第10章结构动力计算基础

1、基本要求：熟练掌握单自由度体系自由振动的计算基本要求：熟练掌握单自由度体系自由振动的计算( (微分方程的微分方程的 建立建立、求解、自振周期和自振频率的计算）、求解、自振周期和自振频率的计算）； 了解单自由度体系强迫振动的计算；了解单自由度体系强迫振动的计算； 了解两个自由度体系自由振动的计算。了解两个自由度体系自由振动的计算。教学内容：教学内容：动力计算的特点和动力自由度动力计算的特点和动力自由度单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动 单自由度体系的强迫振动单自由度体系的强迫振动 两个自由度体系的自由振动两个自由度体系的自由振动 第第10章章 结构动力计算基础结构动力计算基础1.1.动

2、力荷载与静力荷载动力荷载与静力荷载静力荷载静力荷载是指大小、方向和作用位置是指大小、方向和作用位置不随时间不随时间变化或变化变化或变化很小的荷载。这类荷载对结构产生的很小的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力较小惯性力较小因而可以忽略不计因而可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都，由它所引起的内力和变形都是确定的。是确定的。动力荷载动力荷载是指其大小、方向和作用位置是指其大小、方向和作用位置随时间随时间而变化的荷而变化的荷载。这类荷载对结构产生的载。这类荷载对结构产生的惯性力较大因而不能惯性力较大因而不能忽略忽略，由它所引起的内力和变形都是，由它所引起的内力和变形都是坐标和时间坐标和时间的函数的函

3、数。10.1 动力计算的特点和动力自由度动力计算的特点和动力自由度一、动力荷载的概念及分类一、动力荷载的概念及分类区别：区别：静力荷载只与静力荷载只与作用位置有关作用位置有关，而动力荷载的变化，而动力荷载的变化是坐标和时间的是坐标和时间的 函数函数。 （1 1）周期荷载周期荷载随时间作周期性变化随时间作周期性变化2.2.动力荷载的分类动力荷载的分类确定性确定性非确定性（随机荷载）非确定性（随机荷载）周期荷载周期荷载非周期荷载非周期荷载P(t )t简谐荷载（按正余弦规律变化）简谐荷载（按正余弦规律变化）Pt一般周期荷载一般周期荷载简谐荷载：最简单的周期荷载，随时间按简谐荷载：最简单的周期荷载，随

4、时间按正弦或余弦正弦或余弦规律变化。如规律变化。如 机器转动时转子做匀速转动时就会产生这种荷载。机器转动时转子做匀速转动时就会产生这种荷载。非简谐荷载非简谐荷载：按其它规律周期性变化的荷载。如平稳情况下波浪对按其它规律周期性变化的荷载。如平稳情况下波浪对 堤坝的动水压力；轮船螺旋桨产生的推力等。堤坝的动水压力；轮船螺旋桨产生的推力等。突加荷载突加荷载：突然施加在结构上并保持不变的荷载，如施工中吊起重物的突然施加在结构上并保持不变的荷载，如施工中吊起重物的 卷扬机突然开动时施加于钢丝绳上的荷载。卷扬机突然开动时施加于钢丝绳上的荷载。冲击荷载：短时间内剧增或剧减冲击荷载：短时间内剧增或剧减P(t)

5、ttrPtrP(t)tPP(t)tP突加荷载突加荷载（2）非周期荷载）非周期荷载冲击荷载：在很短时间内，荷载值急剧增大或减小，如各种爆炸荷载、冲击荷载：在很短时间内，荷载值急剧增大或减小，如各种爆炸荷载、 打桩机的锤头对桩柱的冲击等。打桩机的锤头对桩柱的冲击等。（3 3）随机荷载随机荷载荷载有很大的随意性，任一时刻的数值无法确定，荷载有很大的随意性，任一时刻的数值无法确定， 如地震荷载、风荷载、海浪对堤岸、码头的冲击等。如地震荷载、风荷载、海浪对堤岸、码头的冲击等。 1.1.地震作用下建筑结构的震动；地震作用下建筑结构的震动；二、常见的动力问题二、常见的动力问题2.2.风荷载作用下大型桥梁、高

6、层结构的振动；风荷载作用下大型桥梁、高层结构的振动；3.3.机器转动产生的不平衡力引起的大型机器基础的振动；机器转动产生的不平衡力引起的大型机器基础的振动；4.4.车辆运行中由于路面不平顺引起的车辆振动及车辆引车辆运行中由于路面不平顺引起的车辆振动及车辆引 起的路面振动；起的路面振动；5.5.爆炸荷载作用下防护工事的冲击动力反应；爆炸荷载作用下防护工事的冲击动力反应；6.6.海洋工程结构在波浪、冰凌、台风等动力荷载作用下的海洋工程结构在波浪、冰凌、台风等动力荷载作用下的 反应等等，量大而面广。反应等等，量大而面广。三、结构动力计算的特点三、结构动力计算的特点1.1.结构动力学的主要特征结构动力

7、学的主要特征 由于荷载随时间变化较快，所产生的惯性力不容忽视。因此，由于荷载随时间变化较快，所产生的惯性力不容忽视。因此，考虑考虑惯性力的影响惯性力的影响是结构动力学的最主要特征。是结构动力学的最主要特征。 达朗伯原理达朗伯原理：在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的所有的主动：在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的所有的主动力、约束反力与虚加在质点上的惯性力在形式上构成一平衡力系力、约束反力与虚加在质点上的惯性力在形式上构成一平衡力系（即主动力、约束反力和质点的惯性力的矢量和等于零）。（即主动力、约束反力和质点的惯性力的矢量和等于零）。动静法动静法：根据达朗伯原理，动力计算问题可以转化为：根据达

