题假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱装30件，其中18件一等品，现从两箱中随便挑出一箱，然后再从该箱中先后随机挑出两个零件（取出的零件均不放回）。求：（1）先取出的零件是一等品的概率p；（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q。解：（1）设为第i个箱子，i=1,2；P()=1/2 P()=1/2 B为先取出的零件是一等品 P(|B)=1/5 P(|B)=3/5 故p=P(B)=P()P()+P()P(|)=2/5 （2）设C为在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品 q=P(C/B)

13、=P(BC)/P(B) P(BC)=P(BC|)+P(BC|)=1/2*1/5*9/49+1/2*3/5*17/29 故q=(1/2*1/5*9/49+1/2*3/5*17/29)/(2/5)=0.4856 （王莉媛） （C卷） 1. 一架电梯开始时有6位乘客并等可能地停于10层楼的每一层，求下列事件的概率。（1） 某指定的一层有两位乘客离开；（2） 没有两位及两位以上乘客在同一层离开；（3） 恰有两位乘客在同一层离开；（4） 至少有两位乘客在同一层离开；（假设乘客离开的各种可能排列具有相同的概率）（张天柔） 2.考虑一元二次方程x2+Bx+C=0.，其中B、C分别是一枚骰子连续掷两次先后出现

14、的点数，求该方程有实根的概率p和有重根的概率q；解； （冯树东）3.在N阶行列式的展开式中任取一项，求该项含主对角线元素的概率解析：N阶行列式的一般项为，每项要不要同行不同列，所以共有项，题目要求任取一项中含主对角线元素的概率，及等价于曾讲的一例题：标有1,2,3。N的盒子，取同样标有1,2,3。N的相同规格的小球向盒子里投，每盒投一个，问：球的号与盒子的号相同的概率。所以具体求解如下：设表示“含主对角线上的第i个元素”（i=1,2,3.,n）,则P()=,P()=P()P()=*,P()=,.,P()=,故P()=P()+.+=1 （曹艳娇）二求下列概率1、在半径为R的圆内任取一点，求该点位

15、于给定圆内接正方形内的概率；解：设正方形的边长为a ，则可得a=R记事件A=“该点位于给定圆内接正方形内”则P（A）=2、在区间0，1上随机地取两个数，求两数之和超过的概率。解：记随机取的两数分别为x，y 则可得如下的图满足两数之和超过的是S= 记事件A=“两数之和超过”则 P(A)=110xy （蒋彩烨）3 设P(A)=P(B)=P(C)=p，P(AB)=P(BC)=P(AC)=q，P(ABC)=r,且2p-q1，求P(C|)。 解.P()=P(C)-P(C(A+B)=P(C)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=p-2q+r P()=1-P(AB)=1-2p+q P(C|)=P()P()

16、=四.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件事不合格品，求另一 件也是不合格品的概率。 解.设A为取出第一件为正品，B为取出第二件为正品 P= P（）= P（）=1-= P= （徐双燕）五、设0P(A)1，0p(B)1/b）。三人两两对决胜负的概率如下表：胜负 父亲母亲儿子父亲1/21/b母亲1/21/b儿子1/a1/a（I） 若第一轮就分出胜负，则：父亲胜的概率：1/21/b=1/2b母亲胜的概率：1/21/b=1/2b儿子胜的概率：1/a1/a=1/a2若第一局就分出胜负，无论哪两个人先比赛，每人的胜率为定值（如上）。所有决策无效。（II） 若第一轮未分出胜负，进入第二轮则决策生效，按照父亲的决策，最后的胜者非父即母。首先第一局未决出胜负的概率为：1-1/b-1/a2此局父胜与母胜的概率均为1/2。则此种情况下父亲为最后胜者的概率