全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试卷

1、2010年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试题一、选择题1已知为内一点，若对任意，有则一定是（ ）A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D不能确定2已知，且对任意都有；则的值为（ ）A B C D3已知函数,集合,集合,则在平面直角坐标系内集合所表示的区域的面积是 （ ）A. B. C. D.4.一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数,那么积等于（ ）A3 B4 C6 D125设函数满足下列条件：是定义在R上的奇函数；对任意的（其中常数），当时，有则下列不等式不一定成立的是 （ ）ABCD6.圆周上有10个等分点，

2、则以这10个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中，梯形所占的比为（ ）A B C D二、填空题1已知函数，则_2不等式对一切非零实数均成立,则实数的最大值是_3已知点列部分图象如图所示，则实数的值为_4若对恒成立，则常数的最小值为；对任意锐角，均有成立，则的最大值为5已知圆的半径为1，半径、夹角为，为常数，点C为圆上动点，若 ()，则的最大值为6.以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）.那么原闭区间

3、上（除两个端点外）的点，在第次操作完成后（），恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为_24三、解答题1（1）设求证：（2）设求证：2已知数列记时，问是否存在正整数m，使得对于任意正整数n，都有？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由3如图，四边形的两条对角线相交于点，的平分线交线段于，连接，作且为边的中点，求证：4 在平面直角坐标系内，画出同时满足以下条件的所有矩形：（1）这些矩形的各边均与两坐标轴平行或重合；（2）这些矩形的所有顶点（重复的只计算一次）恰好为100个整点（横纵坐标均为整数的点称为整点）问：最多能画出多少个这样的矩形，说明你的理由参考答案一、选择题1A2B3C提示：由已知可得

4、M=（x,y)|f(x)+f(y)0=(x,y)|(x-2)2+(y-2)22,N=(x,y)|f(x)-f(y)0=(x,y)|(x-y)(x+y-4)0.则M N=作出其交集部分可得如图所示，其面积为圆面积的一半，即为·（）2=，故应选C.4C提示：利用等体积法，可以求出，所以m·n等于65C6D 任选4点，共有个凸四边形，其中梯形的两条平行边可以从5组平行于直径的5条平行弦中选取，也可以5组从不平行于直径的4条平行弦中选取，去除矩形，梯形共有60个，所以，梯形所占的比为二、填空题16 2。 3 4； 2 56.三、解答题1（1）设求证：（2）设求证：证明：（1） （2

5、）由（1）得类似的2已知数列记时，问是否存在正整数m，使得对于任意正整数n，都有？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由。解：当，即，所以，的等比数列。可见，若存在满足条件的正整数m，则m为偶数。3如图，四边形的两条对角线相交于点，的平分线交线段于，连接，作且为边的中点，求证：证明：平分 又 将代入，得 即 四点共圆. 得分别取的中点，连接则为平行四边形.4 在平面直角坐标系内，画出同时满足以下条件的所有矩形：（1）这些矩形的各边均与两坐标轴平行或重合；（2）这些矩形的所有顶点（重复的只计算一次）恰好为100个整点（横、纵坐标均为整数的点称为整点）问：最多能画出多少个这样的矩形，说明你的理

6、由。证明：（1）先证明这样的矩形不超过2025个。任取定100个整点。设为所取定的100个整点中的一个，我们称以为一个顶点，另外三个也取自100个整点，且边均与两坐标轴平行或重合的矩形为“好的”。下证：至多有81个“好的”矩形。事实上，过作平行于两坐标轴的直线，并设上有个点取自所取定的100个整点，上有个点取自所取定的100个整点，设点为所取定的100个整点中的一个，且不在和上，则至多有一个“好的”矩形以为其一个顶点，而这样的点至多有个，且每一个“好的”矩形必有一个顶点为这样的点，于是若,则“好的”矩形至多有个；若考虑点对，其中，可知每一对至多形成一个“好的”矩形，故“好的”矩形的个数个。综上可知，对所取定的100个整点中的任意一点，以为其一个顶点的“好的”矩形至多8