8、朗伯原理，动力计算问题可以转化为静力平衡问题静力平衡问题来求解，这种方法称为动静法。来求解，这种方法称为动静法。2.2.结构动力计算的原理和方法结构动力计算的原理和方法静力计算静力计算静力平衡方程静力平衡方程荷载、约束力、内荷载、约束力、内力、位移是不随时力、位移是不随时间变化的常量间变化的常量动力计算动力计算动力平衡方程动力平衡方程荷载、约束力、内荷载、约束力、内力、位移是随时间力、位移是随时间变化的函数变化的函数引进惯性力（达朗伯原理）引进惯性力（达朗伯原理）瞬时的静力平衡问题瞬时的静力平衡问题3.3.静力计算与动力计算的区别静力计算与动力计算的区别动力平衡动力平衡的特点的特点：与静力平衡

9、不同，动力平衡只是形式上的平衡，：与静力平衡不同，动力平衡只是形式上的平衡， 是在引进是在引进惯性力惯性力条件下的平衡条件下的平衡。（1）在所考虑的力系中要包括惯性力；）在所考虑的力系中要包括惯性力；（2）所谓的平衡是瞬间的平衡，荷载、内力、位移、速度、加速所谓的平衡是瞬间的平衡，荷载、内力、位移、速度、加速 度等都是时间的函数。度等都是时间的函数。惯性力惯性力：当质点受力作用而改变其原来的运动状态时，由于质点的：当质点受力作用而改变其原来的运动状态时，由于质点的惯性产生对外界反抗的反作用力称为质点的惯性力。惯性产生对外界反抗的反作用力称为质点的惯性力。惯性力的方向惯性力的方向与加速度方向相反

10、，大小等于质点的质量与加速度的乘积。与加速度方向相反，大小等于质点的质量与加速度的乘积。amFG 即注意：注意：质点的惯性力并不是质点本身受到的力，而是质点作用于施质点的惯性力并不是质点本身受到的力，而是质点作用于施 力物体上的力。力物体上的力。)(tP)(ty )()(tPtym )(tP)()(tymtP 0)()(tymtP )(tP)(tym amF 在动荷载作用下，结构的动力反应（动内力、动位移等）都在动荷载作用下，结构的动力反应（动内力、动位移等）都随时间变化，它除与随时间变化，它除与动力荷载动力荷载的变化规律有关外，还与结构的的变化规律有关外，还与结构的固固有特性有特性（自振频率

11、、振型和阻尼）有关。（自振频率、振型和阻尼）有关。 不同的结构，如果它们具有相同的阻尼、频率和振型，则在不同的结构，如果它们具有相同的阻尼、频率和振型，则在相同的荷载下具有相同的反应。可见，结构的固有特性能确定动相同的荷载下具有相同的反应。可见，结构的固有特性能确定动力荷载下的反应，故称之为力荷载下的反应，故称之为结构的动力特性结构的动力特性。4 4动力反应的特点动力反应的特点5 5结构动力计算的目的结构动力计算的目的 研究结构在动荷载作用下的反应规律，找出动荷载作用下结构研究结构在动荷载作用下的反应规律，找出动荷载作用下结构的的最大动内力最大动内力和和最大动位移最大动位移，为结构的动力可靠性

12、设计提供依据。，为结构的动力可靠性设计提供依据。 1940 1940年美国西海岸华盛顿州建成了一座当时位居世界第三的年美国西海岸华盛顿州建成了一座当时位居世界第三的TacomaTacoma大桥，大桥中央跨距为大桥，大桥中央跨距为853853米，为悬索桥结构，设计可以抗米，为悬索桥结构，设计可以抗6060米米/ /秒的大风，但不幸的是大桥刚建成四个月就在秒的大风，但不幸的是大桥刚建成四个月就在1919米米/ /秒的小风秒的小风吹拂下整体塌毁。其根本原因在于风旋涡脱落的频率与悬索桥板的吹拂下整体塌毁。其根本原因在于风旋涡脱落的频率与悬索桥板的固有频率一致，从而产生了强烈的固有频率一致，从而产生了强

13、烈的共振共振。因此尽管桥塌毁的这天风。因此尽管桥塌毁的这天风并不是很大，但却吹垮了整座大桥。并不是很大，但却吹垮了整座大桥。 强迫振动强迫振动：结构在动荷载作用下产生的振动。研究结构的强迫振结构在动荷载作用下产生的振动。研究结构的强迫振 动，可得到结构的动力反应。动，可得到结构的动力反应。 四、自由振动和强迫振动四、自由振动和强迫振动自由振动自由振动：结构在没有动荷载作用时，由初速度、初位移所引起的结构在没有动荷载作用时，由初速度、初位移所引起的 振动。研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、振动。研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、 振型和阻尼参数。振型和阻尼参数。五、动力计算中体系

14、的自由度五、动力计算中体系的自由度1.1.动力自由度的定义动力自由度的定义确定体系运动过程中任一时刻确定体系运动过程中任一时刻全部质量全部质量位置所需的位置所需的独立几何参数独立几何参数数目数目，称为体系的动力自由度。，称为体系的动力自由度。 动力问题的基本特征是需要考虑惯性力，根据达朗伯原理，惯性力与动力问题的基本特征是需要考虑惯性力，根据达朗伯原理，惯性力与质量和加速度有关，这就要求分析质量分布和质量位移，所以，动力质量和加速度有关，这就要求分析质量分布和质量位移，所以，动力学一般将学一般将质量位移作为基本未知量质量位移作为基本未知量。2.2.动力自由度简化方法动力自由度简化方法 严格意义

