数值计算经典考试题

1、数值计算经典考试习题22、填空题:4-1A = 140-1一 1A= -1/4答案： -0。-14J,则A的LU分解为4-10115/4-14/151_56/1512、已知f(1)=1.0,f(2)=1.2,f(3)=1.3,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得31f(x)dx:，用三点式求得土答案：2.367,0.253、f(1)=-1,f(2)=2,f(3)=1,则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为拉格朗日插值多项式为11L2(x)=-(x-2)(x-3)-2(x-1)(x-3)-(x-1)(x-2)答案：-1,224、近似值x*=0.231关于真值乂=0.229有(2)位有效数字;5、设

2、f(x)可微,求方程x=f(x)的牛顿迭代格式是()；xn-f(xn)xn1=xn：答案1-f(xn)6、对f(x)=x3+x+1，差商f0,1,2,3=(1),f0,1,2,3,4=(。);7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；8、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为)；b-a2n19、求解一阶常微分方程初值问题y=f(x,y)，y(xo)=yo的改进的欧拉公式为h_一);yn-1-yn-2f(xn,yn)f(xn1,yn1)10、已知f(1)=2,f(2)=3,f(4)=5.9,则二次Newton插值多项式中x2系数为(0.15);1代格

3、式的迭代矩阵的谱半径P(M)=12_017、设 f =0, f =16, f (2) =46，则 l1(x) = l1(x) = -x(x-2)_, f (x)的二次牛顿插值多项式为 _N2(x)=16x+7x(x-1)_0bn.,、，13-1、31、f(x)dxif(x)dxf()f()11、两点式高斯型求积公式0()d=('022v,32v13)，代数精度为(5);12、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。13、为了使计算_34y =10 2x -1 (x-1)6(x-1)3的乘除法次数尽量地少,应将该表1达式改写为y=10 (3 (

4、4瑞为了减少舍入误差，应将表达式有(2n 1)次代数精度22001-V1999改写为%'2001+V199914、用二分法求方程f(x)=x3+x-1=0在区间0,1内的根，进行一步后根的所在区间为051，进行两步后根的所在区间为050.75。15、计算积分0.5*'xdx,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268、用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309,梯形公式的彳t数精度为1.辛卜生公式的代数精度为30；3xi+5x2=17产)=(15x2k)/3-=<16、求解方程组P2x1+f(x)dx ： “ Akf(xk)18、求积公式akR的代数精度以(

5、高斯型)求积公式为最高，具=0的高斯塞德尔迭代格式为_2y)=-X，20该迭519、 已知f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求积公式求1f(x)dx(12)。20、 设f(1)=1,f=2,f(3)=0,用三点式求气2.5)。21、如果用二分法求方程x3+x-4=0在区间1，2内的根精确到三位小数，需对分(10)X30MxM1S(X)一-(x-1)3a(x-1)2b(x-1)c1_x_322、已知2是三次样条函数，则a=(3),b=(3),c=(1)。23、l0(x),l1(x),ln(x)是以整数点x0,x1,xn为节点的Lagrange插值基函数，则nnn_lk(x)xk

6、lj(xk)x(xk,xk,3)lk(x)y(1),k=0(j),当n之2时y(24、解初值问题y = f (x, y)I y(x0)= y0的改进欧拉法yn°1=yn+hf(xn,yn)h0、，yn1=ynf(xn,yn)f(xn1,yn1)(x»1)的形式，使计算结果较精确3位小数，则需要对分 J02是28、S(x)=«32x3,0MxM1ax2bxc,1ExW2是3次样条函数，则,要求误差不超过10K,利用余项公式估计，至少用4771Xedx29、若用复化梯形公式计算°个求积节点。x1+1.6x2=130写出求解方程5+)=1-1.6x2k)k_0

7、L岁)=2+0.4xS一,迭代矩阵为.0.4为+x2=2的0-1.6、Gauss-Seidel迭代0-0.64人此迭代法是否收敛收敛公31、43/，则1Ag=9，一4221732、设矩阵136的A=LU，则U=261233、若f(x)=3x4+2x+1,贝送商f2,4,8,16,32=1.2.f(x)dxf(-1)8f(0)f(1)34、数值积分公式9的代数精度为35、线性方程组1的最小二乘解为2136、设矩阵1、2、3、4、一32-111451分解为A=LU,则U=、单项选择题:Jacobi迭代法解方程组Ax=b的必要条件是A.A的各阶顺序主子式不为零Ca.=0,i=1,2,n一200-3I

