新课标全国卷2理科数学模拟卷一

1、2019年新课标全国卷2理科数学模拟卷一(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数2+3i3-2i=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M=x|x2-4x<0,N=x142x4,则MN=()A.-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,23.采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落在区间1,400

2、上的人做问卷A,编号落在区间401,750上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+1ln(x2+3)的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.pqB.(􀱑p)(􀱑q)C.(􀱑p)qD.p(􀱑q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离

3、为p,则双曲线C2的离心率等于()A.2B.3C.5D.66.x-1x12的展开式中含x的正整数指数幂的项的个数是()A.1B.2C.3D.47.若数列an是等差数列,则下列结论正确的是()A.若a2+a5>0,则a1+a2>0B.若a1+a3<0,则a1+a2<0C.若0<a1<a2,则a3>a2a4D.若a1<0,则(a2-a1)(a4-a2)>08.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V正四棱锥P-ABCD=163,则球O的表面积是()A.4B.8C.12D.169.已知变量x,

4、y满足线性约束条件3x+y-20,y-x2,y-x-1,若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A.16B.13C.23D.1211.已知M是ABC内一点(不含边界),且AB·AC=23,BAC=30°.若MBC,MCA,MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=1x+4y+9z,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M=(x,y)|

5、y=f(x),若对于任意(x1,y1)M,存在(x2,y2)M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:M=(x,y)y=1x;M=(x,y)|y=sin x+1;M=(x,y)|y=log2x;M=(x,y)|y=ex-2.其中是“商高线”的序号是()A.B.C.D.第卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m值为. 14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为. 15.关于函数f(x)=

6、2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:函数f(x)的最大值为2;把函数f(x)=2sin 2x-1的图象向右平移4个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的图象;函数f(x)的单调递增区间为k+78,k+118,kZ;函数f(x)的图象的对称中心为k2+8,0,kZ.其中正确的结论有个. 16.已知数列an满足a1=12,an-1-an=an-1ann(n+1)(n2),则该数列的通项公式为. 三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,

7、C的对边分别为a,b,c,已知A=3,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=7,求ABC的面积.18.(本小题满分12分)某青少年研究中心为了统计某市青少年(18岁以下)2017年春节所收压岁钱的情况进而研究青少年的消费去向,随机抽查了该市60名青少年所收压岁钱的情况,得到如下数据统计表(图).已知“压岁钱不少于2千元的青少年”与“压岁钱少于2千元的青少年”人数比恰好为23.(1)试确定x,y,p,q的值,并补全频率分布直方图(图);(2)该机构为了进一步了解这60名青少年压岁钱的消费去向,将这60名青少年按“压岁钱不少于2千元”和“压岁钱少于2千元”分为两部分,并且用

8、分层抽样的方法从中抽取10人,若需从这10人中随机抽取3人进行问卷调查.设为抽取的3人中“压岁钱不少于2千元的青少年”的人数,求的分布列和均值;(3)若以频率估计概率,从该市青少年中随机抽取15人进行座谈,若15人中“压岁钱不少于2千元的青少年”的人数为,求的均值.压岁钱/千元频数频率0,0.5)30.050.5,1)xp1,1.5)90.151.5,2)150.252,2.5)180.302.5,3yq合计601.00图图19.(本小题满分12分)在如图所示的多面体中,四边形ABCD是菱形,EDFB,ED平面ABCD,AD=BD=2,BF=2DE=22.(1)求证:AECF;(2)求二面角A

9、-FC-E的余弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点1,32在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过点P作斜率为12的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|PA|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-x3+x2(xR),g(x)满足g'(x)=ax(aR,x>0),且g(e)=a,e为自然对数的底数.(1)已知h(x)=e1-xf(x),求曲线h(x)在点(1,h(1)处的切线方程;(2)若存在x1,e,使得g(x)-x2+(a+2)x成立,求a的取值范围;(3)设函数F(

10、x)=f(x),x<1,g(x),x1,O为坐标原点,若对于y=F(x)在x-1时的图象上的任一点P,在曲线y=F(x)(xR)上总存在一点Q,使得OP·OQ<0,且PQ的中点在y轴上,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:cos2=2asin (a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为x=-4+22t,y=-2+22t(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的