15、上讲，实际结构都是具有分布质量的弹性体，是无限自由度严格意义上讲，实际结构都是具有分布质量的弹性体，是无限自由度体系。体系。 实际结构动力自由度简化方法有：实际结构动力自由度简化方法有：应用中存在的问题：应用中存在的问题：（1 1）计算复杂，有时甚至无法求解；）计算复杂，有时甚至无法求解； （2 2）从工程角度没有必要。）从工程角度没有必要。故，故，为计算方便，实际结构通常简化为有限自由度为计算方便，实际结构通常简化为有限自由度体系。体系。 集中质量法集中质量法 广义坐标法广义坐标法 有限单元法有限单元法 根据自由度的数目，结构可分为单自由度体系，多自由度体系根据自由度的数目，结构可分为单自由

16、度体系，多自由度体系和无限自由度体系。和无限自由度体系。 将连续分布的结构质量按一定的力学原则集中到若干几将连续分布的结构质量按一定的力学原则集中到若干几何点上，使结构只在这些点上有质量何点上，使结构只在这些点上有质量，除这些点之外物体是无除这些点之外物体是无质量的质量的从而把一个无限自由度问题简化为有限自由度问题。从而把一个无限自由度问题简化为有限自由度问题。 （1 1）集中质量法）集中质量法m本章主要讨论集中质量法。本章主要讨论集中质量法。 （2 2）广义坐标法广义坐标法 m)(xy1)()(iiixaxyniiixaxy1)()(ia0)()0(lii)(xi满足位移边界条件的形状函数满

17、足位移边界条件的形状函数 （3 3）有限元法）有限元法 综合了集中质量法和广义坐标法的综合了集中质量法和广义坐标法的特点特点,将实际结构离散为有限个单元的集将实际结构离散为有限个单元的集合，以合，以结点位移结点位移作为广义坐标，将无限作为广义坐标，将无限自由度问题化为有限自由度问题。自由度问题化为有限自由度问题。m广义坐标个数即广义坐标个数即为自由度个数为自由度个数结点位移个数即结点位移个数即为自由度个数为自由度个数mm梁梁my(t)1 1个质点个质点1 1个自由度个自由度厂房排架水平振动厂房排架水平振动时的计算简图时的计算简图EIEI2EImy(t)1个质点个质点1个自由度个自由度2个质点个

18、质点2个自由度个自由度1个质点个质点2个自由度个自由度说明：说明：自由度数目与质点数目不一定相等。自由度数目与质点数目不一定相等。总结：总结：动力计算中的自由度数目动力计算中的自由度数目与结构中质点的数目和结构的几与结构中质点的数目和结构的几何组成无关。何组成无关。)(xmy(x,t)x无限自由度体系无限自由度体系y1y23. 3. 自由度的确定自由度的确定 1) 1) 平面上的一个质点平面上的一个质点1y2y弹性支座不减少动力自由度弹性支座不减少动力自由度计轴变时计轴变时不计轴变时不计轴变时为减少动力自由度，梁与刚架不为减少动力自由度，梁与刚架不计轴向变形。计轴向变形。1yEI自由度数与质点

19、个数无关，但自由度数与质点个数无关，但不大于质点个数的不大于质点个数的2 2倍。倍。1y2y1y2yEImEI结论：结论： 结构动力自由度数目与质点的个数无关结构动力自由度数目与质点的个数无关 结构动力自由度数目与超静定次数无关结构动力自由度数目与超静定次数无关考虑轴向变形后各计算简图的动力自由度数是多少？考虑轴向变形后各计算简图的动力自由度数是多少？思考：思考： 自由振动的概念：自由振动的概念：体系在振动过程中没有动荷载的作用。体系在振动过程中没有动荷载的作用。自由振动产生原因：自由振动产生原因：体系在初始时刻（体系在初始时刻（t=t=0 0）受到外界的干扰，由受到外界的干扰，由初位移初位移

20、或或初速度初速度引起。引起。1 1）很多实际的动力问题都可按单自由度体系进行动力分析或进行）很多实际的动力问题都可按单自由度体系进行动力分析或进行 初步估算。初步估算。hy(t)10.2 单自由度体系的自由振动（不计阻尼）单自由度体系的自由振动（不计阻尼） 单自由度体系的自由振动分析的必要单自由度体系的自由振动分析的必要性：性： 2 2）单自由度体系自由振动的分析是单自由度体系受迫振动和多）单自由度体系自由振动的分析是单自由度体系受迫振动和多自自 由度振动分析的基础。由度振动分析的基础。 要掌握单自由度体系的动力反要掌握单自由度体系的动力反应的规律，必须首先建立其运动方应的规律，必须首先建立其

21、运动方程。下面介绍建立在程。下面介绍建立在达朗伯原理基达朗伯原理基础上的础上的“动静法动静法”。 分析自由振动的目的分析自由振动的目的：确定结构的动力确定结构的动力特性（自振频率特性（自振频率、自振周期）。自振周期）。 一、自由振动微分方程的建立一、自由振动微分方程的建立 单自由度体系的自由振动及相应的弹单自由度体系的自由振动及相应的弹簧簧- -质量模型如图示。以静平衡位置为坐标质量模型如图示。以静平衡位置为坐标原点，在原点，在t 时刻，质量时刻，质量m的位移为的位移为 y(t)。1.刚度法建立平衡方程：刚度法建立平衡方程：（以质点为研究对象）（以质点为研究对象） 取质量取质量m为隔离体，作用

