人教版初中数学八年级下册全册教案（2024年春季修订）

16.1二次根式

第1课时二次根式的概念

教学内容第1课时二次根式的概念课时1

1.会用数学的眼光观察现实世界：感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会

研究二次根式的必要性.体验数学的应用价值，提高数学学习兴趣.

2.会用数学的思维思考现实世界：运用表格或者图式来分类讨论，学习概念，

核心素养

让学生体会新旧知之间的迁移思想，掌握由"数"到"式、由“特殊”到

目标

“一般”的学习方法.

3.会用数学的语言表示现实世界：培养学生的数学应用意识，发展学生分析问

题、解决实际问题的能力.

1.理解并掌握二次根式的概念.

知识目标2.理解并掌握二次根式的双重非负性.

3.根据二次根式的概念，求开方数中字母的取值范围.

教学重点理解并掌握形如国沙）的式子叫做二次根式的概念.

教学难点理解并掌握二次根式的双重非负性.

教学准备课件

教学过程主要师生活动设计意图

一、复习一、旧知复习，导入;新夕

导入教师提问：“平方根、算4发平方根有哪些性质呢？"设计意图：让学生在填空

过程中，回忆平方根与算

正数有亶个平方根且数平方根的性质，用旧知

*互为相反数导入新知，增强新旧知识

之间的联系，掌握由“数”

0的平方根是零

到“式"，由”特殊”到“一

负数没有平平根

般”的学习方法，为后面学

’非负数。的平方根目

%习二次根式的概念做铺

示为土&

•垫.

正数只有一个算术平方林

0的算术平方根是零

负数遨直算术平方根、

‘非负数a的算术平方根

、表示为R,

师生活动：教师播放i果件，展开思维导图，今性独

立思考，共同回答完J成填空.

二、探究二、小组合作，探究概念和性质

新知

知识点一：二次根式的概念及有意义的条件

思考用带根号的式子填空，看看写出的结果有什设计意图：让学生在填空

么特点：过程中初步感知二次根式

与实际生活的紧密琰系，

（1）如图①的海报为正方形，体会研究二次根式的必要

若面积为3m2,则边长为m；性.

若面积为5m2,则边长为一m.

（2）如图②的海报为长方形，若

长是宽的2倍，面积为130

m2,则它的宽为m.

（3）一个物体从高处自由落下，落到地面

所用的时间f（单位：s）与开始落下的高

度单位：m）满足关系力=57，如果

用含有h的式子表示t.

那么t为—.

师生活动:学生独立完成上述问题，用算术平方根

表示结果，教师进行适当引导和评价.

问题1这些式子还有什么共同特征？

设计意图：为概括.次根

师生活动：教师引导学生说出各式的意义概括它式的概念作铺垫.

们的共同特征都表示一个非负数（包括字母或式子

表示的非负数）的算术平方根.

预设1：含有「根指数是2.

预设2：被开方数（式）大于0.

问题2是否存在J石，为什么呢？设计意图：学生回顾旧知,

自主思考回答问题,加深

师生活动：学生独立思考并作答.学生对二次根式性质的猜

预设：不存在，因为实数范围内，负数没有算术平想和理解.

方根.

提问1：回顾75,y/s,显，七，万，

这些数或式有什么共同特征呢？

师生活动：预设：它们都是形如八的式子.a都设计意图：教师引导学生

有aNO.概括二次根式的概念和特

提问2:那对于形如V」的式子我们怎么去定义它征，发挥学生课堂主体的

呢？作用，加深对二次根式概

师生活动：教师提问引发学生思考，学生通过课前念的理解.

预习作出簧单回答.

教师总结二次根式定义和特征：

定义：一般的，我们把形如，，俗、0)的式子叫

做二次根式丁”称为二次根号(注意：a可以

是数，也可以是式

特征：61外在特征：含有"«”；②内在特征：

被开方数(式)320.

例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不设计意图：引导学与从概

是？念出发进行思考，加深学

生对二次根式定义的理解

(I)V32;(2)4^21

与掌握.