8、1-7一,则（川为（C）.B.D.A.C.5、A.C.A.2B.5C.7三点的高斯求积公式的代数精度为（BA.2B.5C.3求解线性方程组对称阵任意阵舍入误差是（只取有限位数观察与测量1110321万一C)。7(A)：二1D.D.4Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是（B）。D.各阶顺序主子式均不为零）产生的误差。B.模型准确值与用数值方法求得的准确值D.数学模型准确值与实际值6、3.141580是冗的有(B)位有效数字的近似值。A.6B.5C.4D.77、用i+x近似表示e所产生的误差是(C)误差。A.模型B.观测C.截断D.舍入8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A)。A

9、.控制舍入误差B.减小方法误差C.防止计算时溢出x9、用1+3近似表示3,"X所产生的误差是(D)误差。A.舍入B.观测C.模型D.截断10、-324.7500是舍入得到的近似值，它有(C)位有效数字。A.5B.6C.7D.811、设f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4，则抛物插值多项式中x2的系数为(A)A.-0.5B.0.5C.2D.-212、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C)。A.3B.4C.5D.213、(D)的3位有效数字是0.236X102。(C) 235.418 (D) 235.54X 10- 114、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根,(A)0.00235

10、49X103(B)2354.82X10-2把方程f(x)=0表示成x=%x),则f(x)=0的根是(B)。(A)y=中(x)与x轴交点的横坐标(B)y=x与y=邛(x)交点的横坐标(C)y=x与x轴的交点的横坐标(D)y=x与yN(x)的交点3x1-x24x3=1一一x1+2x2-9x3=015、用列主元消去法解线性方程组4"-3刈+x3=-1,第1次消元，选择主元为(A)。(A)-4(B)3(C)4(D)916、拉格朗日插值多项式的余项是(B)，牛顿插值多项式的余项是(C)(A)f(x,x0,x1,x2,xnx®(xx2)(xxn1)(xxn),Rn(x) =f(x) _

11、Pn(X)=f(n 1)()(B)(n 1)!(C)f(x,x0,x1,x2,xn)X0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn),f(n0()Rn(x)=f(x)_Pn(x)=；)！"(x)17、等距二点求导公式f(x1)MA)。(A)f(x1) f(x0)x1 -xof(x1) -f(xo)(B)xo x1f(xo) f(x1)(C)xo -x1(D) f(x1)- f(xo)x1 xo18、用牛顿切线法解方程f(x)=0,选初始值xo满足(A),则它的解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程f(x)=O的根。(A) f(xo)f(x).O(B)f(x0)f(x)O(C)f(x

12、0)f(x)；O(D)f(x。)f(x)：二O2 x(A)1x -119、为求方程x3-x2-1=0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A)。，一，、1迭代公式：xk1=.xk-11、1x=1+2",迭代公式：xk*=1+2"(B) xxk(C) x3=1+x2，迭代公式：xk书=(1+x2)1/32x3-1=x2，迭代公式：xk书=1-2Xk(D) x2xk1；y'=f(x,y)=20、求解初值问题J(xo)=y0欧拉法的局部截断误差是()；改进欧拉法的局部截断误差是()；四阶龙格库塔法的局部截断误差是(

13、A)(A)O(h2)(B)O(h3)(C)O(h4)(D)O(h5)(k1)(k)21、解方程组Ax=b的简单迭代格式x=Bx+g收敛的充要条件是()。(1)P(A)C1,(2)P(B)<1,(3)P(A)>1,(4)P(B)>1,nb.af(x)dx：(b-a)“C”f(xi)22、在牛顿-柯特斯求积公式：口中，当系数Ci是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当()时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。(1)n28,(2)n之7,(3)n210,(4)n之6,23、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是

