几个非线性发展方程的精确解

1、江苏大学硕士学位论文几个非线性发展方程的精确解姓名：杨立波申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：卢殿臣20091219江苏大学硕士学位论文摘要本文主要围绕精确求解非线性发展方程（）的若干问题进行了研究和探讨，重点对扩展的椭圆函数展开法进行了改进，丰富和发展了已有的方法，求出了几类非线性发展方程的新的精确解，并研究了解的结构。本文章节和内容安排如下：第一章介绍了非线性发展方程相关理论研究的历史和发展现状，并介绍了本文的主要工作。第二章介绍了一些和本文相关的基本概念、符号，给出了孤立子的概念及分类，同时对容易混淆的精确解、近似解和相似解做了说明。第三章介绍了几种精确求解非线性发展方程的重要方法

2、。如传统的椭圆函数展开法、扩展的椭圆函数展开法、齐次平衡法、吴代数消元法。第四章对传统的椭圆函数展开法进行了推广和改进，给出了多种扩展的椭圆函数法中形式解的统一形式，并应用该方法研究了方程、方程和方程的精确解。除了得到已有的大量结果外，还得到了许多有意义的新解。这一方法与传统的方法相比，具有形式统一、使用方便、得到的结果更全面等优点。这对于发现新的孤立子解，研究孤子的结构有着积极的意义。江苏大学硕士学位论文关键词：非线性发展方程，精确解，孤立波解，扩展的椭圆函数展开法江苏大学硕士学位论文，：，江苏大学硕士学位论丈，：，娩独创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研

3、究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名：才五漱日期：年，月夕日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学位保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。保密口，本学位论文属于不保密口。在年解密后适用本授权书。

4、学位论文作者签名：枷立神鲫年，：月日江苏大学硕士学位论文第一章绪论非线性现象在自然界和社会生活中普遍存在，遍布于生物系统、物理、化学实验现象和社会现象中。在自然科学中许多现象，如孤波、混沌、吸引子、分形和逆序结构等都是非线性问题。自上个世纪六十年代以来，以非线性现象的研究为对象，在一些以非线性为特征的分支学科研究成果的基础上，非线性科学逐步发展为一门综合性学科，几乎涉及自然科学和社会科学的各个领域。非线性可以产生一些本质上全新的现象，而这些现象不可能由线性化模型出发的微扰理论得到，用非线性化模型来研究客观世界是科学发展的必然。年，和通过实验证明了孤立波的存在，使得孤立波叫成为了非线性科学研究的

5、重点。随着非线性科学的发展，非线性方程的求解出现在很多领域，研究非线性发展方程（组）的精确解是非线性科学很重要的一个课题。因为精确解可以定量地描述非线性偏微分方程（组）的许多重要性质，能比较满意地解释过去很多不能解释的现象。可用来鉴别数值方法和近似方法的良好与否，利用精确解人们可以验证在相同的控制参数条件下得到的数值解的可靠性，能为重大工程的安全设计提供参考依据和指导作用。因此，非线性发展方程（组）的精确求解和求解方法的研究，一直是近几十年来非线性科学研究中极为重要和最为活跃的前沿课题和热点问题。但是，面对很多复杂的求解问题单靠手工推算很难完成。计算机的发展和使用给非线性科学的发展提供了很大的

6、帮助。多年来，许多数学家和物理学家为非线性方程的求解问题作出了大量的工作，发现了一系列构造精确解的有效方法。各种求解方法的出现不仅使过去难以求解的方程得到了解决，而且具有重要物理意义的新解不断的被发现，出现了新的求解方法和新的解不断涌现的势头。本文将在前人的基础上，继续对非线性方程的求解进行研究，重点研究几类重要的非线性发展方程的精确解、孤立波解。下面介绍一下孤立子理论的研究背景及现状。江苏大学硕士学位论文研究背景在迄今为止非线性现象中，孤立波和孤立子是推动非线性科学发展的重要概念之一，孤立子理论是非线性科学的重要组成部分。世纪年代，通过计算机的计算和浅水波的实验观测，发现孤立波碰撞后仍保持原

