陈昊(一阶电路的分析方法)初稿

1、WORD格式学校编码： 15014分类号密级学号：UDC本科毕业论文 ( 设计 )*( 题目、居中、黑体、二号)学生*： * 楷体、三号、居中所属院部： * 楷体、三号、居中专业： * 楷体、三号、居中指导教师： * 楷体、三号、居中专业资料整理WORD格式年月日Times New Roman 、三号、居中专业资料整理WORD格式*学院本科毕业论文 ( 设计 ) 原创性声明兹呈交的毕业论文 ( 设计 ) ，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。本人在论文 ( 设计 ) 写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文( 设计 ) 而产生的权利和责任。声

2、明 人签名：指导教师签名：年月日专业资料整理WORD格式一阶电路的分析方法陈昊*学院物理与电子信息工程学院学院，*024000 摘要：本文主要讨论了三种分析一阶电路的的方法：1、利用基尔霍夫定律和电容、电感的关系及微积分的知识。2、三要素法进展分析。3、利用拉普拉斯变换进展分析。关键词： 电流、电压、节点、初始值、终了值、拉普拉斯变换、反拉普拉斯变换对于一个复杂的电路，当电路的工作条件发生改变时，电阻电路和动态电路的工作状态都将随之发生变化。电阻电路的变化可在瞬间完成，无需经历任何过程。但动态电路的变化一般是一个渐变的过程，而不能在瞬间完成，这一渐变的过程称为瞬态过程，处于瞬态过程中的状态称为

3、瞬态。关于动态电路， 常以描述该电路性状的微分方程的阶数加以区别，对应于一阶微分方程的电路，称为一阶电路。只含有一个储能元件电感或电容的电路就是一阶电路。所谓瞬态过程的分析就是指对于给定的电路，当电路或电源的接通与断开，电路连接结构或元件参数改变时计算出各支路中的电流或电压随时间的变化规律。下面介绍三种分析一阶瞬态电路的方法。1. 基尔霍夫定律分析法利用基尔霍夫电流定律：对于任一节点，所有与之相边的支路电流的代数和恒等于零，专业资料整理WORD格式即：i0 ；电压定律：对于任一回路，所有支路电压的代数和恒等于零，即：u0 ；专业资料整理WORD格式以及电感感应电动势与电流的关系：eLdi；电容

4、的专业资料整理WORD格式dt专业资料整理WORD格式du电压与电容电流之间的关系ic来分析研究瞬态过程dt的一种方法。下面通过一具体的实例加以介绍：在右图的电路中，两线圈的自感分别为L1和 L2，电阻为零，两者之间无互感耦合，电源的内阻已计入R 中，设开关闭合前各支路无电流，设t=0 ，开关闭合，各支路电流如图示那么根据基尔霍夫定律有：专业资料整理WORD格式ii1 i2L1di1L2di 2dtdi2dtL2iRdt对以上各式整理有：L1 L2di假设令 LL1L2那么L1L2RiL1L 2dtL diiR 很显然这是一阶微分方程，故该电路为一阶电路。dt该微分方程可整理后计算得各支路电流

5、为：iditdt0iR0LRt( L1 L2 ) Rti(1eL )(1eL1L2)RRL2( L1 L2 ) Rti1(1eL1L2)(L1L2)RL1( L1 L2 ) Rti2(1eL1L 2)( L1L2 )R例如下列图的RC电路 , 开关原本接在 1 端，电路已经进入稳态，设在 t=0时，把 S 迅速投向二端换路 ，那么电路的响应 uc(t)、 ic (t)和uR(t)将经历一个变化，最后到达新的稳态，根据KVL,可以了出换路后的电路方程为duc (t )RCuc (t )U (t0)dt(1)uC (0)U方程的特解和外施鼓励形式一样，为uc (t)U s；对应齐次方程的通解常为指

6、数形式：专业资料整理WORD格式uc (t )Ae。于是电容电压全影响专业资料整理WORD格式uc(t)uc' (t )u" (t )U sAec式中， A 为积分常数，RC 是电路的时间常数。由初始条件uc (0)U o，可确定积分常数 AU 0U S。最后得全响应uc (t ) U S (U 0 U S )e(2)把全响应分解为稳态分量和暂态分量的优点， 是对电路从稳态暂态过程新的稳态的物理变化规律了解得十分清楚。 2式又可以写为：uc (t)U 0eU (1e)3其中第一项仅由电容的初始储能引起，称为零输入响应；第二项仅有外施鼓励引起，称为零状态响应。2. 三要素分析法

7、一阶电路是指只包含一个或者经化简后只剩下一个独立储能元件的电路，. 即该电路依据基尔霍夫定律列出的方程是一阶的常微分方程。鼓励和响应之间的关系可概括为以下形式 :dy(t)f (t )ay(t)dt 1y(0 ) y0式中 :f(t)是任意鼓励函数，y(t)是电路中任一响应函数( 电压或电流 ).y(0 ) 是初始条件，a 是电路的构造与参数决定的常数由数学知识可知微分方程 1的解为：y(t)eat e at f (t) dt ce aty(t )y (t ) 2pb式中：yp (t)a ateat f (t )dt 为电路的稳态响应，它和鼓励函数f(t)具有一样的形式，它就是非齐次微分方程式