14、()。(1)二次；(2)三次；(3)四次；(4)五次-,yn1=yn24、若用二阶中点公式一一 hhf (Xnyn2h-+2Xn,yn)求解初值问题y=_2y,y(0)=1,试问为保证该公式名对稳定，步长h的取值范围为()。(1)0<h<1,(2)0<h<1,(3)0<h<1,(4)0h<1(A)28 163；(b)(4-26)2.26、已知S(x)= «32(x -1) a(x -2) b1616(C)(4 + 2底)2 ；(D)(73+1)4 o0 _ x _22 M x w 4是三次样条函数，则 a, b的值为(25、取Jft1.732

15、计算x=(J3D4,下列方法中哪种最好？()(A)6,6;(B)6,8;(C)8,6;(D)8,8。27、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是()xi11.522.533.5f(xi)-10.52.55.08.011.5(A)5;(B)4；(C)3;(D)2。bff(x)dx定Af(x)+4f(x?)十Af(x)生丹/一、n印，3八”28、形如a''''''''的图斯(Gauss)型求积公式的代数精度为()(A)9;(B)7;(C)5；(D)3。29、计算百的Newton迭代格式为()(A)xk _32%

16、x.1 =%(B)22xk ；(C)x.1 =匹2xk . (D)3十xk o30、用二分法求方程32_ .、x +4x -10 =0在区间1,2内的实根，要求误差限为次数至少为()(A)10;(B)12;(C)8；(D)9。31、经典的四阶龙格一库塔公式的局部截断误差为(A)O(h4);2(B)O(h2)；(C) O(h5)；(D) O(h3)。32、设(A)x；li(x)是以(k=0,1,川,9)为节点的Lagrange插值基函数，贝U33、5个节点白牛顿-柯特斯求积公式，至少具有(D)1。)次代数精度(A)5；(C)6；34、已知(A)6,6;(B)4;(C)6;(D)3。x30MxM2

17、S(x)=32(xT)*a(x2)+b2<x4是三次样条函数，则(B)6,8;(C)8,6;(D)8,8。9'kl"kkk=0a,b的值为(35、已知方程=2不收敛的是(x01234f(x)1243-5确定的唯一插值多项式的次数为(B)2；(D)3。()3qZxk1",23Xk1(A)xk书=V2xk+5；(B)xk；(C)xk41=%一%一5；(D)36、由下列数据(A)4；(C)1；2x3523x2-2。37、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为()(A)8；(B)9；(C)10；(D)11。是非题(认为正确的在后面的括弧中打&否则打父)

18、1、已知观察值(Xi，yi)(i=0，12,m),用最小二乘法求n次拟合多项式Pn(x)时,pn(x)的次数n可以任意取。2、2X用1- 2近似表示cosx产生舍入误差。(x -X0)(x -X2)3、(x1 -x0)(x1 -x2)表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。5、矩阵A=四、计算题:3-211、351具有严格对角占优。4x1 2x2 x3 = 11x1 4x2 2x3 = 181、用高斯-塞德尔方法解方程组12x1 + X2 + 5X3 = 22 ,取X 求按五位有效数字计算)。(0) =(0,0,

19、0)T ,迭代四次(要答案：迭代格式(k 1)Xi(k 1)*2x3k1)1(k)(k)、= (11-2x2 一 x3 )4(18-x1(k1) -2x3k)4= -(22-2x1(k 1) -x2k 1)52、求 A、B使求积公式1. 1f(X)dX： Af(-1) f(1) Bf(-2) f(2)的代数精度尽量高，并求其代数精度；利用此公式求21I dx1 x(保留四位小数)。kx1(k)x2k)x3k)000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.7019求积公式为3当f(x)

20、 = x时，公式显然精确成立；当214f(x) = x时，左=5 ,右=3。所以代2.答案：f=1,x,x是精确成立，即2A2B=2122A+B=、23数精度为3"=Idx1 一 X2 I 1,1 r 1 dt9-13勺9卷"30.692861403、已知xi1345f(xi)2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(X)的三次插值多项式P3(X),并求f(2)的近似值(保留四位小数)。(x3)(x4)(x5)(x_1)(x_4)(x-5LalX)_26答案：(1-3)(1一4)(1-5)(3-1)(3一4)(3一5)(x-1)(x-3)(x-5)(x-1)(x-3)(

