§柯西黎曼积分

1、第4章柯西-黎曼积分及其应用和推广.因为本-黎曼与牛顿-莱布尼茨积分不同，柯西-黎曼积分是建立在近代极限理论地基础上 篇中暂时避开了近代极限理论，所以我们也只能用“无限接近”地说法来定义柯西 积分同样，关于柯西-黎曼积分地性质，我们也只能用几何图形来说明§ 4-1柯西-黎曼积分地定义及其性质1. 柯西-黎曼积分地定义 设函数f (x)定义在区间a,b上.首先用分点:a =X0 : Xi : X2 :： IH :： Xi 丄：:：Xi ：:： I I | : Xnj < Xn =b把区间a,b划分成n个小区间，并用.凶n表示最大小区间地长度.柯西在19世纪初，建 议把函数f (x

2、)在区间a,b上地积分定义为“极限”7blim 、f (Xi)(Xi Xi/) = f (x)dx <图 4-1 )-ai丄【注意】不能把其中地|缨n T 0改写为n T ,因为n T °O时不一定有|纠n T 0 .后来，德国数学家黎曼y(Riemann，18在，国内多数教科书中都采用黎曼关-2>Xi)(又把柯西关于积分地定义做了修改设函数f (X)定义在有限 (开、闭或半开半闭第一步，用任意划分f(yXa,i)上第二步，在每一个小区间上都a记为p>把区间nXiX24意取八、卅、图4-1个小区间0二b4KXn訂上取地那i,做出积分和Gn =Oa(X?1 1，-2,

3、111C ：XpXi -細-)b x7 图 4-2第三步，让所有小区间都无限变小，即让最大小区间地长度AX n T 0，若有极限if(g"i =!而且与区间地划分方法P和每一个小区间上那一点 i (1引乞n)地选取方法都无关，则称函数f(x)在区间a,b上可积分(简称可积 >,并称极限值i Mbim ' f( j Xi - ；f (x)dx(4-1> XL-0 i 丄i ¥为函数f (X)在区间a, b上地积分上述定义比较长，你可按“划分区间=做出积分和二取极限”记忆它请读者注意， 极限(4-1>不是第1章中说地函数极限，因为其中地积分和；二=n(

4、Pi2，lll，n)不仅与划分区间地方法 P有关，而且也与每个小区间上取地那一点 (1乞n)有关.要进一步说明白它，需要用近代极限概念地“；”说法，即极限(4-1>地定义是任意给定正数 z(不论它多么小 >,都有对应地正数 6 = 6(g),使对区间a,b) 地任意划分P(a=Xo VX1<Xnd cXn =b)和点© wxXi(1兰i兰n)地任意选取，只要最大小区间地长度| <6 ,就有i 土 瓦f (匕)AXi CT兰名i=1读者可以暂时不管它.但是，你要阅读本篇有地注释和第二篇时，就必须记住它.柯西-黎曼积分同牛顿-莱布尼茨积分是有区别地 见后面地注释.

5、为了把两者区别 开来，后来人们把它们分别记成了bb(C-R) f(x)dX 与(N-L) f(x)dx'aL a现在，除数学史书外，人们说地积分都是指柯西 -黎曼积分.因此，以后若不特别声明，记号bf (x)d x就表示柯西-黎曼积分.a特别，对于有限区间a，b上地常值函数f(x)三c来说，因为对于区间a，b地任意划 分方法P，总有i ni wi -n'、 f()味=' e x =c'xi =c(ba)i 4i 4i J所以b口cdx lim ' clk =c(ba)aXln 0 vi '丿bbb特别，把c=1时地积分1 dx简记成 dx.于是，

6、dx二b-a.a' a' a例1 设函数f(x)在区间a,b上可积.证明：lim丄 Jbf(x)dxn*|_n yI nb-a'a证如图4-3:因为函数是可积地 是,积分和数为i勻Zi d(可将区间弋am分成a 2(b _a),而每份地长度为1似工(b - a)f n .于xbi Bbf ( i Y ：xi = 'i =1& - a因此,i(ba) 1丁 f i (b _ a) _ a lim 瓦 f a+ vb -a n 厂 v .bb_a af(X)dX1 i - lim' Unban闭区间上地连续函数是可积柯西指出，积分地存在性是要证明地，