7、来的形状和速度，犹如粒子，因而称为孤立子。孤立子是年由发现的，他在做关于船舶在运动中所受到的阻力的试验时，观察到一种奇特的自然现象，当艘快速行驶的船突然停下来，船头出现一圆形平滑、轮廓分明的孤立波峰急速离去，滚滚向前，行进中形状和速度保持不变，这种波就被命名为“孤立波”。十年后，向英国科学促进会报告了自己的观点，但由于没有建立合理描述孤立波的数学模型，他的学说没能得到物理学家的信服。因此，所发现的孤立波现象也未能引起人们的注意引。但在此以后，有关孤立波的问题引起了广泛的争论。许多人都尝试通过建立数学模型从理论上来解释这种现象，但都没有成功。在世纪年代出，也就是年和年通过试验证明了工作的正确性，

8、但相关的数学模型仍然没找到。直到年，荷兰阿姆斯特丹大学的教授和他的学生在小振幅和长波的假没下，从流体动力学中导出了单向运动的浅水波方程：害，苏、，甜三仃等），这罩为波峰高度，为水深，为重力加速度，口是与液体均匀运动有关的常数，的常数，莎是由盯：一一定义是毛细管现象的表面张力，盯是液体的密度，由变换：三吾，一砉，甜三；口，同时省去撇号就可以得到著名的方程：，在波长趋于无限的情况下，该方程的一个解：（，）：导厅（訾（），后人称之为钟型孤子解，这正是在年所发现的孤立波。方程的提出，从理论上阐明了孤立波的存在，江苏大学硕士学位论文方程的解较好地描述了孤立波现象，也为这场争论画上了圆满的句号。但和的工作

9、并没有得到重视，此后多年，孤立波解的研究仍然没有进展。年，（）将个质点用非线性弹簧连成一条非线性振动弦，用计算机计算了一维非线性晶格在各个振动模之间的转换，发现在足够长的时问后能量似乎又回到了开始的分布，这就是著名的问题。实验结果与经典的谐振现象相矛盾。由于当时只在频率空间考虑，他们没能发现孤立波解，后来研究了这种模式的非线性振动，得到了孤立波解，使得问题得到了正确的解答，从而激发起了人们对孤立波研究的兴趣引。年，和基于连续统一体的观点，发现在连续情况下，可以用方程近似描述问题¨。他们对方程两个不同波速的孤波解的相互作用研究后，观察到如果两个孤波初始状态下分开且波速大的在后边，那么相

10、互碰撞后，波速大的跑到前面且保持最初的高度和速度，仅发生相位的转移。这两个孤立波的碰撞是弹性碰撞又类似粒子，他们称其为孤立子（），有时也称为孤立波。它是指一大类非线偏微分方程的许多具有特殊性质的解，以及具有相应的物理现象。它的具体性质为：（）能量比较集中；（）孤立子相互碰撞时具有弹性散射现象。从此，孤立子理论的研究得到了迅速发展。孤立波的早期研究大都局限在单一的学科中，随着新问题的不断涌现，孤立波的研究也逐渐扩展到其他领域。非线性是物理现象的本质，非线性问题与物理学问题相伴而生，可以从物理问题推导，导出包括孤立子方程在内的许多非线性发展方程。物理的启发性、实用性和数学的严密性相结合，相互依赖，

11、相互渗透，相互促进，从而使孤立子理论显示出了强大的生命力。年，电子和光学界普及了孤立子理论。同年，预言光纤孤子的存在性。年，开始研究孤波的统计力学。非线性方程的求解自然也出现在很多领域中，非线性发展方程的精确解成为了非线性科学中的一个重要课题。对这一比较热门的课题，科学家们虽然已经做了大量的工作，给出了很多方程的精确解，也得到了一些很有效的解法，但这些解法都是针对某个方程或某一类方程，对于非线性发展方程还没江苏大学硕士学位论文有系统的、统一的解法。下因如此，使得非线性发展方程精确解的研究具有很大的研究价值和空间，很多科学家一直活跃于这一领域。研究现状孤立子理论的产生和发展为非线性发展方程提供了