21、x-4)54(4-1)(4-3)(4-5)(5-1)(5-3)(5-4)差商表为xiV一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-101/41P3(x)=N3(x)=22(x-1)-(x-1)(x-3)(x-1)(x-3)(x-4)4f(2)：P3(2)=5.54、取步长h=0.2,用预估-校正法解常微分方程初值问题y=2x+3yy(0)=1(0<x<1)yn0)1=yn0.2(2xn3yn)答案：解：yn1=yn0.1(2xn3%)(2%13丫：0)1)即yn1=0.52xn1.78yn0.04n012345xn00.20.40.60.81.0yn11.825.87961

22、0.713719.422435.02795、已知xi-2-1012f(xi)42135求f(x)的二次拟合曲线P2(x),并求f'(0)的近似值答案:解:ixiV2xi3xi4xixiV2xiYi0-244-816-8161-121-11-22201000003131113342548161020015100343415a010a2=15，10ai=3正规方程组为J0a0+34a2=411114103a。=,a1=,a2710f（0）：p2410P2（X）711Ax -1014/、311P2（x）x1076、已知sinx区间0.4,0.8的函数表x0.40.50.60.70.8y0.3

23、89420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差M3|R2（x）|j|'3（x）|尽量小，即应使僧3（x）|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点0.5，0.6，0.7最好，实际计算结果Sin0.63891忠0.596274,sin0.638910.5962741<(0.63891-0.5)(0.63891-9-0.6)(0.63891-0.7)-4<0.55032107、构造求解方程ex+10X-2=0的根的迭代格式xn41=中

24、(xn),n=02，讨论其收敛4性，并将根求出来，|xn书-xnk100X答案：解：令f(x)=e+10X2,f(0)=2<0,f=10+e>0.且f(x)=eX+10>0对寸xw(-巴+巧)，故f(x)=。在(0,1)内有唯一实根.将方程f(x)=0变形为1xx=(2-ex)10则当乂三（0,1）时1 丫中y,I9'(x) |= -x e10故迭代格式xn1q(2-exn)收敛。取x0=0.5,计算结果列表如下:n0123xn0.50.0351278720.0964247850.089877325n4567xn0.0905959930.0905173400.0905

25、259500.090525008且满足|x7-x6产0.00000095<10"6.所以x*定0.090525008|xi2x23x3=14«2xi+5x2+2x3=188、利用矩阵的LU分解法解方程组工3x1*x2+5x3=20。一1123A=LU=211-4答案：解：.3-51上-24JLy=b得y=(14,10,72)T,Ux=丫得乂=(1,2,3)T.3xi2x210x3=15,10x14x2X359、对方程组、2xi+10x24x3=8(1)试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；(2)取初值x(°)=(0,0,0)T,利用(1)中建立的迭

26、代公式求解，要求|x(k1)_x(k)|:.：10解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优10x1 - 4 x2 -x3 = 52x1+10x2-4x3=83x12x210x3=15故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为x(k ) -4x2k)x3k) - 5)x"S(一2x1"x3k)- 2x2k R(n)(f) <(b-a)312n2只要4x3k)8)15)取x(0)=(0,Q0)T,经7步迭代可得:x*x(7)-(0.999991459,0.999950326,1.000010)T10、已知下列实验数据xi1.361.952.16f(xi)16.84417

27、.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据1解：当0<x<1时，f"(x)=ex,则f"(x)we,且ledx有一位整数.要求近似值有5位有效数字，只须误差即可，解得R1(n)(ex)pp1eeI4-2 21012n212n22n-e102=67.30877,6所以 n=68,因此至少需将0,1 68 等份。一15-1-411卬1 -413 x2-1211、用列主元素消元法求解方程组11解:一15-1-4-4-127 r2 , 7一51-4-13 -12-4111112 一15 . Jr 2r3 一15r 1 r3213.?回代得-4_ 151

28、35135-12251515亘1385795-12 1795513x3 = - 1, x2 = 6, x1=3012、取节点 x0 =0,X1 =0.5，X2=1 ,求函数f(x)5-43-12013_ 1795550128 555_x=e在区间0,1上的二次插值多项式B(x),并估计误差。解:P2(x)l U(x 0)(x-1)(0.5-0)(0.5-1)(x-0)(x-0.5)e(1-0)(1-0.5)-05/=2(x0.5)(x-1)4e.x(x-1)2ex(x-0.5)f(x)=e'f(x)-e"x,M3=max|f(x)|=1又x-0,1故截断误差|R2(x)|=|

