小波变换 双尺差分方程的求解

1、小波变换实验三双尺度差分方程的验证(1)、使用数值方法求解双尺度差分方程1、 实验目的对于双尺度差分方程：验证：迭代后得到的 与 的选取无关,与 和迭代次数的选取有关。通过本实验，可以进一步了解双尺度差分方程来构造一个多分辨率分析以得到相应的正交小波基的迭代原理和实现；可以在验证的过程当中，充分了解通过双尺度差分方程系数来构造尺度函数以及小波函数的原理和方法。2、 实验原理、实验编程思路1、 迭代理论推导。根据书本的理论知识，可以知道若事先已知 的解存在，且supp，则可通过解线性方程组，用求得的无限小离散区间上的值去逼近 。由于在区间0，N之外， 的值为0，令t=1，2，N-1，得到线性方程

2、组 （1），其中：又由于 可解得。再由双尺度差分方程 ，求得的值。重复上述过程，可求的的值。当时，可用离散值逼近连续的 。2、 简化计算过程和存储变量复杂度的编程原理和思路：同样在1的支撑区间内，cn仅对有限个n不为零，并设0<=n<=N时，cn!=0。满足上述条件下，方程的解具有紧支集。由1中的方程（1）可知，在归一化条件下，（1）式有唯一解。在编写迭代函数iter.m的时候，应该已知的变量有：支撑区间长度N，双尺度差分方程系数C，迭代次数m，初始条件 ，所求尺度函数自变量t。在解得上述方程之后，为了求得双尺度差分方程在任意点的值，不防定义向量 （2）显然可以有： （3） （4）

3、 （5）定义，则有： （6）再定义NXN的矩阵T0，T1，W0，W1，W2，W3分别为： （7） （8） （9）由双尺度差分方程，可以得到：对任意，t可有四进制展开式： ，其中dj=0，1，2，3。定义平移算子： 。由差分方程可得到： （10）若t在四进制下有t=0.d1 d2 d3dm，则对（10）式反复递推可以得到： (11)根据以上推导过程，在求解双尺度差分方程时，可以采用如下的快速算法：（1） 、根据（9）式构造Wk，k=0，1，2，3；（2） 、对任意的，存在某个整数k，使；（3） 、令t=S-k，有，对于t进行四进制展开，并选取适当的m(迭代次数，越大精度越高)，使得 接近t；（4

4、） 、计算（5） 、以的第k+1个分量作为的估计。上算法具有两大优点：首先可得到任意分点上的任意精度的的近似值；其次在编程过程中，数组大小固定在N×N 阶， 避免了以前那种结点数目按指数型增长情形,，从而大大节省了运算过程当中占用的存储空间，节省了运算时间。3、 实验程序和结果程序中的iter.m就是对于尺度函数的数值解法的求解函数。试验中取 ，支撑长度n=4，迭代次数m=6就可以实现对于0，3之间的任意t值对应的 值的求解，主测试程序如下：C=(1+sqrt(3)/4,(3+sqrt(3)/4,(3-sqrt(3)/4,(1-sqrt(3)/4;fai=iter(4,C,6,0,1

5、.23);得到的输出结果为：fai = 0.3963。对0,3之间的所有 近似求解可以得到如下的尺度函数图：（2）、使用时域方法求解双尺度差分方程一、实验目的对于双尺度差分方程：验证：迭代后得到的 与 的选取无关,与 和迭代次数的选取有关。通过本实验，可以进一步了解双尺度差分方程来构造一个多分辨率分析以得到相应的正交小波基的迭代原理和实现；可以在验证的过程当中，充分了解通过双尺度差分方程系数来构造尺度函数以及小波函数的原理和方法。二、实验原理、实验编程思路任取具有紧支集的非零函数 ，定义算子T如下：则：当m->无穷大时，若收敛到，则有：上式是以hn为系数的双尺度差分方程，所求的即为该差分

6、方程的解。对于支撑区间，当hn的支撑长度为N，设，则：所以可以看出双尺度差分方程在得到尺度函数的时候，其支撑长度完全由双尺度差分方程的系数hn决定，而和初始函数 的选取无关。编程思想：取初始值 为矩形波（对应一个离散值），则一次迭代后 有4个离散值，构造一个4×N的零矩阵（N为 的值的个数），其第一行行向量为 对应的离散值乘以h（1）和零组成，第二行向量为第一行右移两个值乘以h（2）组成，依次类推，构成一个4×N维矩阵，将此矩阵的行向量相加即得 ，完成第一次循环；重复上述过程，此时矩阵的行向量依次右移个值，完成第二次循环；依次类推，完成i次循环，可得到 ，当i足够大时可得到

7、逼近的尺度函数，进一步可得到小波母函数。三、实验程序和结果试验中选取：针对不同的双尺度差分方程系数hn，分别选定不同的初始函数fai0、迭代次数m，分析比较最后得到的尺度函数与上述三个参数之间的关系：（1） 、控制系数h1和迭代次数m1不变，分别取fai0=0,1,2,1;fai1=1,1,1,1。很明显可以看出，得到的尺度函数完全一样，故可以得出结论：迭代后得到的 与 的选取无关，而且可以看出得到的波形与（1）中利用数值解法得到的波形基本一致，也互相验证了两种算法的正确性。（2） 、控制初始函数fai0和迭代次数m1不变，去系数h1，h2.可以看出尺度函数的形状完全由方程系数h所决定，而且h1