22、在隔离体上的力：为隔离体，作用在隔离体上的力：惯性力惯性力)(tym 与加速度与加速度 y 方向相反。方向相反。 动平衡方程：动平衡方程： 0)()(tkytym 弹性力弹性力- -ky(t)与位移方向相反；与位移方向相反；（10-1）y(t)mk(a)my(t)mky(t)( )my t(b)(c)2.柔度法建立位移方程：柔度法建立位移方程：（以结构整体为研究对象）（以结构整体为研究对象）质量质量m在在t 时刻的位移时刻的位移y(t)是由此时作用在质量上的惯性力产生的，是由此时作用在质量上的惯性力产生的，位移方程为：位移方程为：)()(tymty 0)(1)(tytym (a) 单自由度体系

23、：单自由度体系： 1k (b) 式（式（10101 1）或（）或（a a）称为单自由度体系自由振动运动方程（微分方程）。）称为单自由度体系自由振动运动方程（微分方程）。y(t)mk( )my t =mk1( )my t 将（将（b b）代入（）代入（a a）整理后，即为（）整理后，即为（10-110-1）式。）式。对单自由度体系来说：对单自由度体系来说：上式可用功的互等定理加以证明：上式可用功的互等定理加以证明：mk1mkk1根据功的互等定理，有：根据功的互等定理，有：1 1 k 1 k 1k二、自由振动微分方程的解二、自由振动微分方程的解 单自由度体系自由振动微分方程写为：单自由度体系自由振

24、动微分方程写为： 02yy （102）式中式中： mmk12其通解为：其通解为： tCtCty cossin)(21当初始条件当初始条件 0)0(yy0)0(vy二阶齐次线性常微分方程二阶齐次线性常微分方程02yC 01vC 式（式（103）还可写成）还可写成：)sin()(taty（104）式中：式中： 22020vya001tanvy（105） 不计阻尼时，单自由度体系的自由振动是由不计阻尼时，单自由度体系的自由振动是由初位移初位移和和初速度初速度引引起的简谐振动。起的简谐振动。 tytvty cossin)(00方程的解：方程的解： （103）三、结构的自振周期和自振频率三、结构的自振周

25、期和自振频率 )2()2(sin)2sin()sin()(tytatataty由式（由式（10104 4）：y(t)是周期函数是周期函数 2T自振周期（固有周期）自振周期（固有周期）T 2自振频率（固有频率）自振频率（固有频率） 1. 1. 结构自振周期结构自振周期 和自振频率和自振频率 的各种等价计算公式的各种等价计算公式 ggWmkmTst 2222stgWgmmk1111111 理解这些公式各符号的含义，由其中一个公式便可得到其他公式。理解这些公式各符号的含义，由其中一个公式便可得到其他公式。T 自振频率和周期的计算方法自振频率和周期的计算方法：(1)(1)利用计算公式利用计算公式111

26、121mmk11,WmgWststg2(2)(2)利用机械能守恒利用机械能守恒（能量法）（能量法）)(cos21)(21)(2222tmatymtT质点动能)(sin21)(21)(2211211taktyktU变形能222maxmax2121kamaUT2. 2. 结构自振周期结构自振周期T（或自振频率（或自振频率）的性质）的性质 （1）自振周期只与结构的质量和刚度有关，与外部干扰因素无关，自振周期只与结构的质量和刚度有关，与外部干扰因素无关， 它是结构本身固有的特性；干扰力的大小只能影响振幅。它是结构本身固有的特性；干扰力的大小只能影响振幅。（2 2）自振周期与质量的平方根成正比，与刚度的

27、平方根成反比，改自振周期与质量的平方根成正比，与刚度的平方根成反比，改 变结构的质量或刚度可改变其自振周期。变结构的质量或刚度可改变其自振周期。（3 3）自振周期是结构动力性能的一个很重要的数量标志。不管实自振周期是结构动力性能的一个很重要的数量标志。不管实际际 结构是否相同，若自振周期相同，结构的动力反应也相同。结构是否相同，若自振周期相同，结构的动力反应也相同。3. 3. 简谐自由振动的特性简谐自由振动的特性 位移位移： )sin()(taty加速度加速度： )sin()(2taty 惯性力惯性力： )sin()(2tmatymFI 位移与惯性力作位移与惯性力作同频同步同频同步振动。振动。

28、 111kEIl)(ty2maaa位移幅值（最大值）位移幅值（最大值）ma2惯性力最大值惯性力最大值4. 4. 算例算例 例例1.1.求图示体系的自振频率和自振周期。求图示体系的自振频率和自振周期。 mmEIEIEILL解解：1LLM1图 图示结构体系虽有两个质量，但它们沿同一直线（水平方向）图示结构体系虽有两个质量，但它们沿同一直线（水平方向）运动，故仍为单自由度体系。如图（运动，故仍为单自由度体系。如图（b b）示，作）示，作 图图 1M柔度系数柔度系数 EIl323自振频率自振频率 334332211mlEIEIlmm 自振周期自振周期 EImlT34223 例例2 2图示排架的横梁为刚