12、大量的求解方法，多年来，许多数学家、物理学家为此做了大量的工作，到目前为止，主要的方法有：截断展开法、直接法、群法、函数法、推广的函数法、三角函数法、齐次平衡法、方程法，展开法、椭圆函数法、反散射法、变换法、双线性函数法、变换法、小参数法、变分法、不变量法，各种微扰法以及其他各种形式的拟设法等。这些方法可以归为三类（）直接拟设法；（）间接拟设法（该法分为借助约束方程和借助算子两种）；（）分离变量法。新的方法还在不断的涌现，至今，人们已经发现了多种非线性发展方程求解的有效方法。年，和（）发现反散射反方法。年，引入对，将孤立子演化方程求解问题和求对的问题联系起来，推广了方法，使之能解初值问题。年，

13、提出了方法。年，和以外微分形式为工具提出延拓工具法。年，谷超豪从矩阵出发构造出方程族的。年，提出的对称约化的直接法（涵盖了群论）。年，李翊神、楼森岳提出直接分离变量法。年，和提出方程法等。世纪年代，受中国传统数学中机械化思想的启发，吴文俊从证明几何定理入手而创立了数学机械化方法，为国际自动推理的研究丌辟了新前景。年，吴先生的学术专著集合定理机器证明的基本原理依照机械化观点，系统分析了各类几何体系，阐述了几何定理机械化证明的基本原理，吴先生在第二年发表的论文关于代数方程组的零点是求解多元多项式方程组的吴消代数元法创立的重要标志，文中以多项式零点集为基本研究思路，详细讨论了多项式方程组所确定的零点

14、集争。年，在等人工作的江苏大学硕士学位论文基础上，吴先生将吴代数消元的思想推广到微分情形，创立了吴代数微分消元法，提出了吴微分特征列的概念，完善和发展了特征集理论。程序验证奖得主认为吴先生的工作“不仅奠定了自动推理研究的基础，而且给出了衡量其它推理方法的明确标准。年起，李志斌教授等利用吴代数消元法，通过引入函数方法将偏微分方程的求解转化为对代数方程组的求解问题，沟通了吴代数消元法与微分方程求解，在求解非线性发展方程精确解方面做了很多出色的工作，如基于函数方法和椭圆函数展开法，在平台上开发的计算孤子方程精确解（孤波解、双周期解）的软件包就是很好的研究成果。近年来，张鸿庆教授及其课题组成员在微分方

15、程求解的代数化和机械化方面做了大量的工作。范恩贵教授推广了函数方法、椭圆函数展开法和广义代数方法，借助于计算机并利用吴代数消元法在求精确解方面做了大量的工作，受到了国内外同行的广泛关注。阎振亚基于两类方程，提出了求解非线性发展方程更为有效的算法。以此为基础，并应用吴代数消元法，陈学东编制了相关的软件包。计算机代数出现以后，尤其是吴文俊为数学机械化所做的革命性工作以来，对于精确解的研究焕发了勃勃生机。已能解决包括可积系统和不可积系统在内的许多方程。孤立子理论可广泛应用于众多的自然科学领域，如：等离子体、光纤通信、基本粒子、流体物理、固体物理、生物物理、凝聚态物理、激光、超导、场论、星系的密度波、

16、海上冲击波、液晶、气象学、化学、微分几何等各种问题中。因此，对孤立子的研究具有重要的理论意义和重大的实际应用价值。本文的主要工作和研究意义本文主要围绕非线性发展方程（）的精确求解的若干问题进行了研究和探讨，重点对扩展的椭圆函数展开法发进行了改进，丰富和发展了已有的方法，求出了几类非线性发展方程的新的精确解，并研究了解的结构。主要内容有：第二章介绍了一些和本文相关的基本概念、符号，给出了孤立子概念及分类，同时对易混淆的精确解、近似解和相似解做了说明。江苏大学硕士学位论文第乏章介绍了几种求解非线性发展方程的重要方法。如传统的椭圆函数展开法、扩展的椭圆函数展开法、齐次平衡法、吴代数消元法等。第四章对

