复数的基本概念与基本运算

1、复数的基本概念与基本运算（2课时）一、考试说明中复数的考试内容(1)数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模）；(2)复数的代数表示与向量表示；(3)复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方；(4)复数集中解实系数方程（包括一元二次方程、二项方程）。二、考试要求（1）使学生了解扩充实数集的必要性，正确理解复数的有关概念掌握复数的代数、几何、三角表示及其转换；（2）掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算，并理解复数运算的几何意义；（3）掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项方程的方法（4）通过

2、内容的阐述，带综合性的例题和习题的训练，继续提高学生灵活运用数学知识解题的能力（5）通过数的概念的发展，复数、复平面内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复习教学，继续对学生进行辩证观点的教育三、学习目标(1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识；(2)理顺复数的三种表示形式及相互转换：z = r(cos+isin) Û (Z(a,b) Û z=a+bi复数集纯虚数集虚数集实数集(3)正确区分复数的有关概念；(4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合；(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三角形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚

3、数单位i及1的立方虚根的性质；模及共轭复数的性质；(6)掌握化归思想将复数问题实数化（三角化、几何化）；(7)掌握方程思想利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。四、本章知识结构与复习要点1知识体系表解2复数的有关概念和性质：(1)i称为虚数单位，规定，形如a+bi的数称为复数，其中a，bR(2)复数的分类(下面的a，b均为实数)(3)复数的相等设复数，那么的充要条件是：(4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，bR）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的复数z=a+

4、bi在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b)向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)(7)复数与实数不同处任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方而复数对四则运算和开方均通行无阻3有关计算：怎样计算？（先求n被4除所得的余数，） 是1的两个虚立方根，并且： 3 复数集内的三角形不等式是：，其中左边在复数z1、z2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z1、z2对应的向量共线且同向（反向）时取等号。4 棣莫佛定理是：5 若非零复数，则z的n次方根有n个，即：

5、它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？都位于圆心在原点，半径为的圆上，并且把这个圆n等分。6 若，复数z1、z2对应的点分别是A、B，则AOB（O为坐标原点）的面积是。7 =。8 复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹： 轨迹为一条射线。 轨迹为一条射线。 轨迹是一个圆。 轨迹是一条直线。 轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为椭圆；b)当时，轨迹为一条线段；c)当时，轨迹不存在。 轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为双曲线；b) 当时，轨迹为两条射线；c) 当时，轨迹不存在。五、高考命题规律分析复数在过去几年里是代数的重要内容之一，涉及的知识面广，对能力要求较高，是高考热点之一。但随着新

6、教材对复数知识的淡化，高考试题比例下降，因此考生要把握好复习的尺度。从近几年的高考试题上看：复数部分考查的重点是基础知识题型和运算能力题型。基础知识部分重点是复数的有关概念、复数的代数形式、三角形式、两复数相等的充要条件及其应用，复平面内复数的几何表示及复向量的运算。主要考点为复数的模与辐角主值，共轭复数的概念和应用。若只涉及到一、二个知识点的试题大都集中在选择题和填空题；若涉及几个知识点的试题，往往是中、高档题目，解答此类问题一般要抓住相应的概念进行正确的变换，对有些题目，往往用数形结合可获得简捷的解法。有关复数n次乘方、求辐角（主值）等问题，涉及到复数的三角形式，首先要将所给复数转化为三角

7、形式后再进行变换。复数的运算是高考中复数部分的热点问题。主要考查复数的代数和三角形式的运算，复数模及辐角主值的求解及复向量运算等问题。基于上述情况，我们在学习“复数”一章内容时，要注意以下几点：（1）复数的概念几乎都是解题的手段。因此在学习复数时要在深入理解、熟练掌握复数概念上下功夫。除去复数相等、模、辐角、共轭复数的三角形式和代数式，提供了将“复数问题实数化”的手段。复数的几何意义也是解题的一个重要手段。（2）对于涉及知识点多，与方程、三角、解析几何等知识综合运用的思想方法较多的题型，以及复数本身的综合题，一直成为学生的难点，应掌握规律及典型题型的技巧解法，并加以强化训练以突破此难点； (3

