第3课时 切线长定理

1、第3课时 切线长定理 【知识与技能】理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念.【过程与方法】利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题，掌握三角形内切圆和内心的概念.【情感态度】经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力.【教学重点】切线长定理及其应用.【教学难点】内切圆、内心的概念及运用.一、情境导入，初步认识探究 如图，纸上有一O，PA为O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B，回答下列问题：（1）OB是O半径吗？（2）PB是O的切线吗？（3）PA、PB是什么关系？（4）APO和BPO有何关系？学

2、生动手实验，观察分析，合作交流后，教师抽取几位学生回答问题.分析：OB与OA重合，OA是半径，OB也是半径.根据折叠前后的角不变，PBO=PAO=90°（即PBOB），PA=PB，POA=POB；APO=BPO.而PB经过半径OB的外端点，PB是O的切线.二、思考探究，获取新知1.切线长的定义及性质切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.我们知道圆的切线是直线，而切线长是一条线段长，不是直线.如右图中，PA、PB是O的两条切线，OAPA，OBPB.又OA=OB，OP=OP，RtAOPRtBOP，PA=PB，AOP=BOP，APO=BPO.由此我们

3、得到切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.【教学说明】这个定理要让学生分清题设和结论.题设：过圆外一点作圆的切线.结论：过圆外的这一点可作该圆的两条切线.两条切线长相等.这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.猜想：在上图中连接AB，则OP与AB有怎样的关系？分析：PA、PB是O的切线，A、B是切点.PA=PB，OPA=OPB，OPAB，且OP平分AB.2.三角形的内切圆思考 如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？【教学说明】引导学生分析作图的关键，假设圆已经作出，圆心应满足什么条件，怎样根据

4、这些条件确定圆心？圆心确定后，如何确定半径？教师引导，学生要互相讨论来解决这些问题.假设符合条件的圆已作出，那么这个圆与ABC的三边都相切，这个圆的圆心到ABC三边的距离都等于半径.又因为我们在角平分线这节中学过，三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等.因此，在ABC中，作B，C的角平分线BM和CN，它们相交于点I，则点I到AB、BC、AC的距离相等.以I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则I与ABC三边相切.内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三角形三边的距离相等.【教学说明】要让

5、学生对照图形理解三角形的内切圆的概念，并与三角形的外接圆进行比较.“接”和“切”是说明多边形的顶点和边与圆的关系；多边形的顶点都在圆上叫“接”，多边形的边都与圆相切叫“切”.三、典例精析，掌握新知例1 教材第100页，例2（本题较简单，教师指点，可由学生自主完成）例2 如图，P为O外一点，PA、PB分别切O于A、B两点，连接OP，交O于C，若PA=6.PC=23.求O的半径OA及两切线PA、PB的夹角.分析：连接OA，设AO=x，在RtAOP中利用勾股定理求出x，由切线长定理知APO=12APB.求出APO就可得APB.解：连接AO，PA是O的切线，PAOA，PAO为直角三角形.设OA=x，则

6、OC=x，在RtPAO中，OA2+PA2=OP2，x2+62=(2+x)2，解得:x=2.OA=2，OP=4，AOP=60°，APO=30°.APB=2APO=2×30°=60°.O的半径OA为2，两切线PA、PB的夹角为60°.【教学说明】例1、例2是利用切线长定理进行计算，在解题过程中，我们常常用方程来解决几何问题.例3如图，在ABC中，I是内心，BIC=100°，则A=_.分析：I是内心.BI，CI分别是ABC，ACB的平分线.ABC+ACB=2（IBC+ICB）.又BIC=100°，IBC+ICB=80°.ABC+ACB=160°.A=180°-160°=20°.【教学说明】指导学生利用三角形内心的性质解决问题.四、运用新知，深化理解课本第100页练习1、2题.【教学说明】教师引导学生完成课本练习.五、师生互动，课堂小结这节课学习了哪几个重要知识点？你有哪些疑惑？【教学说明】学生自主交流并发言总结，教师予以补充和点评，让学生完整地领会本堂课的知识要点.1.布置作业：从教材“习题24.2”中选取.2.完成练习册中本课时 练习的“课后作业