斐波那契数列算法分析

1、斐波那契数列算法分析 斐波那契数列算法分析背景：假定你有一雄一雌一对刚出生的兔子，它们在长到一个月大小时开始交配，在第二月结束时，雌兔子产下另一对兔子，过了一个月后它们也开始繁殖，如此这般持续下去。每只雌兔在开始繁殖时每月都产下一对兔子，假定没有兔子死亡，在一年后总共会有多少对兔子？在一月底，最初的一对兔子交配，但是还只有1对兔子；在二月底，雌兔产下一对兔子，共有2对兔子；在三月底，最老的雌兔产下第二对兔子，共有3对兔子；在四月底，最老的雌兔产下第三对兔子，两个月前生的雌兔产下一对兔子，共有5对兔子；如此这般计算下去，兔子对数分别是：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,

2、55,89, 144, .看出规律了吗？从第3个数目开始，每个数目都是前面两个数目之和。这就是著名的斐波那契（Fibonacci）数列。 有趣问题：1，有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?答：这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种方法所以，1，2，3，5，8，13登上十级，有89种。2，数列中相邻两项的前项比后项的极限是多少，就是问，当n趋于无穷大时，F(n)/F(n+1)的极限是多少？答：这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1+5)/2，这个就

3、是所谓的黄金分割点，也是代表大自然的和谐的一个数字。  数学表示：Fibonacci数列的数学表达式就是：F(n) = F(n-1) + F(n-2)F(1) = 1F(2) = 1 递归程序1：Fibonacci数列可以用很直观的二叉递归程序来写，用C+语言的描述如下：long fib1(int n)if (n <= 2)return 1;elsereturn fib1(n-1) + fib1(n-2);看上去程序的递归使用很恰当，可是在用VC2005的环境下测试n=37的时候用了大约3s，而n=45的时候基本下楼打完饭也看不到结果显然这种递归的效率太低了

4、！递归效率分析：例如，用下面一个测试函数：long fib1(int n, int* arr)arrn+;if (n <= 2)return 1;elsereturn fib1(n-1, arr) + fib1(n-2, arr);这时，可以得到每个fib(i)被计算的次数：fib(10) = 1fib(9) = 1fib(8) = 2fib(7) = 3fib(6) = 5fib(5) = 8fib(4) = 13fib(3) = 21fib(2) = 34fib(1) = 55fib(0) = 34可见，计算次数呈反向的Fibonacci数列，这显然造成了大量重复计算。我们令T(N)

5、为函数fib(n)的运行时间，当N>=2的时候我们分析可知：T(N) = T(N-1) + T(N-2) + 2而fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)，所以有T(N) >= fib(n)，归纳法证明可得：fib(N) < (5/3)N当N>4时，fib（N）>= (3/2)N标准写法：显然这个O（(3/2)N） 是以指数增长的算法，基本上是最坏的情况。其实，这违反了递归的一个规则：合成效益法则。合成效益法则（Compound interest rule）：在求解一个问题的同一实例的时候，切勿在不同的递归调用中做重复性的工作。所以在上面的代码中调

6、用fib(N-1)的时候实际上同时计算了fib(N-2)。这种小的重复计算在递归过程中就会产生巨大的运行时间。 递归程序2：用一叉递归程序就可以得到近似线性的效率，用C+语言的描述如下：long fib(int n, long a, long b, int count)if (count = n)return b;return fib(n, b, a+b, +count); long fib2(int n)return fib(n, 0, 1, 1);这种方法虽然是递归了，但是并不直观，而且效率上相比下面的迭代循环并没有优势。 迭代解法：Fibonacci数列用迭

7、代程序来写也很容易，用C+语言的描述如下：/也可以用数组将每次计算的f(n)存储下来，用来下次计算用（空间换时间）long fib3 (int n)long x = 0, y = 1;for (int j = 1; j < n; j+)y = x + y;x = y - x;return y;这时程序的效率显然为O（N），N = 45的时候<1s就能得到结果。 矩阵乘法：我们将数列写成：Fibonacci0 = 0，Fibonacci1 = 1Fibonaccin = Fibonaccin-1 + Fibonaccin-2 (n >= 2)可以将它写成矩阵乘法形式：

8、将右边连续的展开就得到：下面就是要用O(log(n)的算法计算：显然用二分法来求，结合一些面向对象的概念，C+代码如下：class Matrixpublic:long matr22; Matrix(const Matrix&rhs);Matrix(long a, long b, long c, long d);Matrix& operator=(const Matrix&);friend Matrix operator*(const Matrix& lhs, const Matrix& rhs)Matrix ret(0,0,0,0);ret.m