29、性杆，质量为图示排架的横梁为刚性杆，质量为m，柱质量不计，柱质量不计, ,求其自振求其自振 频率。频率。 mhEIEIk13EI/h23EI/h2M1图k13EI/h33EI/h3解解：不考虑轴向变形，故为一单自由度体系。作不考虑轴向变形，故为一单自由度体系。作 图，求出刚度系数图，求出刚度系数1M36hEIk 自振频率自振频率 36mhEImk 例例3 3求图示体系的自振频率。求图示体系的自振频率。 EI2mmABCkl/2l/2l/4解：（解：（1 1）求各质点处的惯性力幅值，作体系的受力图）求各质点处的惯性力幅值，作体系的受力图A2ml/22Bk5ml2/4Ckl 设该体系转动时，转角的

30、幅值为设该体系转动时，转角的幅值为 。当位移达到幅值时，质量。当位移达到幅值时，质量 2m 和和m上的惯性力也同时达到幅值。上的惯性力也同时达到幅值。 （2 2）在幅值处列出动平衡方程，求体系自振频率）在幅值处列出动平衡方程，求体系自振频率 0AM 0454522222 lklllmllm 由此求得由此求得 mk3316 惯性力惯性力： )sin()(2tmatymFI 在质点在质点2m处最大处最大惯性力惯性力： 2222lmmaFI在质点在质点m处最大处最大惯性力惯性力： 2245lmmaFI例例4.4.求图示体系的自振频率和周期求图示体系的自振频率和周期. . 222222222max29

31、)2(21)(21)2(21mllmlmlmT解解: :mk95lmEImlllkk)(t1.1.能量法能量法2222max25)2(21)(21kllklkUmaxmaxUT2.2.列幅值方程列幅值方程22lm 22lm 2mllklk2A 0AM0222222222lkllmllmllkllml059222klmlmk95例例5.5.求图示体系的自振频率和周期。求图示体系的自振频率和周期。3117121mlEIm)221213221(111lllllllllEIEImlT127223EIlEIl=111=1ll/2l解解: :EIl312723lEI例例6.6.质点重质点重W，求体系的频率

32、和周期求体系的频率和周期. .3113lEIkk解解: :EIkl11k111kk33lEIgWm/gWlEIk3310.3 单自由度体系的强迫振动（不计阻尼）单自由度体系的强迫振动（不计阻尼） 强迫振动强迫振动结构在动力荷载作用下的振动，也叫结构在动力荷载作用下的振动，也叫受迫振动受迫振动。一一. .强迫振动的运动微分方程强迫振动的运动微分方程 tFtkytymP)()( EIl)(tyP(t)运动方程运动方程或或 mtFtytyP)()(2 y(t)ymFP(t)kymyFP(t)（1 10 01111） 式中式中 km结构的自振频率结构的自振频率 式（式（1 10 011)11)为单自由

33、度体系强迫振动的运动为单自由度体系强迫振动的运动方程。方程。 单自由度体系在动荷载下的振动及相应单自由度体系在动荷载下的振动及相应的振动模型如图示的振动模型如图示: : EIl)(tyP( (t) )tPtPsin)(P 荷载幅值荷载幅值荷载频率荷载频率运动方程运动方程)()()(*tytyty先求方程特解先求方程特解： tmPtytysin)()(2 tAtysin)(*222221)(mPmPA二、简谐荷载作用下的受迫振动二、简谐荷载作用下的受迫振动1.1.运动方程的建立及求解运动方程的建立及求解齐次解：齐次解： tCtCtycossin)(21tytCtCtystsin)1 (1coss

34、in)(2221222221)(mPmPA通解为：通解为： PmPyst2荷载幅值作为静荷载所引起的荷载幅值作为静荷载所引起的最大静位移最大静位移tytAtystsin11sin)(22*积分常数积分常数 由初始条件确定，设在由初始条件确定，设在t = 0时的初位移和初速度时的初位移和初速度均为零，则得均为零，则得12,CC运动方程的解为：运动方程的解为：0,12221CyCstttytystsinsin)1 (1)(22（1012） 式（式（1 10-120-12）中第一项为动荷载引起的振动）中第一项为动荷载引起的振动; ;第二项为初始条件引起第二项为初始条件引起的自由振动。实际上，由于阻尼

35、的存在，自由振动部分都很快衰减掉。的自由振动。实际上，由于阻尼的存在，自由振动部分都很快衰减掉。自由振动消失前的振动阶段称为自由振动消失前的振动阶段称为过渡阶段过渡阶段。后来只按荷载频率进行的振。后来只按荷载频率进行的振动阶段为振动的动阶段为振动的平稳阶段平稳阶段，称为，称为纯受迫振动纯受迫振动或或稳态振动稳态振动。 2 2. .稳态振动分析稳态振动分析 稳态振动阶段运动方程的解稳态振动阶段运动方程的解：tytystsin)1 (1)(22 ststyyty)1 (122max最大动位移最大动位移： )1 (122maxstyty动力系数动力系数：（1013） （1 1）动位移的讨论）动位移的

36、讨论动力系数动力系数 是是频率比频率比 的函数的函数, ,它反映了干扰力与动位移之间的关系。它反映了干扰力与动位移之间的关系。 3211230共振区当当 时，时， 10即动位移与干扰力指向一致；即动位移与干扰力指向一致；当当 时，时， 10即动位移与干扰力指向相反。即动位移与干扰力指向相反。1 1） 01干扰力产生的动力作用不明显，因此可当作静荷载处理。干扰力产生的动力作用不明显，因此可当作静荷载处理。当当 时，时， 为增函数。为增函数。 01 01极限情况，即极限情况，即 或或 ，则，则 。意味着结构为刚体。意味着结构为刚体或荷载不随时间变化，因此不存在振动问题。或荷载不随时间变化，因此不存