(4)；11(5)s/j.

师生活动：引导学生从概念出发进行思考，小组

讨论后选代表回答问题，教师总结解题方法.

分析:黛公懑夏;生獴蠹器|是

\否A.........

:不是二次疽氐•

设计意图：引导学生从概

例2当彳是怎样的实数时，，不在实数范念出发进行思考，巩固学

围内有意义？生对二次根式的被开方数

为非负数的理解.

师生活动：学生从概念出发思考，独立完成作答.

知识点二：二次根式的双重非负性

设计意图：通过对特殊实

探究：当4时，心0,那么当心。时，石例的思考和总结，让自学

的大小是怎样的呢？自主完成二次根式意义的

学习，提高学生从“特

师生活动：教师引导学生回顾之前思考的过程,殊，，到“一般"的迁移能

历力，培养学生的分类讨论

r,辛，辰JD,和概括的能力.

h

分别表示3,S,65,g,0的什么呢？

学生回答，表示它们的算数平方根.

教师引导学生根据特殊实例分析a>0和a=0

时，

、%的大小和表示的意义，学生独立思考完成表

格.

实例形如

意义大小总结

（特殊）（一般>

表示4的算

Va(a>0)4>。

术平方根

当“NO时，

孔，

表示。的算0

4(«-0)

术平方根&=。

教师进行归纳总结二次根式的实质是表示一个非

负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根

式都有：

JJ

二次根式的被开方数

或式非负S20）.二次根式4

的双重非负性

二次根式的值非负（，NO）」

这就是二次根赢双重非负性:

设计意图：在辨析口，加

深学生对二次根式的被开

问题3当x是怎样的实数时，行实数范围内方数为非负数的理解.

有意义？（加？

师生活动：学生独立思考，第一问全班共同回答,

第二问选一名学生回答.

设计意图：巩固学生对二

次根式概念和意义的理

例3若|.-2k+0,解，提高解题能力.

求a-b+c的值.

师生活动学生先独立思考后,教师分析解题思路,

组成算式的三个式子都是非负式，要算式为0,则

每个非负式均为零.学生独立思考并解答，选一名

学生板书.

教师总结：多个非负式的和为零，则可得每个非负

式均为零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值、

偶次累及二次根式.

三、当堂

练习，巩

固所学设计意图：题1、2考察

三、当堂练习，巩固所学学生对二次根式概念掌

握.

1.下列式子中，不属于二次根式的是（）

A.6R。C.CDX

2式.子而三有意义的条件是（）

设计意图：题3、4考察

A.x>2B.x>2C.x<2Dx<2学生运用二次根式的概

念，求开方数中字母的取

3.当x=—时，二次根式Jr.1取最小值，值范围.

其最小值为______.

4.当4是怎样的实数时，下列各式在实数范围内

有意义？设计意图：考察学生运用

，（2），20+3，二次根式的被开方数为非

负数的概念进行计算的能

⑶G；（4）力.

5.已知a,b为等腰三角形的两条边长,且a,

b满星二『3—u♦J2a—6♦4»求此二角形

的周长.

二次根式的概念

L我们把形如&（心0）的式子叫做二次根式”称为二次根号.

板书设计2.二次根式几的双重非负性：

二次根式的被开方数或式非负（320）；

二次根式的值非负（石N0）.

教师与学生一起回顾本m艮所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图

定义—我们把形如石（"20）

r的式子叫做二次根式

\_____________.

"X

在有意义条抓住被开方数必须;内

课后小结二次根式

件下求字母一-非负数.从而居

的取值范围

S___/、立不等式求出其解!幻

1'二次根式的、二次根式石中，

双重非负性且匕~20

教学反思

本节课是人教版八年级上册第16章二次根式第一节二次根式第一课时的

内容，它是前面学习的数的开方的后继学习，也是学习二次根式的运算的基

础，他在整个初中阶段起着重要的作用，贯穿始终，为后继学习打下夯实的

基础.它是学习本章的关键，它也是学习二次根式的化简和运算的依据.