11、直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案1.B解析 (方法一)2+3i3-2i=(2+3i)(3+2i)(3-2i)(3+2i)=13i13=i.(方法二)2+3i3-2i=(2+3i)i(3-2i)i=(2+3i)i2+3i=i.2.A解析 M=x|0<x<4,N=x|-2x2,MN=-2,4).3.A解析 若采用系统抽样

12、的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,所以编号落在区间1,400上的有20人,编号落在区间401,750上的有18人.所以做问卷C的有12人.4.C解析 因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以(􀱑p)q为真命题.5.C解析 因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到该抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为p2,±p.所以双曲线C2的渐近线方程为y=±2x.所以ba=2.所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲

13、线C2的离心率为5.6.B解析 x-1x12的展开式中第r+1项为C12r(x)12-r·-1xr=(-1)rC12rx6-3r2.当6-3r2为正整数时,可知r=0或r=2,故x-1x12的展开式中含x的正整数指数幂的项的个数是2.7.C解析 设等差数列an的公差为d,若a2+a5>0,则a1+a2=(a2-d)+(a5-3d)=(a2+a5)-4d.由于d的正负不确定,因而a1+a2的符号不确定,故选项A错误.若a1+a3<0,则a1+a2=(a1+a3)-d.由于d的正负不确定,因而a1+a2的符号不确定,故选项B错误.若0<a1<a2,则d>0.

14、所以a3>0,a4>0.所以a32-a2a4=(a1+2d)2-(a1+d)(a1+3d)=d2>0.所以a3>a2a4.故选项C正确.由于(a2-a1)(a4-a2)=d(2d)=2d2,而d有可能等于0,故选项D错误.8.D解析 连接PO,由题意知,PO底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=163,所以13·2R2·R=163,解得R=2.所以球O的表面积是16.9.D解析 如图,作出题中不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部

15、分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k满足-3<k<1.10.D解析 由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=6,PB=a,BC=b.可知PA2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab8+2a+b22,即a+b4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时PA=3,AC=3.所以该几何体的体积V=13×12×1×3×3=12.11.C解析 由AB·AC=23,BAC=30°,可得SABC=1,即x+y+z=1.故1

16、x+4y+9z=1x+4y+9z(x+y+z)=1+4+9+yx+zx+4xy+4zy+9xz+9yz14+4+6+12=36,当且仅当x=16,y=13,z=12时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析 若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OMON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于,若取M(1,0),则不存在这样的点.都符合.故选D.13.0解析 若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m值为0.14.-4解析 因为f(x

17、)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(3log35-1)=-4.15.2解析 因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=2sin2x-4-1,所以其最大值为2-1.所以错误.因为函数f(x)=2sin 2x-1的图象向右平移4个单位后得到函数f(x)=2sin2x-4-1=2sin2x-2-1的图象,所以错误.由-2+2k2x-42+2k,kZ,得函数f(x)的单调递增区间为-8+k,38+k,kZ,即为78+k',118+k',k'Z.故正确

18、.由2x-4=k,kZ,得x=8+k2,kZ,故正确.16.an=2n+25n+3解析 因为an-1-an=an-1ann(n+1)(n2),所以an-1-anan-1an=1n(n+1).所以1an-1an-1=1n-1n+1.所以1a2-1a1=12-13,1a3-1a2=13-14,1a4-1a3=14-15,1an-1an-1=1n-1n+1.所以1an-1a1=12-1n+1.所以1an=52-1n+1.所以an=2n+25n+3(n2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以an=2n+25n+3.17.解 (1)A=3,B+C=23.sin23-C=3sin C.32cos C+1

19、2sin C=3sin C.32cos C=52sin C.tan C=35.(2)由bsinB=csinC,sin B=3sin C,得b=3c.在ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=9c2+c2-2×(3c)×c×12=7c2.a=7,c=1,b=3.ABC的面积为S=12bcsin A=334.18.解 (1)根据题意,有3+x+9+15+18+y=60,18+y3+x+9+15=23,解得x=9,y=6.故p=0.15,q=0.10.补全的频率分布直方图如图所示.(2)用分层抽样的方法从中抽取10人,则其中“压岁钱不少于2千元的青少年