37、在振动问题。 2 2） 1共振共振为避开共振，可改变干扰力频率或改变结构的自振频率为避开共振，可改变干扰力频率或改变结构的自振频率, , 使使 或或 。 1.250.75体系处于静止状态体系处于静止状态 10max0y3 3）为减函数为减函数通过改变频比可增加或减小振幅。通过改变频比可增加或减小振幅。01应使频率比减小，增加结构的自振频率，增大刚度，应使频率比减小，增加结构的自振频率，增大刚度，减小质量；减小质量；（2 2）降低振幅的措施：）降低振幅的措施： 频率比频率比2km应使频率比增大，减小结构的自振频率，减小刚度，应使频率比增大，减小结构的自振频率，减小刚度，增大质量。增大质量。 1

38、)1 (122maxstyty3.3.动位移幅值（振幅）和动内力幅值的计算动位移幅值（振幅）和动内力幅值的计算（1 1）计算动力系数；）计算动力系数；（2 2）计算动荷载幅值作为静荷载作用时引起的位移和内力；）计算动荷载幅值作为静荷载作用时引起的位移和内力；（3 3）将位移和内力分别乘以动力系数得动位移幅值和动内力幅值。）将位移和内力分别乘以动力系数得动位移幅值和动内力幅值。 计算步骤：计算步骤：例例1.1.求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知5 . 0tPsin1EIEIEIPPl/4解：解： 31124lEIkEIPlkPyst2431134/1122 EI

39、Plytyst3max181Pl/3动弯矩幅值图动弯矩幅值图tytystsin)1 (1)(22 ststyyty)1 (122max)1 (122kPPmPyst2例例2.2.求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移。求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移。，min/5001035210108.8445rnkNPkNQGPaEmIml解：解： 1113 .62/1SgmQm10722.0311Pyst4 .3/1122 m1045.23maxstytytPsinQ/2/2重力引起的弯矩重力引起的弯矩mkN3541QlMQ重力引起的位移重力引起的位移m1053. 2311QQ111/4m/N10722.

40、0487311EIlkN.m1041PlMst1 -S3 .526022nT最大动位移最大动位移最大动弯矩最大动弯矩kN.m34stDMM跨中最大弯矩跨中最大弯矩kN.m69maxDQMMM跨中最大位移跨中最大位移 m1098.43maxmaxtyQ4.4.动荷载不作用于质点时的计算动荷载不作用于质点时的计算tPsin)(ty)(sin)(1112ymtPty )(tym tPsin12=111=1tPtytymsin)(1)(111211 PP1112*令令tPtytymsin)(1)(*11 styP运动方程运动方程tmPtytystsinsin)(2*稳态解稳态解（2 2）列幅值方程求最

41、大动内力列幅值方程求最大动内力（动内力幅值动内力幅值）tAtysin)(tAtysin)(2 tmAtIsin)(2tPtPsin)(同频同步变化同频同步变化 styPPPmPtyA1211111211*2*max仍是位移动力系数仍是位移动力系数是内力动力系数吗是内力动力系数吗? ?（1 1）求振幅）求振幅最大动位移（动位移幅值最大动位移（动位移幅值A）tmPtysin)(2* 根据稳态振动的振幅，算出惯性力。然后，根据稳态振动的振幅，算出惯性力。然后，将惯性力幅值和干扰将惯性力幅值和干扰力幅值同时作用在体系上，按静力学计算方法便可求得动内力幅值力幅值同时作用在体系上，按静力学计算方法便可求得

42、动内力幅值。122*PmPyst最大静位移最大静位移EIPllllEIPPyst4856522211312解解: :5 . 0例例1.1.求图示体系振幅、动弯矩幅值图求图示体系振幅、动弯矩幅值图. .已知已知tPsinEIl/2l/2)(ty2mAA34/1122EIPlyAst3365sty=1112/llPAmAmAFI4854411122PP485Pl965Pl4829动弯矩幅值图动弯矩幅值图EIllllEI3322113115 . 0解解: :例例2.2.求图示体系右端的质点振幅。求图示体系右端的质点振幅。 0oMkmPA41032tPsinlkEIllA P2mA231mAAk32o

43、023233122lAklmAlmAPl( (a) a) ( (b)b)( (c)c)y(t)Fsintml/4l/4l/2Fm2AAFyst5 . 0例例3.3.求图示体系振幅、动弯矩幅值图求图示体系振幅、动弯矩幅值图. .已知已知解解：(1)(1)计算动力系数计算动力系数 221431(2)(2)简支梁的振幅简支梁的振幅 31211768lEImax312( )11576stAy tyFlFEI ( (d) d) 1l/411l/4 ( (e) e) 13l/16123l/16(3)(3)作动弯矩的幅值图。作动弯矩的幅值图。( (f)f)F4811FFl38483Fl19235FlEIEI

44、FlAmAmAFI48114841576114141331122max ( (d) d) 1l/411l/4 ( (e) e) 13l/16123l/16采用冲量方法首先讨论瞬时冲量的动力反应，在此基础上讨论采用冲量方法首先讨论瞬时冲量的动力反应，在此基础上讨论一般动力荷载下的动力反应。一般动力荷载下的动力反应。1.1.瞬时冲量的动力反应瞬时冲量的动力反应F tF(t)S冲 量Ft o=t假定冲击荷载作用之前体系的初位移及初速度均为零。假定冲击荷载作用之前体系的初位移及初速度均为零。 由于荷载作用时间极短，可以认为在由于荷载作用时间极短，可以认为在冲击荷载作用冲击荷载作用完毕的瞬间，体系的位移

