数学建模概述

1、.数学建模概述.获奖选手心得摘录 谈到赛后的感受时，郭涛说，知道比赛的结果后，喜出望外之余，又陷入了思考之中，也因此有了一些心得：在没有尝试之前，不要说目标太遥远，更不要说自己不行，只要敢于去尝试并坚持，奇迹随时都可能出现。在很多时候每个人的起点都是相同的，就看你能不能比别人多走一步，也许就是那一小步就可以到达成功。不能等别人都去尝试过了你才下手，这样的生活叫消极，永远只能跟在他人后面，不能拥有一片自己的天空。 .心得：让青春燃烧出最灿烂的火焰 青春不是年华，而是心境；青春不是桃面、丹唇、柔膝，而是深沉的意志、恢宏的想象、灼热的感情；青春是生命的深泉在涌流。 我追求这样一种青春：他用汗水和泪水

2、铸造，在拼搏与奋斗中灿烂的盛开。 飞跃从纸上谈兵到实战演练 我们已读了十几年书，都是纸上谈兵，只会做题、考试，而数学竞赛是我们第一次去解决实际问题。从书中到书外，从理论到实践，这是一次质的飞跃，对我而言也是一次转折。是数模竞赛让我真实地体会到：我所学习的知识是有用的，可以解决实际问题；我将来能用双手去创造世界，我有存在的价值！以前，这些是别人告诉我的，而这一次，我在竞赛过程中有了切身的体会，这是一种完全不同的感受。. 竞赛获奖证书 大学里或者社会上的各种竞赛，获奖证书也非常受青睐。 一名同学大学里多次参加辩论赛获奖，被一家企业老总直接聘为总裁助理； 西安交大一名同学，挑战杯获奖，直接获得了麻省

3、理工（MIT）的全奖； 上海交大两名参加ACM竞赛获奖的同学，李开复直接打来电话抢先挖去； 浙大一名同学大学四年不断参加各类编程比赛，累计赢得奖金20万美元，近日被topcoder聘为中国技术副总裁； 等等，通过参加竞赛锻炼能力，获得证书，找到工作的例子遍地都是。 .开放性的数学思维知识是有限的而想象力和创造力却可使知识无限地延展。古希腊一个哲学家芝诺，他曾认为如果让乌龟先爬行一段路后再让阿基里斯（神话中善跑的英雄）去追它，那么阿基里斯将永远也追不上前者。芝诺的理论依据是：阿基里斯在追上乌龟之前必须先到达乌龟的出发点，这时乌龟已向前爬了一段路程，如此分析下去，阿基里斯虽然离乌龟越来越近，但却永

4、远也追不上乌龟，结论是否正确？为什么？.1112n-1111SAASAA1001()1000nnnnnnSSSSnSS 2 2n n假设阿基里斯跑的时候乌龟已经爬了米到点，假设阿基里斯跑的时候乌龟已经爬了米到点，阿基里斯追到点时乌龟又向前爬了米到点. 阿基里斯追到点时乌龟又向前爬了米到点. 假设阿基里斯的速度是乌龟的100倍，则阿基里斯假设阿基里斯的速度是乌龟的100倍，则阿基里斯追到点时乌龟向前爬了追到点时乌龟向前爬了递推递推越大，越小， lim，阿基里斯最终将追上越大，越小， lim，阿基里斯最终将追上乌龟。乌龟。.用求和来考虑，阿基里斯在追乌龟的过程跑了1211111.11.().100

5、10010099nnSSSSSSSSS 从计算中可以看到，阿基里斯只要追到离从计算中可以看到，阿基里斯只要追到离100100起点处便已追上了乌龟。起点处便已追上了乌龟。9999.一位物理导师给学生出了一道试题：一位物理导师给学生出了一道试题：请利用一个气压表来测定一座大楼的高度。学生答道：学生答道：（1）把气压表拿到大楼的楼顶，用一条长绳的一端栓住气压表，拉住绳子，把气压表垂直落到地面，然后把它拉上来，测量绳子的长度；（2）把气压表拿到大楼的楼顶，让气压表沿屋顶的边落下，用一块秒表测出其下落所用的时间，然后用 计算出大楼的高度。212Sat .3）阴影长度比；4）上楼过程中测出这层楼的墙有几个