8、) 重视以下知识盲点：不能正确理解复数的几何意义，常常搞错向量旋转的方向；忽视方程的虚根成对出现的条件是实系数；盲目地将实数范围内数与形的一些结论，不加怀疑地引用到复数范围中来；容易混淆复数的有关概念，如纯虚数与虚数的区别问题，实轴与虚轴的交集问题，复数辐角主值的范围问题等。六、典型例题分析实数？虚数？纯虚数？复数z是实数的充要条件是：当m2时复数z为实数复数z是虚数的充要条件：当m3且m2时复数z为虚数复数z是纯虚数的充要条件是： 当m1时复数z为纯虚数【说明】  要注意复数z实部的定义域是m3，它是考虑复数z是实数，虚数纯虚数的必要条件要特别注意复数za+bi(a，bR)为纯虚数

9、的充要条件是a0且b0            ，所以，代入得，故选解法3：选择支中的复数的模均为，又，而方程右边为2+i，它的实部，虚部均为正数，因此复数z的实部，虚部也必须为正，故选择B【说明】解法1利用复数相等的条件；解法2利用复数模的性质；解法3考虑选择题的特点求：z【分析】  确定一个复数要且仅要两个实数a、b，而题目恰给了两个独立条件采用待定系数法可求出a、b确定z运算简化解：设z=x+yi(x，yR)将z=x+yi代入|z4|z4i|可得xy，z=x+xi(2)当|z1|13时，即有

10、xx6=0 则有x=3或x=2综上所述 故z0或z=3+3i或z=-22i【说明】注意熟练地运用共轭复数的性质其性质有：(3) 1+2i+3+1000【说明】  计算时要注意提取公因式，要注意利用i的幂的周期性，(3)解法 1：原式=(1+2i34i)+(5+6i78i)+(997+998i9991000i)=250(22i)=500500i解法2：设 S1+2i+3+1000，则iSi+2+3+999+1000，(1i)S1+i+1000【说明】  充分利用i的幂的周期性进行组合，注意利用等比数列求和的方法【例6】已知三边都不相等的三角形ABC的三内角A、B、C满足 、

11、的值.【解】 得3分 上式化简为6分 9分 当12分【例7】设z1=1-cos+isin，z2=a2+ai(aR)，若z1z20，z1z2+ =0，问在（0，2）内是否存在使(z1-z2)2为实数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【分析】这是一道探索性问题可根据复数的概念与纯虚数的性质及复数为实数的充要条件，直接进行解答【解】假设满足条件的存在因z1z20，z1z2+ =0，故z1z2为纯虚数又 z1z2 = (1-cos+isin)( a2+ai) =a2(1-cos)-asin+a(1-cos)+a2sini，于是，由知a0因(0，2)，故cos1于是，由得 a= 另一方面，因(z1

12、-z2)2R，故z1-z2为实数或为纯虚数又z1-z2=1-cos-a2+(sin-a)i，于是sin-a=0，或1-cos-a2=0若sin-a=0，则由方程组得 = sin，故cos=0，于是= 或= 若1-cos-a2=0，则由方程组 得()2 = 1-cos由于sin2=1-cos2= (1+cos)(1-cos)，故1+cos = (1-cos)2解得cos=0，从而= 或= 综上所知，在(0，2)内，存在= 或= ，使(z1-z2)2为实数【说明】解题技巧：解题中充分使用了复数的性质：z0，z+=0Ûz纯虚数Û以及z2RÛzR或z纯虚数（注：Re(z)

13、，Im(z)分别表示复数z的实部与虚部）解题规律：对于“是否型存在题型”，一般处理方法是首先假设结论成立，再进行正确的推理，若无矛盾，则结论成立；否则结论不成立【例8】设a为实数，在复数集C中解方程：z2 + 2|z|= a【分析】由于z2=a-2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论【解】设|z|= r若a0，则z2=a-2|z|0，于是z为纯虚数，从而r2=2r a解得r = (r = 0，不合，舍去)故z = ±()i若a0，对r作如下讨论：（1）若ra，则z2=a-2|z|0，于是z为实数解方程r2=a-2r，得r = (r = 0，不合，舍去)故z = &#

