三次DP曲线的形状分析

1、三次DP曲线的形状分析吴 晓 勤，朱秀云，陈福来 （湖南科技大学数学与计算科学学院,湘潭,411201）摘要 基于包络理论与拓扑映射的方法对三次DP曲线进行了形状分析，得出了曲线上含有奇点、拐点和曲线为局部凸或全局凸的充分必要条件，这些条件完全由控制多边形的顶点位置所决定。最后，就三次DP曲线和三次Bezier曲线、三次Ball曲线的形状图进行了对比。关键词DP曲线； 奇点；拐点；局部凸；全局凸中图分类号：TP391 Shape Analysis of Cubic DP Curve WU Xiao-qin ZHU Xiu-yun CHEN Fu-lai (School of Mathemati

2、cs & Computation Science, Hunan University of Science & Technology, Xiangtan 411201)Abstract: In this paper, we analyzed the shape features of the cubic DP curve by using the method based on the theory of envelop and topological mapping. Necessary and sufficient conditions are derived for th

3、is curve having one or two inflection points, a loop or a cusp, or be locally or globally convex. Those conditions are completely characterized by the vetex of the control polygon. At last, we give the shape diagram of cubic Bézier curve and Ball curve.Key words：DP curve; singular points; infle

4、ction points ; local convexity ; global convexitySubject Classification (CL) TP391 0 引言2003年，Delgado和Pea提出一种新的参数曲线1-2，新的基函数被称之为DP基，由此构造的曲线被称为DP曲线3。DP基是规范的全正基（简称NTP基），DP曲线的生成算法是割角算法，具有数值计算的稳定性，且算法的计算复杂度是线性的；DP曲线同样具有端点插值的特性。因此，DP曲线在计算上是优于Bézier曲线，有很好的应用前途。在实际应用中，往往需要判断参数曲线段上有无奇点和拐点，以及曲线为局部凸还是全局凸，

5、这对曲线的形状控制是至关重要的。Yang和Wang用摆线的仿射变换方法，讨论了C-Bézier 曲线的奇点与拐点，给出了该曲线的形状分布图4。还通过构造一种特征函数的方法得到了平面三次H-Bézier曲线的奇拐点分布5；其后叶正麟和吴荣军利用包络理论和拓扑映射的方对平面三次C-Bézier 曲线和平面三次H-Bézier 曲线进行了形状分析6,7，也得出了曲线的形状分布图。Juhász通过固定三个控制点，适当选择第四个控制点的位置来产生并调控有理Bézier及C-Bézier曲线的奇点和拐点的方法8.本文基于包络理论和拓扑映

6、射的方法，对三次DP曲线进行形状分析，讨论了相应空间曲线的变挠性，再对平面非退化曲线的奇点、拐点及凸性作了进一步讨论，揭示局部凸区域与重结点区域的两条边界线之间的包络关系，由此得出了平面三次DP曲线的形状分布图，图中既包括奇、拐点分布区域，还给出了局部凸区域和全局凸区域。最后，就三次DP曲线和三次Bézier曲线、三次Ball曲线的形状图进行了对比。1. 三次DP曲线简介根据文献1-2，给出三次DP曲线的定义。 定义1给定4个控制顶点d (，对，定义曲线 （1）为三次DP曲线，其中基函数定义为 （2）2 空间三次DP曲线的形状分析定理1若4个控制顶点不共面，则曲线为空间曲线且无奇点和

7、泛拐点。证明 设（），将改写为 (3)则有由式(2)得，当时，又由控制顶点不共面可知，边向量()线性无关，故，即不可能有尖点。假设曲线有重结点，设有，使得，则有 (4)因为()线性无关，所以由式(4)得，显然是单调递增，上式不成立，无二重点。泛拐点是指空间曲线上挠率变号的点。设det ()，则有 其中为边向量的混合积，。所以曲线无泛拐点，并且与控制多边形具有相同的旋转方向。3 平面三次DP曲线的形状分析 如果、四点共面，为平面曲线，此时=0。 先考虑不平行，以，为基向量，令，将其代人式(3)得 (5)3.1 尖点 曲线有尖点的必要条件是= 0 (0 << 1) . 由式(5)得 (

8、6)由于与线性无关，据式(6)得参数曲线 (7)对式(7)参数曲线求一阶和二阶导数，易知曲线C是单调递减和凸的。在曲线C上任取一点，记为，与之对应的参数值设为。由的泰勒展开为，求导得 (8)式(8)中，若不然，对式(6)再求一次导，得且，矛盾。 故经过时方向反变，所以曲线C是尖点条件曲线。3.2 拐点曲线的副法向量为，经计算有 (9)其中+ (10)点是拐点当且仅当经过时变号。而在平面，使得有拐点的可能区域必为直线族=0所覆盖，而此直线族的包络为 (11)对式(11)计算，得式(7)，说明直线族的包络正好是曲线C。当时，设对应的参数为，由泰勒展开，得 (12)其中。可知经过时不变号，故不是拐点