45、仍完毕的瞬间，体系的位移仍为零。但冲击荷载有冲量，可以使处于静为零。但冲击荷载有冲量，可以使处于静止状态的质点获得止状态的质点获得速度速度而引起自由振动。而引起自由振动。 思考：思考：体系在冲击荷载作用下获得的是位移还是速度？体系在冲击荷载作用下获得的是位移还是速度？ 三、一般动力荷载作用下结构的动力反应三、一般动力荷载作用下结构的动力反应 根据动量定律，质点在瞬时冲量根据动量定律，质点在瞬时冲量 F t 作用下的动量变化为作用下的动量变化为:StFmvmv0mSmtFv由于由于v0=0， 所以有所以有 原来初位移、初速度为零的体系原来初位移、初速度为零的体系, ,在冲击荷载作用后的瞬间在冲击

46、荷载作用后的瞬间, ,变成了初位移为零变成了初位移为零, ,初速度为初速度为 的自由振动问题。的自由振动问题。mtFtvtytysincos)(00由由(10-14)tmtFysin得得F tF(t)S冲 量Ft o=t 若冲击荷载不是在若冲击荷载不是在t0，而是，而是在在t =时作用，则上式中的时作用，则上式中的t 应改为应改为(t - )。)(t)(sintmtFyt dS=F ttFodF(t)由式由式(10-14)可得在可得在 t = 时作用瞬时冲量时作用瞬时冲量S引起的动力反应：引起的动力反应：tmtFysin(10-14)oF (t)=StF (t)F(t)tddd2.一般动力荷载

47、一般动力荷载F(t)的动力反应的动力反应 把整个加载过程看成是由一系把整个加载过程看成是由一系列瞬时冲量所组成的。在时刻列瞬时冲量所组成的。在时刻t = 作用的荷载为作用的荷载为F(t) ，此荷载在微分，此荷载在微分时 段时 段 d 内 产 生 的 冲 量 为内 产 生 的 冲 量 为dS=F(t)d 。根据式。根据式(10-14)，此，此微分冲量引起的动力反应为：微分冲量引起的动力反应为：)(sind)(dtmtFy对加载过程中产生的微分反应进行叠加，得出总反应如下：对加载过程中产生的微分反应进行叠加，得出总反应如下：称为称为杜哈梅杜哈梅(Duhamel)积分积分。d)(sin)(1)(0t

48、tFmtyt (10-15)14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 （1 1）基本思路：基本思路： 视为一系列瞬时冲量连续作用下响应的总和视为一系列瞬时冲量连续作用下响应的总和t tttt( )P tSP t0SP tmv 0SP tvmm( )sinSy ttmP( )sinsin()SSy tttmm(0)t 0t( )y t()t瞬时冲量瞬时冲量00( )cossinvy tyttt( )y tP(t)td( )dSPd( )sin()Pddytm01( )( )sin()ty tPtdm(Duhamel 积分积分)初始位移初始位移 y0

49、和初和初始速度始速度 v0 不为零不为零0001( )cossin( )sin()tvy tyttPtdmt时刻时刻的微分冲量对的微分冲量对t 瞬时瞬时(t )引引起的动力反应起的动力反应：微分冲量微分冲量01( )( )sin()ty tPtdm（2）一般动荷载的动力反应）一般动荷载的动力反应杜哈梅积分杜哈梅积分初始位移初始位移 y0 和初和初 始速度始速度 v0 为零为零（1 1）突加荷载）突加荷载 P(t)tPo001( )sin()ty tPtdm02(1cos)(1cos)stPtytmysty(t)t023质点围绕静力平衡质点围绕静力平衡 位置作简谐振动位置作简谐振动ystyst举

50、例说明：举例说明：000( ) 0tP tPt01( )( )sin()ty tPtdmmax ( )2sty ty3.几种常见动力荷载下的动力反应几种常见动力荷载下的动力反应 （2）短时荷载）短时荷载 P(t)tPou000( )00tP tPtutu 1）方法一：）方法一：00011( )( )sin()()tuy tPtdPSintdmm2sinsin()22stuuyt( )(1 cos)sty tyt 阶段阶段 (0(0t u) )同突加荷载：同突加荷载：直接采用直接采用 Duhamel 积分积分 阶段阶段 ( (t u) )：P(t)tPou000( )00tP tPtutu 阶段

51、阶段 ( (t u) )：体系以：体系以 作自由振动。作自由振动。( ), ( )y uy u 2）方法二：利用突加荷载结论，分段讨论。）方法二：利用突加荷载结论，分段讨论。( )(1 cos)sty tyt( )sinsty uyu ( )cos()cossty tytut2sinsin()22stuuyt 阶段阶段 (0(0t u) )同突加荷载：同突加荷载：( )(1 cos)sty uyu 3）方法三：）方法三：P(t)tPP(t)tPu( )(1 cos)sty tyt( )1 cos()sty tytu1)当当0 u(cos()cos)stytut2sinsin()22stuuyt

52、1 cos()stytu( )(1 cos)sty tytP(t)tPuy(t)t023讨论主要针对讨论主要针对u展开展开ystT/21 1）当）当u T/2，最大动位移最大动位移 发生在阶段发生在阶段max ( )2sty ty 2）当）当0u T/2，最大动位移，最大动位移发生在阶段发生在阶段( )2sinsin()22stuuy tytmax ( )2sin2stuy tymax ( )2sin2sty tuy uT1/611/22动力系数反应谱动力系数反应谱(T,u)12sin212 2uuTTuT当当最大动反应的求解：最大动反应的求解： （3 3）线性渐增荷载）线性渐增荷载 00 0

