全国高中数学联赛四川初赛试题word版附答案

1、2016年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、在中，设内角A、B、C的对边长分别为a，b，c命题p：B+C=2A,且b+c=2a；，命题q：是正三角形，则命题p是命题q的( ) A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件6 D、既不是充分条件也不是必要条件2、若i为虚数单位，复数，则的值是( ) A、-1B、-iC、iD、13、已知函数当时，记的最小值为m，则m的最大值是( ) A、-2B、0C、D、14、对任意正整数n与k（），表示不超过，且与n互质的正整数的个数，则 A、11 B、13C、14D、195、设数列满足： 其中x

2、 表示不超过实数x的最大整数，为前n项和，则的个位数字是( ) A、1 B、2C、5D、56、已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且,则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值是( ) A、 B、C、1D、二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、在的展开式中的系数是 （用具体数字作答）8、若实数构成以2为公比的等比数列，构成等比数列，则的值为 9、已知正四棱锥S-ABCD侧棱长为4，ASB=，过点A作截面与侧棱SB、SC、SD分别交于E、F、G，则截面AEFG周长的最小值是 10、已知的外心为O，且0,则的值是 11、实数满足，则的最大值是 12、对于任何集合S，用表

3、示集合S中的元素个数，用n(S)表示集合S的子集个数.若A、B、C是三个有限集，且满足条件：;则的最大值是 三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、设等比数列的前项和为，且（为常数），记 （1）求数列的前项和；（2）若对于任意的正整数，都有成立，14、已知、为正实数，求证：15、已知抛物线y2=2px过定点C(1,2)，在抛物线上任取不同于点C的一点A，直线AC与直线y=x+3交于点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点B（1）求证：直线AB过定点；（2）求ABC面积的最小值16、已知为实数，函数f(x)=|x2-ax|-lnx，请讨论函数f(x)的单调性 2016年（四川）

4、初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、A 2、D 3、C 4、C 5、A 6、B 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 7、170 8、 9、 10、 11、 12、2015 三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、设等比数列的前项和为，且（为常数），记 （1）求数列的前项和； （2）若对于任意的正整数，都有成立，求实数的最大值解：（1）由条件易知,又由得 5分于是故，因此 由-得：，故所以，数列的前项和为 10分(2) 因为，构造，则， 15分于是严格单增，则的最小值为，即实数的最大值是 20分14、已知、为正实

5、数，求证：证明：（1）先证： 等价于证明：， 令，由不等式知结论成立 5分 （2）再证： （*）由于不等式是轮换对称的，不妨设，则当时，结论显然成立；当时，令，则， 10分故均大于0. 不等式（*）变为： 只需证：， 15分 注意到：，则, 同理：，所以，原不等式成立 20分15、已知抛物线y2=2px过定点C(1,2)，在抛物线上任取不同于点C的一点A，直线AC与直线y=x+3交于点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点B（1）求证：直线AB过定点；（2）求ABC面积的最小值解：（1）由抛物线y2=2px过定点C(1,2)，可得抛物线方程为y2=4x设点A坐标为(,y0)( y02)，则直线A

6、C的方程为y-2=(x-1)，即y-2=(x-1)，与y=x+3联立解得P点坐标为(,) 5分所以B点坐标为(,)当=12时，A坐标为(3,y0)，B点坐标为(3,)，直线AB过定点Q(3,2)当12时，直线AB的方程为y- y0=(x-)，化简得，y- y0=(4x-)，（或：y- y0=( x-)，）易得，直线AB也过定点Q(3,2) 10分法2：由抛物线y2=2px过定点C(1,2)，可得抛物线方程为y2=4x设直线AB的方程为x=my+a，与抛物线方程联立得，y2-4my-4a=0设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=4m，y1y2=-4a，P点坐标为B(y2-3,y2)

7、，因为AP过定点C，所以=，又x1=my1+a，所以(m-1)y1y2-(2m-4)y1+(a+1)y2-2a-6=0 5分将y1y2=-4a，y2=4m-y1代入上式，得(-2m+3-a)y1+(2a+4m-6)=0即(-2m+3-a)(y1-2)=0因此式对任意y12都成立，所以-2m+3-a=0，即3=2m+a，因此直线x=my+a过定点Q(3,2) 10分（2）由（1）可设直线AB的方程为x-3=m(y-2)，与抛物线方程联立得y2-4my+4(2m-3)=0则y1+y2=4m，y1y2=4(2m-3)，SABC=|CQ|y1-y2|=|y1-y2|=4 所以当m=1时，ABC面积的最

8、小值为4 20分16、已知为实数，函数f(x)=|x2-ax|-lnx，请讨论函数f(x)的单调性解：由条件知函数的定义域为（1) 若a0，则f(x)= x2-ax-lnx， 于是，令，得，所以，在(0,)上单调递减，在(,+)上单调递增5分 （2）若a0，则f(x)= ， 先讨论g(x)=x2-ax-lnx (xa)的单调性 g (x)=2x-a-=令g (x)=0，得x=0，当a，即a1时，g(x)在(a,)上单调递减，在(,+)上单调递增；当a，即a1时，g(x)在(a,+)上单调递增 10分 再讨论当a0时，h(x)=-x2+ax-lnx (0xa)的单调性h (x)=-2x+a-=当D=a2-80，即0a时，h (x)0，h(x)在(0, a)上单调递减；当D=a2-80，即a时，令h(x)= 0，得a，所以h(x)在(0,)，(,a)上单调递减