16.1二次根式

第2课时二次根式的性质

教学内容第2课时二次根式的性质课时1

1.会用数学的眼光观察现实世界:感知二次根式的性质与实际生活的紧密联系,

体会研究二次根式的必要性.体验数学的应用价值，提高数学学习兴趣.

2.会用数学的思维思考现实世界：运用表珞或者图式来分类讨论，学习概念，

核心素养

让学生体会新旧知之间的迁移思想，掌握由“数”到“式”，由“特殊”到

目标

“一般”的学习方法.

3.会用数学的语言表示现实世界：培养学生的数学应用意识，发展学生分析问

题、解决实际问题的能力.

3.学生能根据具体数字分析和算术平方根的意义，由特殊到一般地归纳出二次

根式的性质，会用符号表述这一性质.

知识目标

4.学生能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简.

3.学生能从己学过的各种式子中，体会其共同特点，得出代数式的概念.

教学重点理解并掌握三次根式的性质.

教学难点能灵活运住一次根式的性质进行一次根式的化简.

教学准备课件

教学过程主要师生活动设计意图

二T复斗二、旧知复习，导入新知

导入教师提问：同学们，上节课我们学习了二次根式,设计意图：让学生在填空

那么二次根式的定义和概念是什么呢？过程中，回忆二次根式的

概念，为后面学习二次根

我们把形如八（。2°）

定义

的式子叫做二次根式式的性质做铺垫.

二次根式

二次根式《中，

二次根式的

\双重非__负__性__/aN0且/20

师生活动：教师播放课件，展开思维导图，学生独

立思考，共同回答完成填空.

活动根据算术平方根及平方的意义填空,你发

现了什么？设计意图：培养学生自主

（、介探究和观察的学习习惯，

提升学生的课堂参与感.

为后面学习二次根式的性

质做准备.

师生活动：学生独立完成填空，教师引导学生观

察并思考，表格1中的非负数与它的算数平方根

的平方数之间的关系.

预设：非负数与它算数平方根的平方数相等.

二、探究四、小组合作，探究概念和性质

新知

知识点一：的性质设计意图：通过对实例的

思考和总结，培养学生的

问题1根据活动直接写出结果抽象概括能力，掌握由

“数”到“式”观察探索

(")2=；(何=；的学习方法.

g=——；(Vo)2=——•

T/

师生活动：学生独立完成计算，教师引导学生思

考能用字母表示你所发现的规律吗？并说明理

由.

预设：部分学生能够独立完成字母表示，部分学

生比较困难.

教师提示上节课用字母”表示数，让学生逐•带

入,发现规律：心』，教师总结二次根式

的含义：代表平方等于a的非负数.

归纳总结：一般地，。〃)2=4(60).

注意：不要忽略这一限制条件.这是使二次

根式VZ有意义的前提条件.4可以是数，也可以

是式.

设计意图：巩固学生对一

例1计算：⑴(疝)2；(2)(2石)2；次根式性质1的理解，并

通过做题，归纳运月二次

师生活动：教师让学生进行小竞赛，学生独立完根式性质进行计算的解题

成的计算，看看谁做的又快又准确.请第一位做完方法，感悟学习二次根式

且正确的同学，回答自己的解题方法.性质的必要性.

教师展示解题思路分析：

解析：⑴(VT?)2(6)2=，(=0),1.5

⑵(2府鬻鬻⑵“舟一2。

设计意图：巩固学生对二

2.等式=K-2成立的条件是.次根式性质1的理解，不

要忽略这一限制条

师生活动：对于有困难的学生教师可提示，二次件.这是使二次根式

根式的。，可以表示式，学生独立完成计算.有意义的前提条件可

以是数，也可以是式.

分析：(。20)—►x~2^0

知识点二：必的性质

设计意图：根据活动和问

问题2填一填观察两者有什么关系题1,学生已经掌握了本

节课探索学习的方法，具

。（。20）a?