20、”有10×25=4人,“压岁钱少于2千元的青少年”有10×35=6人.故的可能取值为0,1,2,3,且P(=0)=C40C63C103=16,P(=1)=C41C62C103=12,P(=2)=C42C61C103=310,P(=3)=C43C60C103=130,所以的分布列为0123P1612310130所以E()=0×16+1×12+2×310+3×130=65.(3)以频率估计概率,从该市青少年中随机抽取1人为“压岁钱不少于2千元的青少年”的概率是2460=25,则B15,25,故随机变量的均值为E()=15×25=

21、6.19.(1)证明 (方法一)由题意知,在AEF中,AE=6,EF=6,AF=23.AE2+EF2=AF2,AEEF.在AEC中,AE=6,EC=6,AC=23.AE2+EC2=AC2,AEEC.又EFEC=E,AE平面ECF.又FC平面ECF,AEFC.(方法二)四边形ABCD是菱形,AD=BD=2,ACBD,AC=23.故可以O为坐标原点,以OA,OB所在直线为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系.由ED平面ABCD,EDFB,BD=2,BF=22,DE=2,可知A(3,0,0),E(0,-1,2),C(-3,0,0),F(0,1,22).AE=(-3,-1,2),CF=(3,1,22

22、).AE·CF=(-3,-1,2)·(3,1,22)=-3-1+4=0.AECF.(2)解 由(1)中方法二可知A(3,0,0),E(0,-1,2),C(-3,0,0),F(0,1,22),则AF=(-3,1,22),AC=(-23,0,0),EF=(0,2,2),EC=(-3,1,-2).设平面AFC的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),由AF·n1=0,AC·n1=0,得-3x1+y1+22z1=0,且-23x1=0.令z1=1,得n1=(0,-22,1).设平面EFC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),由EF·n2=0,EC&#

23、183;n2=0,得2y2+2z2=0,且-3x2+y2-2z2=0.令y2=-1,得n2=(-3,-1,2).设二面角A-FC-E的大小为,则cos =n1·n2|n1|n2|=0+22+23×6=33.20.(1)解 因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为x24+y2b2=1.将点1,32代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为x24+y2=1.(2)证明 设点P(m,0)(-2m2),可得直线l的方程是y=x-m2,由方程组y=12(x-m),x24+y2=1,消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x

24、1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=m2-42.所以|PA|2+|PB|2=(x1-m)2+y12+(x2-m)2+y22=(x1-m)2+14(x1-m)2+(x2-m)2+14(x2-m)2=54(x1-m)2+(x2-m)2=54x12+x22-2m(x1+x2)+2m2=54(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2=54m2-2m2-(m2-4)+2m2=5.所以|PA|2+|PB|2为定值.21.解 (1)h(x)=(-x3+x2)e1-x,h'(x)=(x3-4x2+2x)e1-x.h(1)=0,h'(1)=-1.曲线h(x)

25、在点(1,h(1)处的切线方程为y=-(x-1),即y=-x+1.(2)g'(x)=ax(aR,x>0),g(x)=aln x+c(c为常数).g(e)=aln e+c=a+c=a.c=0.g(x)=aln x.由g(x)-x2+(a+2)x,得(x-ln x)ax2-2x.当x1,e时,ln x1x,且等号不能同时成立,ln x<x,即x-ln x>0.ax2-2xx-lnx.ax2-2xx-lnxmax.设t(x)=x2-2xx-lnx,x1,e,则t'(x)=(x-1)(x+2-2lnx)(x-lnx)2.x1,e,x-10,ln x1,x+2-2ln x>0.t'(x)0.t(x)在1,e上为增函数.t(x)max=t(e)=e2-2ee-1.ae2-2ee-1.(3)设P(t,F(t)为y=F(x)在x-1时的图象上的任意一点,则t-1.PQ的中点在y轴上,点Q的坐标为(-t,F(-t).t-1,-t1.P(t,-t3+t2),Q(-t,aln(-t).OP·OQ=-t2-at2(t-1)ln(