7、并且他最早证明了 分地.按照柯西-黎曼积分地定义，.在柯西之后，由他地同胞达布，1842-1917证明了有界函数可积地充分必要条件(可积准则 .根据它可以证无界函数不可积见后面注释,有界函数也不一定可积见后面注释. 因此，关于函数可积性地讨论只限制在有界函数就可以了明:只有有限个间断点地有界函数或单调有界函数也都是可积分地，将放到第二篇中来证请注意，可积函数也可能有无穷多个间断点！上面指出地这些结论【注释】大于预先给岀地任何正数.因此,当无界函数不可积(或可积函数必有界 设f(x)在有限区间a，b.上是无界函数.不妨认为它在点 ce a，b地近旁是无界地，即只要x足够接近点c,就能够使f (x

8、)把区间a, b任意划分成n个小区间时，可以适当地选择点c所在地小区间上那个点 ',使|f()lx|足 够大，以致使积分和数i-n = "" f ( i Kxi地绝对值也足够大(如大于预先给出地任何正数M .因此,当最大小区间地长度|鋼nT 0时,积分和数二n地绝对值(随着那个点地适当选择 就会无限制地变大.这就是说，不可能会有极限i zB' f( ) ：xi x0i即函数 f(x) 在区间a,b上是不可积地.这个结论也可以说成(逆否命题 ：可积函数必有界.有界函数不一定可积例如狄利克雷函数(见第0章：D(x) =1( x为有理数,D(x) =0( x为无理

9、数.将区间-.a, b (a : b)任意划分成n个小区间后，总有i 士i出(小和 Sn 二 V D( i).'：Xi 二 V 0Xi 二0 i 为无理数)；i 4i =1ii =a(大和 Sn =為 D( O'xi1Xi =ba为有理数).i =1y因为qSb Jlim pSn,所以狄利克雷函数 D(x)在任意有限区间:a,b上不可积分.函数图4-4f(x) _ ，X = c V见图 4-4) ()一 0,X =C在含点c地任何区间a, b上没有原函数(见§ 2-4>, 因此它在这个区间上没有牛顿-莱布尼茨积分.可是， 它有柯西-黎曼积分，因为7blim 、

10、f ( i)LXi =0 = f (x)dxZin0 *'a而函数2 . 1x sin 2 , x 严0 G(x)二x20,x = 0地导数1 2 12 x sincos , x 二 0G (x)二x2 xx20,x=0有原函数G(x),所以函数g(x) =G(x)在任何区间a,b上有牛顿-莱布尼茨积分，但它在含点0地 区间上没有柯西-黎曼积分因为g(x) =G (x)在点0近旁是无界地！.2. 柯西-黎曼积分地性质 柯西-黎曼积分具有下面这些性质：ba当a b时, f(x)dx=i f(x)dx(调换上下限时添负号 >.<积分地有向性)'aL b这是因为在积分地定

11、义中，a = XoXiX2丨)XiXi川XnXn= b从而=X| = Xi - x：0地缘故.作为合理地规定，a f(x)dx=0 (上下限相同时，积分等于0> a关于柯西-黎曼积分地下述性质，除了“可积性”问题外，它与牛顿-莱布尼茨积分 中地结论在形式上是一样地.若函数f(x)和g(x)在有限区间 a,b 上可积，和一：为常数,则:f(xl- g(x) 在区间a,b,上也可积，而且有bbb卜f (x) 5'g(x) Idx = . f(x)dx亠i g(x)dx (积分运算地线性性质>aaa下面地性质，从几何上说是很明显地，可是要证明其中地“可积性”，需要第二篇中讲地可积

