点到直线的距离公式（苍柏书屋）

1、第2课时 点到直线的距离公式 1优制课程工厂工厂工厂在公路的一侧，准备修一条水泥路和公路连接，请工厂在公路的一侧，准备修一条水泥路和公路连接，请问怎样修才能使工厂距离公路最近，请画出所修的路线问怎样修才能使工厂距离公路最近，请画出所修的路线.你认为哪种方案最节省材料？你的理由是什么？你认为哪种方案最节省材料？你的理由是什么？2优制课程最短距离应是垂线段最短距离应是垂线段ABAB，所画的这条线段我们给它，所画的这条线段我们给它起了一个名字，叫作起了一个名字，叫作点到直线的距离！我们本点到直线的距离！我们本节课来研究它！节课来研究它！工厂工厂AB3优制课程1.1.知道点到直线的距离公式的推导过程知

2、道点到直线的距离公式的推导过程. . （重点）（重点）2.2.会利用点到直线的距离公式求点到直线的距离会利用点到直线的距离公式求点到直线的距离. . （难点）（难点）4优制课程思考思考1 1：如何计算点如何计算点P P( (-3-3，5 5) )到直线到直线L L: :3 3x-4 4y- -5 5=0=0的距的距离呢？离呢？提示：提示：过点过点P P作作PHLPHL，垂足为，垂足为H H，则点则点P P到直线到直线L L的距离就是线段的距离就是线段PHPH的长的长通过求点通过求点H H的坐标，用两点间的坐标，用两点间的距离公式求的距离公式求PHPHOxy3x-4y-5=0)5 , 3(PHp

3、(-3,5)5优制课程4 4用两点间的距离公式，求出点用两点间的距离公式，求出点P P到到L L的距离的距离1 1由由PHLPHL，可知，可知PHPH所在直线的斜率为所在直线的斜率为2 2求出求出PHPH的方程即的方程即4x+3y-34x+3y-3=0.=0.3.3.由由L L和和PHPH所在直线的方程所在直线的方程3x-4y- -5 5=0=0，4 4x+3y-3=0=0，解得解得H H点的坐标为点的坐标为342511,2527H534251152527322PH6优制课程QPyxol思考：思考：已知点已知点P P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )和直线和直线l:Ax+By+C=0,

4、:Ax+By+C=0, 怎样怎样求点求点P P到直线到直线l的距离的距离? ?如图，如图，P P到直线到直线l的距离，就是指从点的距离，就是指从点P P到直线到直线l的的垂线段垂线段PQPQ的长度，其中的长度，其中Q Q是垂足是垂足. .7优制课程 当当A=0A=0或或B=0B=0时时, ,直线方程为直线方程为y=y1或或x=x1的形式的形式. .xyox=x1P(x0,y0)-01PQyy -01PQxx yo y=y1 p(x0,y0)xQ(x0,y1)Q(x1,y0)8优制课程(1)(1)点点P(-1,2)P(-1,2)到直线到直线3 3x=2=2的距离是的距离是_._.(2)(2)点点

5、P(-1,2)P(-1,2)到直线到直线3 3y=2=2的距离是的距离是_._.练一练练一练53439优制课程直线直线 的方程的方程l直线直线 的斜率的斜率llPQ直线直线 的方程的方程l直线直线 的方程的方程PQ交点交点PQ点点 之间的距离之间的距离 （ 到到 的距离）的距离）P Q,Pl点点 的坐标的坐标P直线直线 的斜率的斜率PQ点点 的坐标的坐标P点点 的坐标的坐标Q两点间距离公式两点间距离公式下面设下面设A0,B 0, A0,B 0, 我们进一步探求点到直线的距我们进一步探求点到直线的距离公式离公式: :思路思路1 1：垂线段法垂线段法yxlO0,)y0P(xQ10优制课程若直线不平

6、行于坐标轴若直线不平行于坐标轴( (即即A 0且且B0),),由由 0 AxByC可得它的斜率是可得它的斜率是,AB直线的方程是直线的方程是00(), ByyxxA00, BxAyBxAy即即与与0 AxByC联立，解得联立，解得20022, B xAByACxAB20022A yABxBCyAB 2200002222y(,)B xAByACAABxBCQABAB 22220000002222|()()B xAByACA yABxBCPQxyABAB22220000222222()()()() AAxByCBAxByCABAB0022 AxByCAB11优制课程QyxlO0,)y0P(x10(