「吸有一定的观察和总结能

力，这里希望学生能力独

；0.1

-I-----立完成总结，进一步巩固

;2学习方法.

0

师生活动：学生独立完成填空，教师引导学生观

察并思考，表格1中的非负数与它平方数的算数

平方根之间的关系.

预设：非负数与它平方数的算数平方根相等.

归纳总结：一般地，、层=a(〃20).

即任意一个非负数的平方的算术平方根等于它本

身.

设计意图：巩固学生对二

例2化简：⑴而；⑵加了；次根式性质2的理解，并

通过做题，归纳运月二次

师生活动：学生独立完成的计算，请一名学生表根式性质进行计算的解题

述自己的解题方法.方法，感悟学习一次根式

教师展示解题思路分析：性质的必要性.

解析：

(1)>/16后;a。》。*"_4

(2)斤Ff,后一5设计意图：补充当a<0

思考：当aVO时，?时，好的结果，让学生

对序理解更加的清晰.

>回顾例1(2)的讲解过程，同学们猜测下结果.

⑵仲(句,后一5

猜想：当</<0时，=-a

证明：:“V0,-a>0t则后=J(-a)2=-a

归纳总结

__a(a20)

<a~=同=<

.-a(a<0)

即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的

绝对值.

设计意图：加强学生“任意

例3实数0、上在烟上的对应点如图所示，请你化简:一个数的平方的算术平方

-yjb1+4（a-b）-.根等于它本身的绝对值”

ab的运用.

-3-2*-16_1_2*3*

议一议：如何区别（4>与77?设计意图：通过上述实例

的讲解，归纳总结这两个

（向2

从运算顺序看先开方，后平方先平方，后开方式子的特点，注意其中的

区别.

从取值范围看“20a取任何实数

从运算结果看a1a1

表示一个非负数。的表示一个实数a的

意义算术平方根的平方平方的算术平方根

师生活动：学生小组讨论，然后代表发言，老师完

善学生的结果.

知识点三：代数式的定义

提问1：如我们学过的：5,a,而，/7（a

20）等.这些式子有哪些共同特征？

师生活动：学生概括式子的共同特征，得出代数式

的概念.

设计意图：学生通过观察

定义总结：用基本运算符号（包括加、减、乘、除、式子的共同特征，形成代

乘方和开方）数或表示数的字母连接起来的数式的概念，培养学生的

式子，我们称这样的式子为代数式.概括能力.

四、当堂提问2：初中阶段，我们已经学习了哪些种类的代

练习，巩数式？（可类似数系的分类）

固所学

师生活动：教师播放课件，展示实数分类导图.并引设计意图：进一步巩固学

导学生根据实数分类导图完成代数式分类导图.生对代数式的定义的理

解•，让学生掌握由“数”

到“式”，由“特殊”至J

“一般”的学习方法.

设计意图：锻炼学生运用

代数式抽象实际问题的能

力，巩固学生对代数式的

例4一条河的水流速度是2.5km/h,船在静水定义的理解.

中的速度是vkm/h,用代数式表示船在这条河中

顺水行驶和逆水行驶时的速度.

师生活动：教师提供分析思路，用文字表示数量关

系，再用数或字母替代文字，写出代数式.

五、当堂练习，巩固所学

设计意图：题1、2考察

I.化简：学生对二次根式性质学

握.

⑴夜=；Q)=

⑶(病y=；(4)J=

2.当1vx<3时，二3>的值为()设计意图：考察学生运用

x-3二次根式的性质，进行计

A.3B.-3C.1D.-1算的能力.

3.已知《、b是实数，且满"=、后1+、修设计意图：考察学生对二

足，那么a+b的值是次根式性质理解.

4.利用a=(而2(公0),把下列非负数分别写成

一个非负数的平方的形式：

设计意图：题5、6考察

(1)9；(2)2.5；(3)-；(4)0.学生运用二次根式的性质

2

进行化简运算的能刀.