9、atr00 = lhs.matr00*rhs.matr00 + lhs.matr01*rhs.matr10;ret.matr01 = lhs.matr00*rhs.matr01 + lhs.matr01*rhs.matr11;ret.matr10 = lhs.matr10*rhs.matr00 + lhs.matr11*rhs.matr10;ret.matr11 = lhs.matr10*rhs.matr01 + lhs.matr11*rhs.matr11;return ret; Matrix:Matrix(long a, long b, long c, long d)this-&g

10、t;matr00 = a;this->matr01 = b;this->matr10 = c;this->matr11 = d; Matrix:Matrix(const Matrix &rhs)this->matr00 = rhs.matr00;this->matr01 = rhs.matr01;this->matr10 = rhs.matr10;this->matr11 = rhs.matr11; Matrix& Matrix:operator =(const Matrix &rhs)this->ma

11、tr00 = rhs.matr00;this->matr01 = rhs.matr01;this->matr10 = rhs.matr10;this->matr11 = rhs.matr11;return *this; Matrix power(const Matrix& m, int n)if (n = 1)return m;if (n%2 = 0)return power(m*m, n/2);elsereturn power(m*m, n/2) * m; long fib4 (int n)Matrix matrix0(1, 1, 1, 0);m

12、atrix0 = power(matrix0, n-1);return matrix0.matr00;这时程序的效率为O（log(N)） 。 公式解法：在O（1）的时间就能求得到F(n)了： 注意：其中x表示取距离x最近的整数。用C+写的代码如下：long fib5(int n)double z = sqrt(5.0);double x = (1 + z)/2;double y = (1 - z)/2;return (pow(x, n) - pow(y, n)/z + 0.5; 这个与数学库实现开方和乘方本身效率有关的，我想应该还是在O(log(n)的效率。 总结：上面给出

13、了5中求解斐波那契数列的方法，用测试程序主函数如下：int main()cout << fib1(45) << endl;cout << fib2(45) << endl;cout << fib3(45) << endl;cout << fib4(45) << endl;cout << fib5(45) << endl;return 0; 函数fib1会等待好久，其它的都能很快得出结果，并且相同为：1134903170。而后面两种只有在n = 1000000000的时候会显示

14、出优势。由于我的程序都没有涉及到高精度，所以要是求大数据的话，可以通过取模来获得结果的后4位来测试效率与正确性。另外斐波那契数列在实际工作中应该用的很少，尤其是当数据n很大的时候（例如：1000000000），所以综合考虑基本普通的非递归O(n)方法就很好了，没有必要用矩阵乘法。 附录：程序全部源码：#include <iostream>#include <vector>#include <string>#include <cmath>#include <fstream> using namespace std;&

15、#160;class Matrixpublic:long matr22; Matrix(const Matrix&rhs);Matrix(long a, long b, long c, long d);Matrix& operator=(const Matrix&);friend Matrix operator*(const Matrix& lhs, const Matrix& rhs)Matrix ret(0,0,0,0);ret.matr00 = lhs.matr00*rhs.matr00 + lhs.matr01*rhs.matr10;r

16、et.matr01 = lhs.matr00*rhs.matr01 + lhs.matr01*rhs.matr11;ret.matr10 = lhs.matr10*rhs.matr00 + lhs.matr11*rhs.matr10;ret.matr11 = lhs.matr10*rhs.matr01 + lhs.matr11*rhs.matr11;return ret; Matrix:Matrix(long a, long b, long c, long d)this->matr00 = a;this->matr01 = b;this->matr10 = c;th

17、is->matr11 = d; Matrix:Matrix(const Matrix &rhs)this->matr00 = rhs.matr00;this->matr01 = rhs.matr01;this->matr10 = rhs.matr10;this->matr11 = rhs.matr11; Matrix& Matrix:operator =(const Matrix &rhs)this->matr00 = rhs.matr00;this->matr01 = rhs.matr01;this->

18、;matr10 = rhs.matr10;this->matr11 = rhs.matr11;return *this; Matrix power(const Matrix& m, int n)if (n = 1)return m;if (n%2 = 0)return power(m*m, n/2);elsereturn power(m*m, n/2) * m; /普通递归long fib1(int n)if (n <= 2)return 1;elsereturn fib1(n-1) + fib1(n-2);/*上面的效率分析代码long fib1(int n, int* arr)arrn+;if (n <= 1)return 1;elsereturn fib1(n-1, arr) + fib1(n-2, arr);*/ long fib(int n, long a, long b, int count)if (count = n)return b;return fib(n, b, a+b, +count);/一叉递归long