专题3数列的综合应用

1、专题3 数列的综合应用题型1 等差数列、等比数列的综合问题1. 已知是等差数列,其前n项和为,是等比数列,且,.(1)求数列与的通项公式;(2)记,证明:.解:(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,由,得,由条件,得方程组,计算得出,故,.(2)证明:方法一,由(1)得,;   (1);     (2);由(2)得,;而;故.方法二:数学归纳法,(3)当时,故等式成立,(4)假设当时等式成立,即,则当时有,.即,因此时等式成立.(3)(4)对任意的,成立.2. 数列的前项和为，已知，且，。（）证明：；（）求。答案（）证明：由

2、条件，对任意,有，因而对任意,，所以。两式相减，得，。又，所以，故对一切的，。（）解：由（）知，所以，于是数列是首项为，公比为的等比数列；数列是首项为，公比为的等比数列。因此，。于是。从而。综上所述，题型2 数列的实际应用3. 某住宅小区计划植树不少于棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数等于_。答案644解析本题主要考查等比数列的和。第一天是棵，第二天棵，所以第天是棵。，解得。所以的最小值为6。4. 某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第1名得全部资金的一半多一万元,第二名得剩下的一半多一万元,以名次类推得到剩下的一半多一万元,到第10名恰好资金分完,求此

3、科研单位共拿出多少万元资金进行奖励.解:设第十名到第一名得到的奖金分别是,则,每人所得奖金数组成一个以2为首项,公比为2的等比数列,此科研单位共拿出2046万元资金进行奖励.5. 某企业2010年初贷款a万元，年利率为r，按复利计算，从2010年末开始，每年末偿还一定金额，计划第5年底还清，则每年应偿还的金额数为（）万元6. 一学生参加市场营销调查活动,从某商场得到11月份新款家电M的部分销售资料.资 料显示:11月2日开始,每天的销售量比前一天多t台(t为常数),期间某天由于商 家提高了家电M的价格,从当天起,每天的销售量比前一天少2台.11月份前2天 共售出8

4、台,11月5日的销售量为18台.(I)若商家在11月1日至15日之间未提价,试求这15天家电M的总销售量.若11月1日至15日的总销售量为414台,试求11月份的哪一天,该商场售出家电M的台数最多?并求这一天售出的台数.解:(I)根据题意,商家在11月1日至15日之间家电M每天的销售量组成公差为t的等差数列,解之得因此,这15天家电M的总销售量为台.设从11月1日起,第n天的销售量最多,由(I),若商家在11月1日至15日之间未提价,则这15天家电M的总销售量为450台,而不符合题意,故; 若,则,也不符合题意,故因此,前n天每天的销售量组成一个首项为2,公差为4的等差数列,第天开始

5、每天的销售量组成首项为,公差为-2的等差数列.由已知条件,得,即解之得或(舍去19),出售家电M的台数为台故在11月12日,该商场售出家电M的台数最多,这一天的销售量为46台.题型3 数列与函数、不等式的综合7. 已知数列中,点(且)满足,则?答案时,代入,为定值.,数列是以1为首项,2为公比的等比数列.时,同样满足通项公式,数列的通项公式为8. 已知数列的通项公式为,数列的通项公式为,设若在数列中,对任意恒成立,则实数k的取值范围是答案解:若,则,则前面不会有的项,递增,递减,递减,当时,必有,即,此时应有,即,得,即,得,.若,则,同理,前面不能有项,即,当时,递增,递减,当时,.由,即,

6、得,由,得,得,即.综上得,.实数k的取值范围是.因此，本题正确答案是:.9. 已知奇函数是定义在R上的增函数,数列是一个公差为2的等差数列,满足,则的值等于 答案4003解:设,则,且,且.结合奇函数关于原点的对称性可以知道,.,即.设数列通项.通项.因此，本题正确答案是:4003.10. 定义函数,其中表示不小于x的最小整数,如,.当,时,函数的值域为,记集合中元素的个数为,则 答案解:根据题意易知:当时,因为,所以,所以,所以,;当时,因为,所以,所以,所以,;当时,因为,所以,所以,所以,;当时,因为,所以,所以,所以,;当时,因为,所以,所以,所以,由此类推:,所

7、以,即,以上个式子相加得,计算得出,所以,则,因此，本题正确答案是:.11. 已知单调递增的等比数列  满足  ,且  是  的等差中项.(1)求数列  的通项公式;(2)若   ,求  成立的正整数  的最小值.答案(1)  ,  ,  ,  ,  ,  或  ,  为递增数列，    (2)  ,错位相减得到   ,  ,  即  .12. 已知数列是首项为2的等差数列,其前n项和满足.数列是以为首项的等比数列,且.()求数列,的通项公式;()设数列的前n项和为,若对任意不等式恒成立,求的取值范围.解:()设等差数列的公差为d,根据题意得,计算得出,由,从而公比,.()由()知,又,对任意,等价于,对递增,.即的取值范围为.13. 设各项均为正数的数列的前项