29、e-x-P2(x)花工|x(x一0.5)(x一1)|3!013、用欧拉方法求,、xt2,y(x)=0edt在点x=0.5,1.0,1.5,2.0处的近似值xf2解：y(x)=Cedt等价于-x2y(0)=0(x0)2记f(x,y)=e，取h=0.5,x0=0，xi=0.5,x?=1.0,x?=1.5,x4=2.0则由欧拉公式Dn由=yn+hf(xn,yn)J0=0n=0,1,2,3可得y(0.5)：y1=0.5,y(1.0)=y2:0.88940y(1.5)：y3=1.07334,y(2.0)=y41.12604x14、给定方程f(x)=(x-1)eT=01)分析该方程存在几个根；2)用迭代法

30、求出这些根，精确到5位有效数字；3)说明所用的迭代格式是收敛的。x解：1)将方程(x-1)e-1=0(1)改写为x-1=e«(2)x*作函数f1(X)=X1,f2(X)=e的图形(略)知(2)有唯一根Xu(1,2)2)将方程(2)改写为x=1+e'Ok书=1+eTk构造迭代格式入4.5(k=0，1,2,)计算结果列表如下：k123456789xk1.223131.294311.27409)1.279691.278121.2785i61.278,441.278471.278463)*(x)=1+e”,中'(x)=w"当xw1,2时，5(x)wW(2)W(1)u

31、1,2,且.1|:(x)|<e-：1所以迭代格式xk第=CP(xk)*=0，1,2:)对任意功1£1,2均收敛。15、用牛顿(切线)法求疵的近似值取x0=1.7,计算三次，保留五位小数。解：V3是f (x) =x2 -3=0的正根,f'(x)=2x,牛顿迭代公式为xn 1 - xnx2-3xn3xn 1 =(n =0,1,2,)22xnn123xn1.732351.732051.73205即取x0=1.7,列表如下:16、已知f (-1)=2, f (1)=3, f (2)=-4,求拉格朗日插值多项式L2(x)及f (1, 5)的近似值, 取五位小数。L2(x) =2

32、解：(x-1)(x-2) (x 1)(x-2) (x 1)(x-1)3- 4(-1-1)(-1-2)(1 1)(1 -2)(2 1)(2-1)234=-(x-1)(x-2)-(x1)(x-2)-(x1)(x-1)323,1f(1.5)：L2(1.5)=0.041672417、n=3,用复合梯形公式求gxXeLu的近似值(取四位小数)，并求误差估计,exdx电丁3=0e0+2(e1'3+e2''3)+e1之1.7342解：0323f(x)=ex,f“(x)=ex,0WxW1时，|f"(x)|We|R|TeXF 性e- 212 32e一二0.025<0.05

33、108至少有两位有效数字。-3118、用Gauss-Seide迭代法求解线性方程组<1取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。解：Gauss-Seidel迭代格式为：301f 9y = x + y1-31kx1(k)x2k)x3k)11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.526系数矩阵J-14一严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.取x=(0,0,0)T,列表计算如下：=19、用预估一校正法求解J=1(0<x<1),h=0o2,取两位小数。解：预估一校正公式为yn+=yn二(k1*k2)2，

34、k1=hf(Xn,yn)k2=hf(Xn+h,yn+k1)、n=0,1,2,其中f(x,y)=x+y,y0=1,h=0.2,n=0,1,2,3,4,代入上式得:n12345xn0.20.40.60.81.0yn1.241.582.042.643.42y=a+bx2的经验公式拟合以下数据:20、(8分)用最小二乘法求形如x19253038V19.032.349.073.3一2、解：=span1,xAT解方程组111252312382_yT = 19.0 32.3 49.0 73.3ATA =其中解得:433913391 3529603C _ 0.92555771110.0501025AT y =