53、( ) rrrPttttP tPtt 当当P(t)tP0trsin()( )11sinsin()strrstrrryttttty tytttttt当当 对于这种线性渐增荷载，其动力反应与对于这种线性渐增荷载，其动力反应与升载时间升载时间tr的长短的长短有很大的关系。有很大的关系。00 0( ) rrrPttttP tPtt 当当P(t)tP0tr01.02.03.04.0rtT1.41.21.01.61.82.0动力系数反应谱动力系数反应谱(T，tr )讨论讨论：与与tr的关系的关系例例. 有一重物有一重物Q =2kN从从20cm高处落到梁的中点，求梁的最大弯矩。已高处落到梁的中点，求梁的最大

54、弯矩。已 知梁的自重为知梁的自重为W =20kN，I=36104cm4, E =34102kN/cm2 。20cmQ3m3mW解：结构在瞬时冲量作用下的动方程：解：结构在瞬时冲量作用下的动方程：SySin tmmax1eSSySPmmm2QSmvghg重物与地面接触时的速度为：重物与地面接触时的速度为：冲量为：冲量为：1）求冲量：）求冲量： 结构的最大位移：结构的最大位移：/ 2ePSQWmg其中：其中：222QvQhvghg2）求频率：）求频率：等效静荷载：等效静荷载：将梁的重量一半作用在梁的中间，将梁的重量一半作用在梁的中间，一半作用在梁的两边。一半作用在梁的两边。()2gWQ348LEI

55、348260.3()2eQgEIPSghkNWgQL60.3kNmax70.3 64M3max670.348yEI跨中最跨中最大弯矩：大弯矩：跨中最跨中最大位移：大位移：10kN20cmQ3m3mW（1 1）因结构特征必须简化为多自由度体系）因结构特征必须简化为多自由度体系多层房屋、多层房屋、不等高排架等不等高排架等（2 2）为满足计算精度的要求）为满足计算精度的要求烟囱、烟囱、高耸建筑物等高耸建筑物等 基本方法基本方法刚度法：刚度法：柔度法：柔度法：按结构的位移协调条件建立运动方程按结构的位移协调条件建立运动方程按质量的力平衡条件建立运动方程按质量的力平衡条件建立运动方程10.5 双自由度体

56、系的自由振动（不计阻尼）双自由度体系的自由振动（不计阻尼） 一一、刚度法刚度法( (以质点为研究对象）以质点为研究对象）(a)m1m2y1(t)y2(t)(b)22( )m y t11( )m y t2K1K2m1m根据达郎伯原理，可列出方程：根据达郎伯原理，可列出方程：0111 Kym 0222 Kym （a）(c)12y1(t)y2(t)1K2K1.建立自由振动微分方程建立自由振动微分方程2K2K2m22ym 1K1m11ym 21KK、是质点受到的弹力是质点受到的弹力, ,与位移方向相反。与位移方向相反。121K2Ky1(t)y2(t)= =1211k21k11( )y t+ +1212

57、k22k12( )y t由上图，可列出方程：由上图，可列出方程：2121111ykykK2221212ykykK（b）把（把（b）代入（）代入（a），可列出自由振动微分方程：），可列出自由振动微分方程：0)()()(0)()()(2221212221211111tyktyktymtyktyktym （10-38）微分方程：微分方程：设解为：设解为：1122()()yYSintyY Sint（1）211222()()yYSintyY Sint （2）把（把（1）式、（）式、（2）式代入微分方程：）式代入微分方程：21111 112222221 1222()()()0()()()0mY Sintk

58、 Y Sintk Y SintmY Sintk Y Sintk Y Sint可求得：可求得：0)()()(0)()()(2221212221211111tyktyktymtyktyktym 2.求自振频率求自振频率 频率方程或频率方程或（特征方程）（特征方程）：21111122221 12222()0()0km Yk Yk Ykm Y齐次线性方程组：齐次线性方程组：自振频率：自振频率：2211221122112212211,21212124()12kkkkk kk kmmmmm m2111122212220kmkDkkm较小的较小的 第一频率（基频），第一频率（基频）， 为第二频率。为第二频率

59、。12（10-39）（10-40）（10-41）2111112222112222()0()0kmYk Yk YkmY则，用刚度系数表示的主振型为：则，用刚度系数表示的主振型为：(1)112(1)221111(2)112(2)221121YkYkmYkYkm 两个质点的位移随时间变化的频率相同，二者比值保持不变，即两个质点的位移随时间变化的频率相同，二者比值保持不变，即结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型。结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型。3.主振型主振型21122222211121YkkmYkmk 第一振型或基本振型第一振型或基本振型第二振型第二振型1122()()yYSintyY

60、 Sint（1） 常数tytyYY2121结结 论论(1) 在多自由度体系自由振动问题中，主要问题是在多自由度体系自由振动问题中，主要问题是确定体系的全部自振频率及其相应的主振型。确定体系的全部自振频率及其相应的主振型。(2) 多自由度体系自振频率不止一个，其个数与体多自由度体系自振频率不止一个，其个数与体系自由度的个数相等。自振频率可由特征方程求出。系自由度的个数相等。自振频率可由特征方程求出。(3) 每个自振频率有自己相应的主振型。主振型是每个自振频率有自己相应的主振型。主振型是多自由度体系能够按单自由度振动时所具有的特定多自由度体系能够按单自由度振动时所具有的特定形式。形式。(4)与单自