9、。图1：三次DP曲线的形状图当时，其中为第二和第四象限，是由曲线C和u轴和v轴所围部分。设过点与曲线C相切的直线之一为=0，其中为切点对应的参数，则由可知（因若，则由包络定义知），从而经过时变号，故是拐点。进一步，当时，过此点只能作曲线C的一条切线，对应只有一个拐点；当时，过此点可作曲线C的两条切线，对应有2个拐点。3.3 重结点曲线有重结点，当且仅当存在，使得，这等价于满足方程组 (13)其中=.容易验证，式(13)定义了一个拓扑映射 F：(),因此象域()是平面上单连通区域，象域的3条边界线与定义域的3条边界线和相对应，即分别为曲线C(不属于)，和(都属于)。中点所对应曲线有且仅有一个二重

10、结点，其中和的参数方程分别为 易见，曲线和是关于对称，因为将中的分别用t代换，得到中的。所以只需讨论曲线和中一条曲线的属性。和相交于点(-1,-1)，当时，与 轴相交于点(-3,0)； 对称地，当时，与 轴相交于点(0,-3)。对曲线和分析可知，是单调递减的、严格凸的曲线。3.4 凸性当 R时，曲线无尖点、重结点和拐点，并且此时不发生方向改变。按照文献9，考虑，由式(5)计算得，其中 (14) (15)由式(14)可知，当，经过时方向反变。解不等式得区域，所以，当（由和连接点(-3,0)和(-1,-1)的线段所围部分），为局部凸，见图1所示。再由对称性知，可得当(由和连接点(0,-3)和(-1

11、,-1)的线段所围部分），为局部凸，见图1所示。从而当时，为全局凸。最后，当，记，以为平面的基向量。据式(3)，得类似于3.1-3.4节的讨论，可得：曲线无尖点、二重点；当且仅当，即与方向相同（不包括4点共线）时，有且只有一个拐点；当且仅当，为全局凸。定理2 当，平面三次DP曲线无尖点、二重点；当且仅当与方向相同时，有且只有一个拐点；当且仅当与方向相反时，为全局凸。当不平行时，设，则i）当时，的形状特征取决于点在平面的如下分布（如图1所示），即 4 与三次Bezier、Ball曲线的形状图的比较按照上一节相同的方法，当不平行时，设有三次Bézier曲线和三次Ball曲线的形状图。图2

12、为三次Bézier曲线的形状图，其中曲线C的方程为 的方程为 的方程为 和以u轴为渐近线，和以v轴为渐近线。图2：三次Bézier曲线的形状图 图3：三次Ball曲线的形状图图3为三次Ball曲线的形状图，其中曲线C的方程为 的方程为 的方程为 和以为渐近线，和以为渐近线。比较3个形状图，有结论：对于单拐点区域，三次Ball曲线最大，三次DP曲线和三次Bezier曲线二者相同；对于双拐点区域，三次Ball曲线最小，三次Bezier曲线次之，三次DP曲线最大，说明在相同控制顶点下，三次DP曲线最易出现双拐点；对于重结点区域，三次Bezier曲线最大，三次DP曲线和三次Ball

13、曲线较小；对于局部凸区域，三次DP曲线最小，三次Ball曲线较大，三次Bezier曲线最大；对于全局凸区域，三次Bezier曲线最小，三次DP曲线和三次Ball曲线较大，说明三次DP曲线和三次Ball曲线保全局凸的能力要强于三次Bezier曲线。参考文献1Delgado J., Pea J.M., A shape preserving representation with an evaluation algorithm of liner complexityJ. Computer Aided Geometric Design, 2003 , 20 (1) : 1 10.2Delgado J.

14、, Pea J.M., ON EFFICIENT ALGORITHMS FOR POLYNOMIAL EVALUATION IN CAGDJ. Monografías del Semintario Matemático García de Galdeano, 2004 , 31 (2) : 111 120.3Chen Jie, Wang Guo-Jin, Construction of triagular DP surface and its applicationJ, J. of Computational and Applied Mathematics, 20

15、08, 219 (1):312-326.4Yang Q M, Wang G Z. Inflection points and singularities on C-curvesJ. Computer Aided Geometric Design, 2004, 21(2): 207-2135Wang G Z，Yang Q M. Planar Cubic Hybrid Hyperbolic polynomial Curve and Its shape ClassificationJ. Progress in Natural Science，2004，14(1):41-466叶正麟,吴荣军, 平面C-Bézier曲线的奇拐点分析J.计算数学，2005, 27(1): 63-70.7吴荣军，平面三次H-Bézier曲线的形状分析J. 应用数学学报，2007, 30(5): 816-821.8Juhász I. On the singularity of a class of parametric curvesJ . Computer Aided Geometric Design, 2006, 23 (2) : 146-1569 Liu C Y. Theory and application of convex c