数学教学中的引导与发现

1、数学教学中的引导与发现贺年成摘要：在数学教学过程中，教师发挥着主导作用，通过几个实践案例说明在教师的引导下，学生积极探索并解决问题这一过程，加强了数学知识的横向和纵向联系，形成较为完整的知识链，体现引导一探索一发现一再引导一再探索一再发现的学习过程。关键词：引导、探索、发现1引言数学教学是教与学有机配合的过程。在老师引导下学生主动去发现，自觉探索问题是数学教学的重要方法。布鲁纳认为：学习的实质在于发现，发现是达到目的(选择、记住、改造知识)的最好手段。荷兰数学家弗赖登塔尔也指出：学习数学唯一正确的方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来。由于学生的认知结构不完善，

2、个体之间存在着很大差异，有些问题不便于学生发现。所以在数学教学过程中需要老师引导。学生对某一知识、某一方法、技能的掌握往往不是一节、两节课或一个时间段能解决问题，有些知识需要老师不断引导、学生不断探索、不断发现，学生才能形成完整的认知数学结构。整个教学过程应体现：引导一探索一发现一再引导一再探索一再发现2实践案例2.1引导策略、发现方法对于同一个问题，知识掌握的程度不同，思考的角度不同，解决问题的策略、方法也不同，老师要经常引导学生用不同的知识、不同的方法解决相同的问题，以将不同的知识点连接起来，构成知识链。案例1:b为何值时，方程组yx-b-有两组不同解？y.1x2.2错解：消去y得x+b=

3、十1x两边平方得2x2+2bx+b2-1=0由=4b2-42(b2-1)=0得-，2b2或b-1时，方程组无解。再引导：若将方程变为y=V12x2方程组解的情况怎样？若将方程组变为方程组的yx五解与有何关系？22y.rx引导学生多角度看待问题，分析问题，探究问题，发现方法，不但巩固了已有的知识，而且对问题的认识更深刻，对知识的联系更紧密，从而达到完善认知结构的目的。2.2类比引导，发现问题2案例2：直线y=kx-1与双曲线 9发现：此题和圆、椭圆中的题目类似2y- 1有一个公共点，求 k的值.4y kx 1联立方程组 /皂 194区,5由 =0倚,k=3引导：方程 一定是一元二次方程吗？发现：

4、当4-9k2 =0 即k= 2 时,322消去 y 得(4-9k )x 18kx 450(1)是一元一次方程，方程(1)只有一个解，则方程组在教学中，对不同事物的共性和差异进行类比，引导学生将相同的知识迁移到新知识上来，同时学会通过比较，发现事物之间的差异。也只有一组解，也就是说引导：k= q与k=k=2时，直线与双曲线也只有一个公共点。3时，直线与双曲线是怎样的位置关系？2发现：=0时，得到的直线是双曲线的切线，而k=一是双曲线渐近线的斜率。与渐近线3平行的直线与双曲线只有一个交点。引导：类比圆和椭圆，圆和椭圆为什么没有切线以外和曲线只有一个交点的直线？发现：双曲线有渐近线而圆和椭圆没有。圆

5、和椭圆是封闭的，而双曲线是非封闭的。再引导：对于过椭圆内、椭圆上、椭圆外的点，与椭圆有一个公共点的直线分别有0条、1条、2条。过平面内一点作与双曲线有一个公共点的直线有几条？再发现：经过点的位置切线条数与渐近线平行的直线条数点在双曲线两支间非渐近线上22点在双曲线上12点和双曲线焦点同区域02点在渐近线上(除交点)11点是两渐近线的交点00通过引导学生把直线与双曲线的位置关系和椭圆类比，学生发现了解方程的错误：ax2+bx+c=0曲线的性质。当a=o时，方程是一元一次的，只有当a0时，才能使用判别式。发现了双曲线与直线位置关系的复杂性等，从而进一步认识了圆锥曲线。2.3归纳引导、理论新发现案例

6、3:性质1已知p(x0,y0)是曲线C1：f(x,y)=0与C2：g(x,y)=0的公共点，则P定在曲线f(x,y)+g(x,y)=0上。应用与发现：1)求经过直线2x+y=1与x+2y=-1交点且过原点的直线方程。解：设所求直线方程为：2x+y-1+(x+2y+1)=0直线经过原点得=1故所求直线方程为x+y=02)求圆x2+y2+2x+3y=0与圆x+y+4x-y=0的公共弦所在的直线方程。方法一：解交点，用两点式求得直线方程为3x-2y=0发现：将两圆方程相减后所得方程为3x-2y=0与方法一求得结果一样，学生产生疑问。引导1:3x-2y=0可以看作是性质1中=-1的结果。方法二：3x-