5.实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化

简：

y]a:+4ab+4b:+\a-b\

1*1ba（）

6.已知a、b、c是4ABC的三边长，化简:

0♦b+c)"--a)♦,{c-b-a丫

二次根式的性质

性质1：一般地，0J）2=a（a2O）.

性质2：一般地，后二a（介0）.

板书设计

用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字

里连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.

教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.

课后小结

二次根式的性质是二次根式化简和运算的重要基础.学生根据二次根式

的概念和算术平方根的意义，由特殊到•般地得出二次根式的性质后，重在

能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简和解决一些综合性较强的问

教学反思

题.由于学生初次学习二次根式的性质，对二次根式性质的灵活运用存在一

定的困难，突破这一难点需要教师精心设计好每一道习题，让学生在练习中

进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活运用的能力.

16.2二次根式的乘除

第1课时二次根式的乘法

教学内容第1课时二次根式的乘法课时1

1.会用数学的眼光观察现实世界:感知二次根式的运算与实际生活的紧密联系，

体会研究二次根式的必要性.体验数学的应用价值，提高数学学习兴趣.

2.会用数学的思维思考现实世界：运用表珞或者图式来分类讨论，学习概念，

核心素养

让学生体会新旧知之间的迁移思想，掌握由“数”到“式”，由“特殊”到

目标

“一般”的学习方法.

3.会用数学的语言表示现实世界：培养学生的数学应用意识，发展学生分析问

题、解决实际问题的能力.

5.掌握二次根式乘法法则，会进行简单的二次乘法的运算

知识目标

6.能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简.

教学重点理解二次根式的乘法法则并能正确应用法则计算和化简.

教学难点区分二次根式乘法和二次根式的化简.

教学准备课件

教学过程主要师生活动设计意图

一、新课三、创设情境，导入彳附

导入教师提问：同学们，J边1£为、。的正方开先勺面积，设计意图：用面积的计

你们会计算吗？那么©g4a，宽为折的矩形的算，引发学生对二次根式

面积呢？的乘法运算的思考，发现

已有知识无法解决问题，

带着问题学习新课，激发

学生的学习兴趣，让学生

面积=?〃~面手H?

体会几何与代数式之间的

联系.

4历

师生活动：教师提问后；，金多生¥*接回答第一个问题，

再留时间给学生思考:第二二个I"4题.

二、探究六、小组合作，探究)酝亲和t陋

新知知识点一：二次根式1足法

问题1计算下列各式观察i才算结果有什么关

系：

设计意图：培养学生自主

•一•b,____1探究和观察的学习习惯，

(ii”x屈J_XJ_口74791

--73616j；提升学生的课堂参与感.

「J

(2);Vi6xV25=_4_X=回;

--x/16x257400={20!;

!i

血,25x36上、

(3柩旦场工X互=,须三30|.

-L____1__t

师生活动：学生独立;隹n/计拿露留时间计学生自

己思考.

教师提问：左边算式的结果，和右边算式的结果

有什么关系？

预设：左右两边算式的计算结果相等.

思考观察三组式子的结果，我们得到下面三个

等式，能用字母表示你所发现的规律吗？

(l)x/4xV9=V4^9;设计意图，通过对数的计

算实例的思考和总结，培

(2)716x^25=5/16x25；

养学生的抽象概括能力，

(3)>/25x廊=,25x36.运用并锻炼由“数”到

师生活动：学生独立思考并尝试归纳.“式”观察探索的学习方

教师提示：用如〃、人两个字母代替每个算式中的法.

数，你能发现什么规律？

请一名学生板书规律：—=教师提醒

其中：620不能被忽略，并完成总结.

归纳总结：一般地，二次根式的乘法法则是

即二次根式相乘，根指数不变,被开方数相乘.

注意：本章中如果没有特别说明，所有的字母都设计意图：与新课导入前

表示正数.后呼应，让学生在现学现

用中，巩固二次根式的乘

师生活动：法法则，解决之前自下的

教师提问，同学们现在可以计算新课导入中长问题，获得成就感.