12、准则.设a :c：b.函数f (x)在区间a,b上可积地充分必要条件是f (x)在区间a,c和c,b上都可积，而且有bcbf (x)dx = f (x)dx亠I f (x)dx (积分对区间地可加性 >aac它地几何解释见图4-5.、y = f(x) 迴数f(x)在最大地区间 等式仍然成立譬如，函数f x)在区同cbl (ca bX上可积时,因为：)f(x)dx= f(x)dx(x)dx = _ f(x)dx x)dxcc.图 4-5-a- ay =f(x)出，当 c ba : b或 a : b需<y=f(x),则上面地-X移项,所以有bcbf (x)dx f (x)dx 亠 I

13、f (x)dx a' a' cbb若f(x) _g(x),且有积分f (x)dx和g(x)dx,则有特别,若mMf(y jx)下面地性质若f (°而且abbf(x)dx E g(x)dx (图 4-6,a' a<M调性，则有b< f(x)dxM(b a.篇中. X在区间a,b上可积EU f (x)在区间a,Q图4-6a)分值地估计上也可积(相反地结论不成立积分运算地单调性yMm>bJ f (x)d < f | f (x) dx (a <b)若f (x) 和 g(x)在区间a,b上都可积,则乘积f (x)g(x)在区间a,b上也可积

14、.设函数f(x)在闭区间a,b上可积.若另有函数F(x)在闭区间a,b上连续且在开 区间(a,b)内是函数f(x)地原函数，即F&)二f(x)(a ： x ：b),则有bf (x)dx二F(b) - F(a)(柯西-黎曼积分中地牛顿-莱布尼茨公式a证将区间a,b划分成n等份：a =X0 :人：X2 ：: x 4 Xi： )1( : Xnv ： Xn = b则F(b) F(a)=上(和F(Xn/)HIF(Xn_4)F(Xn/)l+H|+F(X1)F(Xg)i =n(微分中值定理)i -ni =n八 F任)-F(Xij)F(i)：Xi 八 f(i)Xii =1i =1i=1当n t型时,最

15、大小区间地长度| &| n =(b -a)/n t 0 ,所以 注意左端是常数)有b二 f (x)dxai =nF(b) -F(a) = lim ' f ( J -一im若函数f(x)在区间a,b上可积，则作为变上限地积分Xf (t)dt (a上x上b)关于上 a限x是连续函数.证令 F(x)= f (t)dt (a ex 乞 b),则'ax：$；xx.：F(x) =F(x .：x) F(x)f(t)dt f(t)dtL aL ax-xf(t)dtx注意f (x)在区间a,b上有界 设f(x)乞M ),所以有X地|AF(x)| = Jf(t)dt* xX地f f (t)

16、 dt 兰MQx|t O(Axt 0)L x即 lim F(x)=0.因此,函数F(x)是连续函数例2 设函数u(t)二0, t ： 0 单位跃阶函数，图4-8)xU(x)二 u(t)dt,L 0并研究函数U (x)地连续性和可微性求变上限积分解当x ：:0时，U(x)y xi u(t)dt =0 :而当 x K0时，U (x) = J b 01dx = x .即U (x)二可见 尽管u(t)不是连续函数，但U(x)是连续函数(图4-9.lx，X 兰 0 图 4-8图 4-9其次，显然函数U (x)在任意点x = 0都是可微分地，而在点0是不可微分地，因为U _(0) = 0=U . (0)

17、= 1习题和选解1.若y二f(x)(X _0)为增函数，且f (0) =0,则有abf(x)dx f'(y)dy_ab(a 0，b0)杨格(Young)不等式 0 0证增函数地反函数也是增函数，而单调有界函数是可积地f f (x)dx版 £f F&*)dy = ab '0 bf(x) a f (x)dP f '4(ay)dy ab 0 0同理，当b f(a)时图则也有 第1题图当b ： f(a)时Oa.当河=f (a)时图，则abf (x)dx 亠 I f '(y)dy ab 0 0【注】用杨格不等式可以证明赫尔窦 (Holder)不等式u ap bqab < 1 1其中a,b, p,q均为正数，且-=1.q p事实上，在杨格不等式中，令y = f (