6、气压表的长度；5）拿着气压表到地下室敲开大楼主管的门，并对他说：“主管先生，我这有一个上好的气压表，如果你告诉我这幢大楼的高度，这个气压表就是你的了。”. 模型：飞机模型，水电站模型，楼盘模型等是实物模型，是所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中我们关心和需要的重要特征。 数学模型：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。 .假设假设1）桌子四条腿一样长，桌脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形。2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，即地面可视为数学上的连续曲面。例如：例如：1）方桌问题）方

7、桌问题在一块不平的地面上，能否找到一个适当的位置而将一张方桌的四脚同时着地？.3）对于桌脚的间距和桌腿的长度而言，地面是相对平坦的，使桌子在任何位置至少又三只脚同时着地。模型构成要用数学语言把桌子四只脚同时着地的条件和结论表示出来。.首先用变量表示桌子的位置，如图，桌脚连xyABCDABCD线为正方形ABCD，对角线AC与x轴重合，桌子绕中心点0旋转角度后，正方形ABCD转至ABCD的位置，所以对角线AC与x轴的夹角表示了桌子的位置.其次要把桌脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示桌脚与地面的数值距离，那么当这个距离为0时，表示桌脚着地，桌子在不同位置时桌脚与地面的距离不同，所以这个距离

8、是桌子位置变量的函数.0.000( ),( ),( ), ( )02 ( ), ( )3( )( )00( )0,( )0()()0( )( )( )( )ACfB Dgfgfgfggffgfgfg 设两脚与地面距离之和为，两脚与地面距离之和设两脚与地面距离之和为，两脚与地面距离之和为，由假设都是连续函数，由为，由假设都是连续函数，由假设 ，任何位置至少又三只脚着地，即对于任意 ，和假设 ，任何位置至少又三只脚着地，即对于任意 ，和中至少有一个为 ，当时，不妨设中至少有一个为 ，当时，不妨设那么证明问题的结论将转化为：，使那么证明问题的结论将转化为：，使问题描述为：已知和是连续函数，且问题描述

9、为：已知和是连续函数，且0000( )0( )0()()0gffg ，要证明，使，要证明，使. 模型构成：安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合S. 状态用(1,1,1,1)表示人，狗，鸡，米在南岸，(0,0,0,0)表示人，狗，鸡，米在北岸。 允许状态集合S为: (1,1,1,1) (0,0,0,0) (1,0,1,1) (0,1,0,0) (1,1,0,1) (0,0,1,0) (1,1,1,0) (0,0,0,1) (1,0,1,0) (0,1,0,1)模型2 人狗鸡米安全过河问题. 决策集合：记第k次渡船上的状态 (1,0,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,1),(1,0,

10、0,0) 一次过河就是一状态向量和一决策向量的加法，加法运算采用二进制（异或） 000，101，0+1=1,1+1=0 根据以上假设，人狗鸡米过河问题就转化为：找出从状态(1,1,1,1)经过奇数次决策变为状态(0,0,0,0)的系统状态转移过程。.(1,0,1,0)(1,0,0,0)(1,1,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,1)(1,0,0,0)(1,0,1,0)(1,1,1,1)(0,1,0,1)(1,1,0,1)(0,0,0,1)(1,0,1,1)(0,0,1,0)(1,0,1,0)(0,0,0,0) . 商人安全渡河问题 三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他

11、们自己划行，随从密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河？.,1,2,0,1,2,3.(,).( , )|0,0,1,2,3;3,0,1,2,3;1,2kkkkkkkkxykn xysxySSx yxyxyxyk 同样，用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量同样，用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。 记第 次渡河前此岸的商人数为，随从人数为记第 次渡河前此岸的商人数为，随从人数为将二维向量定义为将二维向量定义为状