35、173.6占799807 _所以 a =0.9255577b =0.0501025ATAC=ATy1e"dx21、（15分）用n=8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算时，试用余项估计其误差。用n=8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值。RTf = fh2f) CV'e 1212 8h7T(8) =hf(a) 2% f(xk)f(b)2k 1解:12 80 = ' = 0.001302 768112(0.88249690.77880080.606530660.53526140.472366550.41686207)0.3678794

36、7=0.632943422、（15分）方程x3-x-1=0在x=1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）x=3/x+1对应迭彳t格式xn*=3；xn+1；（2）x3x = 1.5附近的根,迭代格式4+=xn-1。判断迭代格式在x0=1.5的收敛性，选一种收敛格式计算精确到小数点后第三位。解：（1）2：(x)=工(x 1) 33(2)(x)二2x2.1 1 x(3)叫x)=3x2, W (1.5)"(16 =0.18<1,故收敛;"=0.17<1,故收敛；2,=3 1.5 >1,故发散。选择(1)：%=1.5Xi=1.3572x2=1.3309x3

37、=1.3259x4=1.3249x5=1.32476x6=1.3247223、（8分）已知方程组AX=f,其中431一241A=34-1f=30-14J,24(1) 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。解：Jacobi迭代法:(2) 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。x1(k1)(243x2k)41)=1(30-3x1(k)x3k)4xT=-(-24x2k)4k=0,123,x尸=1(243x2k)4Jxr)=1(30-3xi(k+)+x3k)xk)=1(-24+x")4Gauss-Seidel迭代法：工k=0,1,2,3,一0-%01P(Bj)=瓦(或

38、詈)=0.790569Bj=-D(L+U)=)034.0%0一24、1、(15分)取步长h =0.1 ,求解初值问题 典的四阶龙格一库塔法求y(0.1)的值。dy = -y +1 dxy y(°) =1用改进的欧拉法求y(0.1)的值；用经yn0)1=ynhf(xn,yn)=0孙口0.1h(o)yn1=yncf(xn,yn)f(xn1,yn)1)=0.905y”0.095解：改进的欧拉法：2所以yg。=y1=1；经典的四阶龙格一库塔法：hYn41=yn+-k1+2k2+2k3+k46k1=f(xn,yn)hh«k2=f(xn+-,yn+-k1)k3=f(xn+1，yn+hk

39、2)、k4=f(xn+h,yn+hk3)k1=k2=k3=k4=0所以y(0.1)=y1=110xf(x)dx.S(x)=Af+Bf十C十D试确定参数A,B,C,D使公式代数精度尽14量高；(2)设f(x)uC 0,1,推导余项公式R(x) = xf(x)dx-S并估计误差。28A30701c123A=,B=,B=,D=解：将f(x)=1,x,x,x分布代入公式得：20203020'山(为)=f(xj-构造Hermite插值多项式H3(x)满足F3(X)=f(X) - - 0 - - 1 =0：1 二0-1 -1-0=0,1其中x0=0,x1=11f(4)()2.o0xH3(x)dx=

40、S(x)f(x)-H3(x)=4x(x-1)入JHi),11R(x) = 0xf(x) S(x)dx= 0f(4)()4!x3(x - 1)2dxf(4) ( ) 14!026、用二步法32 ,x (x -1) dx =f(4)( ) LX )4! 601440yn1=zyn.iynh口(xn,yn)(1-r)f(xn，yn)V=f(x,y)=并求局求解常微分方程的初值问题、y(x。)=y0时，如何选择参数a0，a1，e使方法阶数尽可能高,部截断误差主项，此时该方法是几阶的解:Rn,h=y(xn 1) -yn 1 = y(xn) hy (xn)h22 yg2h33!3y (xn)0y(xn)

41、- ： 1(y(xn) -hy (xn)2!y (xn)-3!y (xn)卜2h3-hpy(xn)(1-)(y(xn)-hy(xn)y(xn)-y(4)(xn)2!3!=(10-：1)y(xn)h(1-111)y(xn)n1：,Q1h(-V1-")y(xn)h(2261u)y(xn)O(h4)=1=0所以l2-h3主项：12y(Xn)该方法是二阶的。27、(10分)已知数值积分公式为:h0 f(x)dx :hf(0)f(h)-hf'-f'(h)2，试确定积分公式中的参数九，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。f (x) = X时hxdx=h222解：f(x