7、 ,)N x y01(,)M xy一般地，对于直线一般地，对于直线0:0(0,0),),l AxBy CABy0外一点P(x,PPQlQPyx过点 作垂足为过点 分别作 轴 轴的平行线l0110交直线于点（， ）,（ ，）思路思路2 2：三角形的面积公式：三角形的面积公式12优制课程yxlQO0,)y0P(x01(,)M xy10(,)N x y0010,0, ByCAxByC1由 Ax001,.ByCAxCyAB1得 x0010.AxByCxxA所以PN0010AxByCPMyyBPQPQ是是RtRtPMNPMN斜边上的高斜边上的高, ,由三角形面积可知由三角形面积可知002222.PMPN

8、PMPNAxByCPQMNABPMPN13优制课程OyxlPQM过过P作作PMx轴交轴交l于于M，构造直角，构造直角PQMP(x0,y0), l:Ax+By+C=0, AB0,倾斜角设为倾斜角设为 锐角锐角 1与倾斜角与倾斜角 有何关系？有何关系？ 1 1= 如果如果l的倾斜角是钝角呢？的倾斜角是钝角呢？OyxlPQM 1 1= - 怎样用怎样用|PM|表示表示|PQ|？|PQ|=|PMcos 1 | cos 1 =|cos |PQ|=|PMcos |思路思路3 3：解直角三角形法：解直角三角形法14优制课程OyxlPQ 1 M已知已知P(x0,y0),设设M(x1,y1)PMOy，x1=x0

9、将将M(x0,y1)代入代入l的方程得的方程得BCAxy 0110yyPM BCAxy 00BCByAx 002222211111coscosBABBAtg 又又2200cosBACByAxPMPQ 15优制课程由此我们得到，由此我们得到，:0l AxByC的距离的距离0022.AxByCdAB点到直线的距离公式点到直线的距离公式00(,)P x y点点 到直线到直线直线方程为直线方程为一般式一般式16优制课程例例1 1.(1).(1)求原点到直线求原点到直线l1 1:5x-12y-9=0:5x-12y-9=0的距离；的距离；(2)(2)求点求点P(-1,2)P(-1,2)到到直线直线l2 2

10、:2x+y-10=0:2x+y-10=0的距离的距离. .分析：分析：根据点到直线的距离公式求解根据点到直线的距离公式求解17优制课程求下列点到直线的距离：求下列点到直线的距离：(1)(0,0),3x-2y+4=0 (2)(2,-3),x=y(1)(0,0),3x-2y+4=0 (2)(2,-3),x=y答案答案: : (1) (2) (1) (2) 5 224 1313【变式练习变式练习】18优制课程例例2.2.用解析法证明：等腰三角形底边延长线上一点用解析法证明：等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高到两腰的距离之差等于一腰上的高. .证明：证明：在在ABCABC中，中，

11、AB=ACAB=AC，P P为为BCBC延长线上一点，延长线上一点，PDABPDAB于于D D，PEACPEAC于于E E，CFABCFAB于于F.F.以以BCBC所在直线为所在直线为x轴，以轴，以BCBC的中的中垂线为垂线为y y轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系如图如图. . yADFB OCEPx19优制课程设设A(0,b),BA(0,b),B（-a,0),C(a,0)(a0,b0),-a,0),C(a,0)(a0,b0),则直线则直线ABAB方方程为程为bx-ay+ab=0,=0,直线直线ACAC方程为方程为bx+ay-ab=0,-ab=0,取取P(xP(x0 0,0),0),使使x

12、0a,a,则点则点P P到直线到直线ABAB，ACAC的距离分别为的距离分别为002222|0|,bxabbxabPDabab-+=+002222|0|.bxabbxabPEabab+-=+则点则点C C到直线到直线ABAB的距离为的距离为2222|2|,abababCFabab+=+222|.abPDPECFab-=+则则20优制课程四、课堂小结:点点 到到 直直 线线 的的 距距 离离2200BACByAxd 1.此公式的作用是求点到直线的距离；此公式的作用是求点到直线的距离；2.此公式是在此公式是在A、B0的前提下推导的；的前提下推导的；3.如果如果A=0或或B=0，此公式恰好也成立；，此公式恰好也成立；4.如果如果A=0或或B=0，一般不用此公式；，一般不用此公式；5.用此公式时直线要先化成一般式。用此公式时直线要先化成一般式。21优制课程1 1、学习了点