微分几何陈维桓习题答案4

1、习题答案4p. 202 习题5.11. 设可允许的参数变换是保持定向的，即，其中. 用表示曲面在参数系下的第一、第二类基本量，用，表示曲面在参数系下的第一、第二类基本量. 证明：， .证明. (1) 因为，所以在可允许参数变换下，.上式两边作为的二次型相等，所以. (2) 设的方程为. 令.则有. 于是.因为，这说明在两个参数系下，有.于是 和(1)中一样，可得. 4. 验证：曲面的平均曲率可以表示成，并且证明在第1题的参数变换下是不变的. 证明. (1) 证法一：直接验证. 由定义， . 因此 .证法二：运用Weingarten变换. 由定义，.所以是Weingarten变换在切空间的基下的

2、矩阵. 它的两个特征值，也就是主曲率，满足.所以.(2) 在第1题的参数变换下，令为逆变换，. 则与互为逆矩阵. 故有，. (1)在第1题中已经证明了. (2)所以有.用乘上式两端，并对指标求和，利用(1)式可得.再用乘上式两端，并对指标求和，可得.最后用乘上式两端，并对指标求和，利用(1)式可得，即有. (3)于是由得到.所以在第1题的参数变换下是不变的. 注. 如果采用矩阵记号，令，.则(2)就是，(3)就是. 5. 证明下列恒等式：(1) ； (2) ；(3) ，其中. 证明. (1) 因为，对求偏导数，得.因此.用乘上式两边，再对求和，得.这就是(1). (2) 由，可得左边右边.(3

3、) 左边为右边为 所以(3)成立. p. 212 习题5.34. 设有2个不相等的常数主曲率. 证明：是圆柱面的一部分. 证明. 设的2个常数主曲率为. 因为，所以上没有脐点，可以选取正交的曲率线网作为参数曲线网，使得 ，. (1)因为是常数，由Codazzi方程(3.23)得，.因此. (2)于是，.作参数变换，. 则第一、第二基本形式成为，.即在新的参数下，. 为了方便起见，不妨设在原来的参数下就有，. (3)由(3.22)得，从而由Gauss方程(3.19)可知. 不妨设. 则.于是(3)成为，. (4)直接计算可得圆柱面的第一、第二基本形式也是(4)，见第四章第2节的例题. 根据曲面论

4、唯一性定理，曲面是圆柱面的一部分. 5. 已知曲面的第一基本形式和第二基本形式分别是，.证明：(1) 函数满足；(2) 和只是的函数. 证明. 由已知条件可得主曲率和平均曲率分别是， ， .由Codazzi方程(3.23)得，.因此，.由Gauss方程可得 . 因此，并且仅依赖于. p. 217 习题5.42. 判断下面给出的二次微分形式能否作为空间中某个曲面的第一、第二基本形式，并说明理由. (1) ，. (2) ，. 解. (1) 不能. 否则曲面有2个不相等的常数主曲率，. 由上一节习题4，曲面是圆柱面的一部分. 但是圆柱面是可展曲面，Gauss曲率，矛盾. (2) 不能. 如果这样的曲

5、面存在，则 ，. 由Codazzi方程(3.23)的第2式得，矛盾. 4. 已知，其中，. 若能作为某个曲面的第一、第二基本形式，问函数应该满足什么条件？假定. 写出满足上述条件的函数的具体表达式. 解. 如果这样的曲面存在，则上的点都是脐点. 由第四章定理1.1和定理1.2，必须是常数. 情况1. . 则，Codazzi方程(3.23)的2个式子自动成立. 因此只要函数满足Gauss方程. 因为Gauss曲率，应满足 . (1)也就是 .情况2. . 则，. 因此Codazzi方程(3.23)的2个式子成立. 剩下的只要函数满足Gauss方程. 因为Gauss曲率，应满足. (2)当时，(1

6、)成为,所以. 令. 根据复变函数知识，存在复解析函数使得. 因此，其中也是一个在其定义域内恒不为零的复解析函数. (2)式成为， (3)其中是常数. 它的一个解是.如果令，则上面的函数可以写成.对任何一个在其定义域内恒不为零的复解析函数，只要，函数都是(3)的解. p. 227 习题5.51. 已知曲面的第一基本形式如下，求它们的高斯曲率. (2) ，是常数；(4) ，是常数； (6) . 解. (2) 这是等温参数网. 由公式(5.5)，.(4) 这是正交参数网. 由公式(5.4)，.(6) 由公式(5.4)，. 2. 证明下列曲面之间不存在等距对应. (1) 球面；(2) 柱面；(3) 双曲抛物面. 证明. (1) 球面是全脐点曲面，它的主曲率就是法曲率，也就是法截线的相对曲率. 因此 ，其中为球面半径. 故球面的Ga