Steklov特征值问题元后验误差估计

1、Steklov特征值问题元后验误差估计马龙 刘杰 杨一都（贵州师范大学数计学院，贵阳 550001，中国）摘要：本文在Carstensen等对二阶椭圆问题后验误差估计的基础上利用杨一都分析特征值后验误差估计的方法，分析了Steklov特征值问题非协调元逼近的后验误差估计。关键词：Steklov 元 后验误差估计1 引言Steklov特征值问题有着重要而深刻的物理背景，其特征参数出现在边界条件上并导致了许多应用。在2008年，Armentano和Padra9提出并分析了Steklov特征值问题线性有限元逼近的后验误差估计。他们的残差型后验误差式可以利用近似特征对局部的进行计算得到。2010年，李

2、思锐讨论了非协调元的后验误差估计（文）。本文参照Carstensen等3对二阶椭圆问题非协调元后验误差估计的框架和杨一都2分析特征值后验误差估计的方法，分析了Steklov特征值问题非协调元逼近的后验误差估计。2 Steklov特征值问题元逼近考虑Steklov方程 . （1）这里是有界的凸多边形区域，是沿着穿过边界的外法向导数。问题（1）的变分形式是：求，且，满足. （2）这里，。显然，是上对称，连续,椭圆的双线性。 元是林等在2006年提出的一种非协调元（文10）。设是的正则矩形剖分（见8），带有网格直径。是位于内部的单元边界，是位于边界上的单元边界。元空间定义为：.（2）的非协调有限元近

3、似为：求，且，使得. （3）这里，定义，易知是非协调有限元空间的范数，是一致椭圆的。事实上，。分别考虑（1）和（3）对应的源问题：求，使得. （4）求，使得. （5）注意，是定义在区域上有实数阶的Sobolev空间，是空间中的范数，规定。根据（2）对应的源问题（4），定义算子,；,。这里的符号“”表示限制在边界上。Bramble和Osborn7证明了（2）有算子形式：. （6）注意到关于是一致椭圆的，（3）对应的边值问题（5）有唯一的解。定义，；，.由1知，（3）有算子形式： . (7)和是自共轭全连续算子，并且.3 非协调元后验误差恒等式（1）和（3）分别有算子形式（6）和（7），对Stek

4、lov问题有下列结论成立：引理3.1 设是（3）的第个特征对，是（2）的第个特征值。则，且存在，使得, （8）, （9）. （10）其中是对应的特征向量空间.(证明见文1)下面证明下列恒等式成立：定理3.1 设是（3）的第个特征对，是（2）的第个特征值. 则存在，使得. （11）这里.证明:参照文2的定理3.1的证明方法证明。由和的定义推出 （12）记.由三角不等式和（12），（8），（9）式推出 .显然，是的高阶小量。于是，（11）把非协调元特征函数的误差估计转化为对应的源问题（带右端）非协调有限元解的误差分析，于是原问题非协调有限元解的后验误差指示子可以作为非协调有限元特征函数的后验误差指

5、示子。为了讨论非协调有限元特征值的后验误差指示子，下面给出一个引理(见1，2):引理3.2 设和分别是（1）和（3）的特征对，则有展开式. （13）4 Steklov问题的元特征函数的后验误差指示子定义，,，.考虑（1）对应的边值问题，求使得 in， on. （14）设是（14）的有限元解，作（14）的辅助问题：求使得 in， on. （15）设是（15）的元解，显然.文3给出二阶椭圆问题后验误差估计框架，文4指出元满足该框架.对问题（15），定义误差指示子：.满足,.这里，对每一条单元的边，用表示单位外法向量，表示沿方向穿过时的跃度，即.用表示沿方向穿过时的跃度，即.这里，表示沿方向的单位切

6、向量。对，定义：，及；.对（15），Carstensen等3证明了下面的后验误差估计：引理4.1 存在一个仅和的最小内角有关的正常数使得, （16）. （17）基于（16），（17）和定理3.1有：定理4.1 令是（1）的第个非协调有限元特征对，；是（1）的第个准确特征值。则存在，使得：. （18）. （19）其中是对应的特征向量空间.证明：注意到，且由偏微先验误差估计知：所以，由（16）推出. （20）由（17）推出. （21）在源问题（4）和（5）中，取，则，.由（20）知. （22）把（22）代入（11）得（18）。由（21）知. （23）所以，. 即（19）得证。在定理4.1中，和比较

7、通常，都是高阶小量，所以是的可靠和有效的误差指示子。由定理4.1和引理3.2可推出是的可靠和有效的后验误差指示子。定理4.2 令是（1）的第个非协调有限元特征对，是（1）的第个准确特征对。则 （24） （25）其中是比高阶的小量：证明： 在本文的（14）中取，由文1的引理4.2知：（14）式中右端第4项为，；由（9）和（10），由文5,第3项，联系（17）得（24），联系（18）得（25）。参考文献1 Y.D. Yang,Qin Li,Sirui Li.Nonconforming finite element approximations of The Steklov eigenvalue p

8、roblem.Applied Numerical Mathematics 59(2009)2388-24012 Y.D.Yang. A posteriori error analysis of conforming/nonconforming nite elements (in Chinese). Sci Sin Math, 2010,40(9): 843862, doi: 10.1360/012010-573 Carstensen,J. Hu, Orlando.Framework for the a posteriori error analysis of nonconforming fin

9、ite elements.SIAM JNumer Anal,2007,107:473-5024 W.Jiang,Y.D.Yang.Aposteriori error estimates for the nonconforming element.ICCASM 2010,266-2705M.G.Armentano,R.G.Duran,Asymptotic lower bounds for eigenvalues by nonconforming finite element methods.Electronic Transactions on Numerical Analysis,2004,17

10、:93-101?6 Y.D.Yang,Z.M.Zhang,F.B.Lin.Eigenvalue approximation form below using nonconforming finite elements. Sci China Mathe,2010,53:137-1507 J.H.Bramble,J.E.Osborn.Approximation of Steklov eigenvalues of non-selfadjoint second order elliptic operators.A.D.Aziz(Ed.),The Mathematical Foundations of the finite element Method with Applications to PDE,Academic,New York,1972,PP.387-4088 Ciarlet P G. Basic error estimates for elliptic proplems. Handbook of Numerical Analysis, vol.2, North-Holand: Elsevier Science Publishers B.V., 19919 M.G.Armentano,C.Padra.A posteriori eror esti