42、)=1显然精确成立;h20hh21-12;h2hh22h1f (x) =x2 时,f (x) =x3时,f (x) =x4 时,xdx0hh0-2h=-2h=)32212；h3hh3122)xdx=1=万0h石h03hu,5,/,5x4dx:一0h4-h20-4h3二一)52126；所以，其代数精确度为3。28、(8分)已知求Va(a>0)的迭代公式为:1axk1=)x00k=0,1,22xk证明：又一切k=1,2,，xk之Ja,且序列LJ是单调递减的，从而迭代过程收敛。xk1=7(xk-)二2xk=.ak=0,1,2证明：2xk2xk故对一切k=1,2,xk*Ma。7=2(1+)>

43、;2"1)=1：J x sin x 144*x*<xg丽又xk2xk2所以xk由*xk,即序列xk是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。3,3,f(x)dxff(2)29、(9分)数值求积公式°2是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？x-2x-1p(x)-f(1)-f(2)解：是。因为f(x)在基点1、2处的插值多项式为1-22-133p(x)dx工f(1)f(2)02。其代数精度为1。30、(6分)写出求方程4x=CosX)+1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。xn1="=11COSxn1对任意白初值x0 0,1 ,迭代公式都收敛。

44、(6分)4,n=0,1,2,31、（12分）以100,121,144为插值节点，用插值法计算J115的近似值，并利用余项估计误差。用Newton插值方法：差分表:=10.7227555f'''100100.0476190121110.0434783-0.000094113614412115 ： 10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)(115 -1001115-121/15-144)3!1 3-5-100 2 15 6 29 0.0016368I =32、（10分）用复化Simpson公式计算积分1sin

45、xdx50 x 的近似值，要求误差限为0.5 m 10 。Si =-f(0)+4f f6 112，J= 0.946145881,，S2 = f 0 +4f12、12f 2 4f 3f1=0.946086931I -S2 ： 15 S2 -S10.393 10-5IS2 = 0.94608693或利用余项:f(452x7 2!49 4!2= 1- 3!468x x x 1 - 5!7!9!f(4)x±5r=32880n4f (4)三2880 5n4_5三 0.5 10n 之 21fts2 一33、(10分)用Gauss列主元消去法解方程组:x14x22x3=243x1x25x3=342

46、x16x2x3=273.00001.00005.000034.00000.00003.66670.333312.66670.00005.3333-2.33334.33333.00001.00005.000034.00000.00005.3333-2.33334.33330.000001.93759.6875x=(2.0000,3.0000,5.000034、(8分)求方程组,3(ATAX = ATb91<x25、2的最小二乘解。6 Yx1、(8、14小2011.3333、 x =I 2.0000 /若用Householder变换，贝U:-1.73205 -3.46410(A,b”0-0.

47、366030-1.366034.61880、-1.52073-2.52073,-1.73205-3.46410-4.618801.414212.828430.81650 ,最小二乘解:(-1.33333 , 2.00000) T.35、(8分)已知常微分方程的初值问题：；dy/dx = x/y, 1 < x 1.2J(1)=2用改进的Euler方法计算y(12)的近似值，取步长h=0.2。k1= f(x0 ,y0)= 0.5k2= f (x1,y0+hk1) = 1.1/(2 + 0.2 父 0.5 )= 0.5238095hy1 = y0 k1k2 = 2 0.10.5 0.52380

48、95 = 2.1071429236、(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：xf x dx ： A0 f 工Ai f 102取f(x)=1,x ,令公式准确成立，得：:12A0+AdA0=3f(x)=x 2时，公式左右=1/4; f(x)=x 3时，公式左=1/5, 公式右=5/24公式的代数精度=2A= 137、(15分)已知方程组 Ax=b，其中 22 -2111 b= 22 1?j(1)写出该方程组的 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式;(2)判断(1)中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快;解：(1) Jacobi迭代法的分量形式X1(k1) =1.2 x2k) 2 x 3k)，x2k #)=2 -X1(k)-x3k) ;k =0,1,2 川 x3k*) =3-2x(k) -2x2k)Gauss-Seidel迭代法的分量形式x1(k 1) =1.2 x2k)2 x3k)x2k 1)=2 - x(k 1)-x3k) ;k =0,1,2,