8、(1) 的特解；yb (t)ce at为电路的暂态响应，它就是式(1) 所对应的齐次微分方程的通解，该齐次微分方程的特征方程为s + a = 0, 所以特征根s = -a =1其中为一阶电路的时间常,数，仅与电路的构造与参数有关，而与外施鼓励无关。这样电路的暂态相应可写为专业资料整理WORD格式yb (t)ce t /专业资料整理WORD格式而电路的全响应为y(t ) y p (t ) ce t / 3式中 c 为由初始条件决定的积分常数。+y(0 )yp (0)c所以cy(0 )yp (0 )把 c 代入式 4中得y(t)yp (t) y(0)yp (0 )e t /(4)这就是一阶线性电路

9、在任意鼓励作用下，决定电路全响应的一般公式。其中y(0 ) 、yp (t ) 、 y p (0 ) 、分别代表响应的初始值、稳态值、稳态初始值和电路的时间常数，而y(0 ) 、 y p (t) 、称为一阶电路的“三要素，只要求得了这三个要素，就可以根据式(4)直接写出电路全响应的函数式。对阶跃鼓励而言有( )yp(0 )y( )yp t式 4变为y(t) y( ) y(0 ) y( )e t /5上式即为一阶线性电路在阶跃鼓励作用下全响应的“三要素法的一般公式。另外，在一阶电路中， 任一响应的初始值都可以通过初始值等效电路来求得。通过求解一阶电路中电容 ( 或电感 ) 元件以外线性电路的戴维南

10、或*等效电路， 总可以找到一个等效电阻 R，从而算出电路的时间常数：对 RC电路：RC对 RL电路：LR如图示电路，设开关S动作前电路已处于稳态，在 t 0时，开关由 a扳向 b，下面分析电路中的电流i 和 i 随时间L变化的规律：计算初始值：由换路定理有：iL (0 ) i L (0 )641.2A2442224应用基尔霍夫定律，在t=0 +时的电路方程为：i( 0 ) i1 (0 ) iL (0 )2i (0 )4i1 (0 )6专业资料整理WORD格式解得： i (0)0.2Ai1 (0 )1.4A计算稳态值：由电路可得：i( )61.8AiL( )641.2A242442222424计

11、算时间常数：电感两端的等效电阻为：R22410243时间常数为：L3 SR10根据三要素法那么可得到：t10ti tiiiee 3)( )(0)()1.81.6A(i L (t )iL ()i L (0)iL (t1.22.4e10 t) e3 A例 1 如图电路，uc(0)=3V .求t0 的电压u(t)。解 1求uc(0 )uc (0 )uc (0 )3V 2画出共用电路如图2所示。由节点电压法得：121)uc3(2u 2RRuc(11)u2uc联立解得：u( R)2R3211R 1u(0)u(R) |R 03 V2 2u()lim u( R)2 VR1122 s3R1R1C1111专业资

12、料整理WORD格式11229e2u(t) u( ) uc(0 ) u( ) eV11223. 一阶电路的拉普拉斯变换分析法3.1在复频域中电阻、电容、电感、电源的等效模型、电阻由于： u(t )Ri (t )两边取拉普拉斯变换那么有：U ( S)RI (S)那么电阻的等效模型如上图所示。、电容对于电容有：du(t)i (t )c两边取拉普拉斯变换那么有：I(S)U (0 )U ( S)故电容在复频域可等效为一电源与复阻抗的串联。SCS、电感对于电感有：diu(t )L两边取拉普拉斯变换有：U ( S)SLI (S)Li (0 )故电感在复频域可等效为一电源与复阻抗的串联。、电源对于电源，有：u

13、(t )E两边取拉普拉斯变换有：EU (S)电源在复频域中仍为一电源。S专业资料整理WORD格式3.2 一阶电路拉普拉斯变换分析法专业资料整理WORD格式对于电路首先从时域转换为复域的运算电路， 计算出对应在复域中的电流或电压， 再应用拉普拉斯反变换，计算出在时域下的电流或电压。下面通过一具体的实例加以介绍：在右图所示的电路中，开关S在 t=0时由 1位置合到 2位置，设开关动作前电路已处于稳态，下面讨论i和 uC随时间变化的规律。开关动作前对于电容：uC (0 )uC (0 )62 4V21在 t 0时电路在复频域中的等效图为：电流I (S) 和UC(S)的大小为：428I (S)S1212315( SS12)154414SUC(S)112S3S1SS125对 I (S) 和UC(S)进展拉普拉斯反变换有：83 ti(t)5 Ae5uc (t )3 t4e 5 V例：电路如又图所示。设输入为正弦电压u12U1 cos t ，电阻R两端电压 U 2为输出电