为，「，宽为后的矩形的面积吗？

预设：学生独立完成计算并给出答案.

例1计算：⑴GxV?；⑵卜历;

设计意图：让学生熟悉法

则并能进行准确计算，规

师生活动：学生独立完成计算并给出答案，教师范学生做题格式.

重点强调题(2),能开方的数，计算结果要开方.

练习1.计算：⑴JSx，；(2)0x灰xJ5；

设计意图：锻炼学生的计

师生活动：学生尝试独立完成，教师选完成的学算能力，掌握解题方法.

生说出自己的思路和做法，教师给予纠正.

总结：当三个及三个以上的二次根式相乘，

（〃20,620,左20）

知识点二：积的算术平方根的性质

设计意图：明确法则反向

问题2一般地：，,・后=疯(心0,后0)，应用的价值，从而培养学

那么反过来而会等十什么呢？生的逆向思维及运算能力

得出积的算术平方根的性

师生活动：学生独立思考并回答疯“石质.

=•,教师补充t兑明，根据3讼喻•上

质，要注意320,。20)条件不

变，这就是积的算术平方根的性质.

例2化简：6J16x81；(2)"/艮

设计意图：学会化简，体

师生活动：学生试做，教师给予规范，并指出应会化简与二次根式奏法的

注意的问题.如：(2)日万出含有像4,护，区别，提高学生的运算能

这样开的尽方的因数或因式，把它们开方后移到力.

根号外.

总结：当二次根式根号内三个或三个以上的数或

式相乘，dab….k=y/a.Jb；7k，注意

（。20,620,女20）

例3计算：

(1)9x币;(2)3>/5X2VTO；(3)而

设计意图：锻炼学生综合

运用二次根式的乘法法则

师生活动：学生独立做题，教师给予规范，并指与其逆运算进行计算和化

出应注意的问题.简能力，区别化简和计算

总结：当二次根式根号外的因数不为1时，时的运算方法.

=(7/7/7)%20).

五、当堂

练习，巩

固所学七、当堂练习，巩固所学

设计意图：考察学生对二

1若.Jr（x-6）=Jx.Jx-6,则（）次根式的性质和乘方法则

A.x>6B.x>0的掌握.

C.0<x<6D.x为一切实数

设计意图：考查学生运用

2.已知出-1.732,那么灰工_______.（结果保二次根式乘法法则进行计

留小数点后两位）算的能力.

设计意图：考察学生综合

运用二次根式的乘法法则

3.计算：⑴2/x3>/2T;⑵声・小与其逆运算进行计算和化

（3）453、2/简能力.

4.如图，从一个大正方形中截去面积为15cm2设计意图：考察学生对二

和24cm2的小正方形，求团下部分的面积.次根式乘法运算的几何意

义的理解.

设计意图：考杳学生运用

5.比较大小（一题多解）：（1）2行与3道；二次根式乘法法则进行计

⑵-2而与-3而算的能力，培养学生的发

散性思维.

二次根式的乘法

一般地，二次根式的乘法法则是：

板书设计

即二次根式相乘，根指数不变,被开方数相乘.

注意：本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.

教师与学生一起।可顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.

—［法则卜［八•筋=—（。20,40丁

积的基士艺方根^-----［4ab=4a-4h（.20,620）

的性质1-----।---------

课后小结「-----------------{E灰根式化简）-------:

;J］:

;［先将被开方数进行因数分解或因式分解］:

::I::

：r再将被能开得尽的因数或因式开方1：

本节研究二次根式的乘法运算和化简二次根式，主要是对二次根式乘法

法则的正反应用问题，掌握运算法则是关键，为了让学生理解运算法则，教

材通过“探究”栏目，引导学生利用二次根式的性质，从具体数字运算中发

教学反思

现规律，进而归纳得出二次根式的乘法法则.本节课的学习中，学生在得出乘

法法则后，对于区分正反应