7、2y=0过两圆交点，过两点的直线只有一条，所以3x-2y=0就是两圆公共弦所在的直线方程。引导2:利用这种方法求两圆公共弦方程应注意什么问题呢？发现1:1)当两圆相交时，两圆方程相减所得方程是公共弦所在直线方程。2)当两圆相切时，两圆方程相减所得方程是一公切线所在直线方程。3)当两圆相离时，两圆方程相减所得二元一次方程是垂直于两圆连心线的直线。4)同心圆两圆方程相减方程不存在。发现2：求证椭圆a2x2+b2y2=a2b2与椭圆b2x2+a2y2=a2b2两曲线交点共圆，圆的方22工口曰222ab程是：x+y=-2ab方法是将两椭圆方程相加即可得圆的方程，此圆经过两椭圆的交点。通过运用及解题方法

8、的发现，学生对性质1有了更深刻的认识，激发了他们进一步探索的兴趣。归纳起来上述问题都是新曲线经过已知两曲线的交点问题。22再发现：椭圆-y-1内一点P(2,1),求以P为中点的弦所在直线。94此题有很多种解法，但利用性质1是一次再现方程。_2(2 y) 1222方法是：椭圆-y-1关于点P对称的曲线仍是椭圆，其方程是(4x)949两曲线的公共弦必以P为中点。两方程相减得8x+9y-25=0为所求直线方程。再引导：此方法能解决所有曲线的中点弦的方程问题吗？再发现：性质2：曲线f(x,y)=0以P(m,n)为中点的弦若存在，则f(x,y)+f(2m-x,2n-y)=0中二元一次方程是以P为中点的弦

9、所在直线方程。从性质1到性质2,充分体现了引导一一探索一一发现一一再引导一一再探索一一再发现的过程。学生对已经解决问题的归纳，升华了原有的理论，发现了新的理论，在发现的过程中，学生体会到解决数学问题的真谛，掌握了知识，提高了能力。在教学中，我们不断引导学生去发现问题，探索解决问题，增强学生学习数学的兴趣。3.引导和发现的依据和注意事项3.1引导是前提，发现是目的。发现学习过程大致是，掌握学习课题，提出假说，推敲假说，验证假说，发展与归纳。其中掌握学习课题是让学生从问题情境中准确地抓住应该发现的课题，为使学生易于掌握课题的线索，教师必须提供若干资料，即先要教师引导。因为数学知识的发现往往是一个复

10、杂的过程，没有老师多方面的诱导，学生是很难找准发现的方向。因此引导是必要前提。引导的目的是让学生发现，因此引导要切合实际，不能超越学生的认知结构，也不能太容易发现，没有挑战性。32发现学习是数学学习的重要方法。布鲁纳认为发现学习有四个优点：（1） ）学生一旦掌握了知识，就能马上用于解决问题。（2） 能增强内在动机。自发的自我奖赏或发现本身带来的奖赏增强了完成活动的倾向.（3） 能学到发现问题的技巧，依靠发现进行的问题的解决，促进几乎所有课题中发生的问题的解决。（4） 有利于学习内容的探索，学习者将知识组织起来，并能随时得心应手地检查知识。巴班斯基在教学教育过程最优化中指出探索发现问题的方法有助

11、于有理解地独立掌握知识。在理论知识学习，抽象思维训练、言语和思维的独立性方面优于其他方法。建构主义认为，知识并不是被动接受的，而是靠认识主体主动建构的，它指出：数学学习并非是一个被动的接受过程，而是一个主动的建构过程。只有当学生通过自己的思考建立起自己的数学理解力时，才能真正学好数学。思维始于问题，问题是数学的心脏。通过引导学生发现问题、解决问题，才能激发学生对数学的兴趣，培养学生创造性思维能力。学生在不断探索问题、发现问题、解决问题，达到数学知识、数学创新意识、创新能力同步增长的目的。33注意事项（1）给学生一块空间教学中要留给学生足够的探索空间，鼓励学生自由地去学。教师不可能提供每个学生都

12、适合的学习方式，因为每个人都适合自己的独特的方法，教师也不可能讲解学生想了解的所有内容，因此要引导学生进行质疑，探究、猜想、发现。（2）引导和发现不能只限于课堂数学知识是连贯的，数学方法是多样的，问题是复杂多变的。一个问题用这种方法去解很复杂，但用另一个方法解可能就很简单。这个章节用到某种方法，另一个章节还会遇到同样的方法，所以引导不能局限于解决当堂课的内容，也不要局限于一章一节或数学学科，问题可广泛联系。如学习了圆锥曲线的焦点可引导学生思考与光学中焦点的联系等。总之，在数学教学中，正确处理好引导与发现的关系，引导可以节省发现的时间，拓展学生思维空间。发现有助于学生对知识的理解，探索精神的培养和能力提高。不断引导