14、177;()（2）若ra，则z2=a-2|z|0，于是z为纯虚数解方程r2= 2r-a，得r = 或r = (a1)故z = ±()i (a1)综上所述，原方程的解的情况如下：当a0时，解为：z = ±()i；当0a1时，解为：z = ±()，z = ±()i；当a1时，解为：z = ±()【说明】解题技巧：本题还可以令z=x+yi(x、yR)代入原方程后，由复数相等的条件将复数方程化归为关于x，y的实系数的二元方程组来求解【例9】（2004年上海市普通高校春季高考数学试卷18）已知实数满足不等式，试判断方程有无实根，并给出证明.【解】由，解得

15、，. 方程的判别式.，由此得方程无实根.【例10】给定实数a，b，c已知复数z1、z2、z3满足 求az1+bz2+cz3的值【分析】注意到条件(1)，不难想到用复数的三角形式；注意到条件（2），可联想使用复数为实数的充要条件进行求解【解】解法一 由=1，可设= cos+isin，= cos+isin，则= =cos(+)-isin(+)因 =1，其虚部为0，故0=sin+sin-sin(+) =2sincos - 2 sincos=2sin（cos - cos）=4 sinsinsin故=2k或=2k或+=2k，kZ因而z1= z2或z2= z3或z3= z1若z1= z2，代入（2）得 =

16、 ±i，此时az1+bz2+cz3=| z1|a+b±ci= 类似地，如果z2= z3，则az1+bz2+cz3= ；如果z3= z1，则az1+bz2+cz3= 解法二 由（2）知R，故= ，即 = 由（1）得 = (k=1，2，3)，代入上式，得= ，即 z12z3+ z22z1+ z32z2= z22z3+ z32z1+ z12z2，分解因式，得 (z1-z2) (z2-z3) (z3-z1)=0，于是 z1=z2或z2=z3或z3=z1下同解法一【说明】解题关键点是巧妙利用复数为实数的充要条件：zRÛz=，以及视，等为整体，从而简化了运算解题易错点是拿到问

17、题不加分析地就盲目动笔，而不注意充分观察题目的已知条件，结论特征等，从而使问题的求解或是变得异常的复杂，或干脆就无法解出最终的结果【例11】设复数z=3cos+2isin，求函数y=-argz(0)的最大值以及对应角的值【分析】先将问题实数化，将y表示成 的目标函数，后利用代数法（函数的单调性、基本不等式等）以及数形结合法进行求解【解】解法一 由0，得tan0，从而0argz由z=3cos+2isin，得tan(argz)= = tan0于是tany=tan(-argz)= = = = 当且仅当，即tan= 时，取“=”又因为正切函数在锐角的范围内为增函数，故当= arctan时，y取最大值为

18、arctan解法二 因0，故cos0，sin0，0argz，且cos(argz) = ，sin(argz) = 显然y(- ，)，且 siny为增函数 siny = sin(-argz)=sincos(argz)-cossin(argz)= = = = 当且仅当，即tan= ，取“=”，此时ymax= arctan9图xargzyoZ1Z2Z解法三 设Z1=2(cos+isin)，Z2=cos，则Z=Z1+Z2，而Z1、Z2、Z的辐角主值分别为、0，argz如图所示，必有y=ZOZ1，且0y 在ZOZ1中，由余弦定理得cosy = = = +当且仅当4+5cos2=6，即cos= 时，取“=”

19、又因为余弦函数在0为减函数，故当=arccos时，ymax=arccos【说明】解题关键点：将复数问题通过化归转化为实数问题，使问题能在我们非常熟悉的情景中求解解题规律：多角度思考，全方位探索，不仅使我们获得了许多优秀解法，而且还使我们对问题的本质认识更清楚，进而更有利于我们深化对复数概念的理解，灵活驾驭求解复数问题的能力解题易错点：因为解法的多样性，反三角函数表示角的不唯一性，因而最后的表述结果均不一样，不要认为是错误的九、专题训练1、下列说法正确的是       A0i是纯虚数 B原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点C实数的共轭复数

20、一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数 D是虚数2、下列命题中，假命题是       A两个复数不可以比较大小 B两个实数可以比较大小C两个虚数不可以比较大小 D一虚数和一实数不可以比较大小3、已知对于x的方程+（12i）x+3mi=0有实根，则实数m满足        4、复数1+i+等于        Ai                    BI C2i                  D2i5、已知常数，又复数z满足，求复平面内z对应的点的轨迹。6、设复数，记。（1