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文档简介
1、第二章 导数与微分及导数的应用 一 导数的概念与导数的计算 1. 导数的晚概念及几何意义(1)导数的定义设函数在点的某一邻域内有定义,当自变量在点处有增量,函数就有相应的增量,若当时,极限存在,则称函数在点处可导,并称此极限值为函数在点处的导数,记为或.如果极限不存在,则称函数在点处不可导.导数概念是高等数学一个重要的基本概念,应深刻理解它的定义形式及实际背景.应注意以下两点:·导数的另一种表达形式为.· 对于固定的,要搞清与的差别.前者表示在点导数的值,而后者表示对常数求导数,因此.(2)导数的几何意义函数在点处的导数表示曲线在点处的切线的斜率,即,其中是在处切线的倾斜角
2、,如图2.1所示. 图2.1如果函数在点处连续,而导数为无穷大,即,则曲线在点处的切线垂直于轴.如果函数在点处可导,则曲线在点处的切线方程为:,法线方程为 (3)左、右导数左导数:右导数:函数在点处可导的充分必要条件是:在处的左、右导数均存在且相等,即.注意·可导与连续的关系若函数在处可导,那么函数必在处连续,反之,若函数在处连续,该函数在处未必可导.如函数在处连续但不可导,即函数在处可导是连续的充分条件,而连续是可导的必要条件.由此可知,若在处不连续,则在处必不可导.·分段函数在分界点处的导数函数在处可导的充要条件是在处的左、右导数均存在并相等,因此要求分段函数在分界点处
3、的导数,首先要求出该点的左导数和右导数,如果都存在并相等,那么函数在该点处可导,且;如果在处的左、右导数有一个不存在或者左、右导数都存在但不相等,那么函数在该点不可导.2. 求导数的方法(1)基本初等函数的导数公式 (为常数); (为任意实数); ; ; ; ; ; ;.(2)导数的四则运算法则若均为可导函数,则有:; (为常数);.(3)复合函数的求导法则设在点处可导,在对应的点处可导,则复合函数在点处可导,且或简记为.注意· 对复合函数求导时,先要搞清函数的复合过程,把函数分解成基本初等函数或基本初等函数的四则运算,然后按照复合次序由外向里,一层层地求导,直到对自变量求导,千万不
4、要漏导.(4)隐函数的求导法则与对数求导法 隐函数求导法则隐函数的特点是变量与的函数关系是隐藏在方程中的,当一个隐函数显化比较困难或不能显化时,可用隐函数的求导法则来求导.设函数是由方程确定的可导函数,则其导数可以由方程求得,具体求法可分两步:第一步:将方程两边对自变量求导,视为中间变量,得到一个关于的一次方程;第二步:解方程,求出.例如:求由方程所确定的隐函数的导数.解:方程两边同时对求导,得,即 ,故 . 对数求导法设,等式两边取自然对数有,然后两边再同时对求导得,等式两边同乘以即得.例如:求函数的导数.解:等式两边取对数得: ,上式两边对求导有: ,两边同乘以得: .一般地,若, .注意
5、· 隐函数求导法与对数求导法是两种特殊的求导方法.隐函数求导法适用于由方程所确定的函数不能显化或显化较困难时的一种特殊求导方法.对数求导法适用于对幂指函数或形如或等含乘、除、乘方、开方较多的函数的求导,利用对数求导的方法,可把对幂指函数的求导化为对隐函数的求导,把对乘积的求导化为和的求导,把对商的求导化为差的求导.在用隐函数求导法和对数求导法时,一定要注意此时是的函数,要运用复合函数求导法则,不要遗漏.· 在学完了偏导数之后,在求确定的隐函数的导数时,也可以按公式解之.· 利用一阶微分形式的不变性,对等式 两边求微分,然后解出,也可求出由确定的隐函数的导数.(5)参数方程所确定的函数的求导法设函数由参数方程给出,其中,在上可导,且,则.(6)几个初等函数的阶导数公式; ;,特别的,当时,有: .(7)参数方程的高阶导数求导法则设,均二阶可导,且,由参数方程所确定的函数的一、二阶导数: , .这里一定要注意,在求由参数方程确定的函数的导数时,是中间变量,而符号表示对
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