12、态，安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做状态，安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做记第 次渡船上记第 次渡船上111(,)( , )|1,2( 1)(1,2,)(3,3)(0,0)kkkkkkkkkkkkknuvdu vDDu vuvkksdssddD knsSsnsn 的商人数为，随从人数为 ，将二维向量的商人数为，随从人数为 ，将二维向量定义为决策，允许决策集合为定义为决策，允许决策集合为因为 为奇数时船从此岸到彼岸， 为偶数时，船由彼岸驶回因为 为奇数时船从此岸到彼岸， 为偶数时，船由彼岸驶回此岸，所以状态 随决策变化的规律是此岸，所以状态 随决策变化的规律是称为状态

13、转移称为状态转移求决策使状态按转移律，由初始状态求决策使状态按转移律，由初始状态经过有限步 到达状态， 为奇数。经过有限步 到达状态， 为奇数。.2( , )12123xoyS x ykk（ ） 图解法（ ） 图解法 在平面坐标系中，方格点表示状态，在平面坐标系中，方格点表示状态，允许状态用圆点标出，允许决策是沿方格线移动允许状态用圆点标出，允许决策是沿方格线移动或 格，规定或 格，规定） 为奇数时，向左或下方移动） 为奇数时，向左或下方移动） 为偶数时，向右或上方移动） 为偶数时，向右或上方移动） 每次移动必须落在允许状态上） 每次移动必须落在允许状态上. 数学建模的一般步骤 模型准备 了解

14、问题的实际背景，明确建立模型的目的掌握对象的各种信息，如统计数据等。一般要大量查阅资料请教专家。 模型假设 关键一步，要善于辨别问题的主要和次要方面，抓住主要因素，抛弃次要因素，尽量使问题均匀化线性化。. 建立模型 在建立模型之前，首先要明确建模的目的，因为对于同一个实际问题，出于不同的目的所建立的数学模型会有所不同。根据所给的条件和数据，建立起问题中相关变量或因素之间的数学规律,可以是数学表达式、图形和表格，或者是一个算法等。 模型求解 不同的数学模型的求解方法一般不同，除了熟练掌握一些数学知识和方法之外，还应具备在必要时针对实际问题学习新知识的能力，同时，应具备计算机操作能力，掌握一门编程

15、语言和一两个数学工具软件包的使用。（Matlab.Lingo）. 解的分析与检验 对所求出的解，必须要对解的实际意义进行分析，即模型的解在实际中说明了什么，效果怎样，模型的适用范围如何等等。同时，还要进行必要的误差分析和灵敏度分析等。 论文写作 论文要力图通俗易懂，能让人明白你用什么方法解决了什么问题，结果如何，有什么特点。 应用实际 数学模型的求解结果只有在实际中检验是合理的，才能被证明是正确的，否则，要修正模型，直到通过实际检验。. 数学建模与能力培养 通过学习数学建模，主要是扩大学生的知识面，培养和提高学生综合运用所学知识解决实际问题的综合能力。 具体地讲，数学建模有利于培养几个方面的能

16、力： 1）丰富灵活的想像能力 2） 抽象思维的简化能力 3） 发散思维的联想能力 4） 学以致用的应用能力. 5） 会抓重点的判断能力 6） 高度灵活的综合能力 7） 使用计算机的动手能力 8） 信息资料的查阅能力 9） 科技论文的写作能力 10） 团结协作的攻关能力. 1.3数学模型的分类数学模型的分类 数学模型可以按照不同的方式分类,下面介绍几种常见的分类方法。 （i）按照模型的应用领域或所属学科分类，如城镇规划模型交通模型数量经济学模型生态学模型水资源模型等。 （ii）按照建立模型的数学方法分类,如初等数学模型几何模型微分方程模型图论模型线性规划模型对策论模型等。. （iii）按照模型的表现特征又有几类分法:比如说确定性模型和随机性模型静态模型和动态模型离散模型和连续性模型线性模型和非线性模型等。 （iv）按照建模的目的分类,有描述模型分析模型预报模型优化模型决策模型控制模型等。 （v）按照对模型结构的了解程度分类,有白箱模型灰箱模型黑箱模型等。. 数学模型的分类，从数学方法上分类： 差分与微分方程模型 人口模型 传染病模型等 概率统计模型 决策论 排队论 存贮论等. 运筹与优化模型 线性规划 非线性规划 动态规划 多目标规划等 图论及网络分析模型 路径问题 网络流问题 匹配与覆盖等. 其它模