17、传统的椭圆函数展丌法进行了推广和改进，给出了多种扩展的椭劂函数法中形式解的统一形式，基于将昨线性发展方程精确求解代数化、算法化的思想，以符号计算软件为工具，应用该方法研究了方程、方程和方程的精确解。除了得到已有的大量结果外，还得到了许多有研究价值的新解。本文研究的意义：通过推广的椭圆函数法，得到了几个非线性发展方程新的孤立波解和周期波解，这一改进包括了传统的结果，使得形式解具有统一的表达式，得到的结果更全面。这对于发现新的孤立了解，研究孤子的结构有着积极的意义。江苏大学硕士学位论文第二章基本概念椭圆函数椭圆函数的产生最初源于椭圆的弧长公式，在介绍椭圆函数之前先定义椭圆积分：定义椭圆积分第一类椭

18、圆积分为（）其中为模数。伽，南痧杀蒜嚣称为第一类完全椭圆积分。定义：椭圆函数根据（）式甜是，聊的函数，反之也可以认为是龆，聊的函数，从而可得到三种椭圆函数的定义：椭圆正弦函数：（，）矽椭圆余弦函数：（，聊）一，痧第三种椭圆函数：（，脚）：圻研：撕硒其它九种椭圆函数：托一“，“，￥，一椭圆函数几类重要的性质：（）恒等式：一“，咖。“，竹一，岱“舢一，一。，如聪）如“：，咒（一）“，：一（一）口，竹配：一（一）“（）导数：，“，堡！丝丝！：一“矗仡“，（）嘲万距扮砧，一：一，“一，“（）：哪砧出，（）一，俗“，（）：一嬲“凼“，堡！兰竺！：刀甜，（）：如“，（）（）￥，（），（），（）一（一）（）

19、退化：当，寸时：万，一，脚甜“江苏犬学硕士学位论文，￥“，“斗，斗“，。当时：，斗，斗，÷“，斗，斗，图像：以为例，给出三种基本的椭圆函数（即正弦、余弦和第三种椭圆函数）在软件命令下的三维立体图及时的二维平面图。嚏惫厂、厂、。一叫鼍“矗正弦函静数（硝）弋，、。小抓一卜面、余弦函数（时）畦瓣丫研菲百万可棚忡峥图第三种椭圆函数（如）其中口，。江苏大学硕士学位论文定义：椭圆积分第一类椭圆积分为：善雨专荸其中，为常数，称为椭圆函数不变量。定义：椭圆函数亿，根据（）式知乡是，的函数，反之也可以认为甜是孝，的函数，从而可得到椭圆函数的定义：称函数“以善，巳）为椭圆函数。显然我们有：（篑）舻一：一

20、。以亡孤立子的定义和分类对于孤立子目前一般有下列两种定义：定义：孤立子是波动问题中的一种能量有限局域解，能在空间给定区域稳定存在，相互作用不改变各自的特征。定义：孤立予是向单方向传播的行波，（形式矽）为右行波，（）为左行波。若，当时，波行为矽（），当波以速度运动，在矗时刻，波形矽口矗一口）矽（），在运动中波行保持不变。）分布在空间的一个小区域中，波动形状不随时问演变而发生变化，相互之问的作用具有类似粒子一样的弹性碰撞。发生机理：现在一般认为孤立子之所以产生，归根结底就是由于色散效应和非线性作用相互影响和相互平衡造成的。一般情况下，如果一个非线性系统的解同时具有局域性和粒子性则称为孤立子，如果只

21、有局域性则称为孤立波，把能够求出孤立子解的非线性发展方程称为孤立子方程。这里局域性是指解可表示成一个固定形式、局部的、衰变的或在无穷大时变为常数的波；粒子性是指孤波具有弹性碰撞性质可与其它的孤立子进行强烈的相互作用。江苏大学硕士学位论文在孤立子的类型中，最常见的是钟形和扭结形孤波解，除此以外，还有包络孤子、拓扑性孤子、呼吸子、亮孤子和暗孤子、正孤子和反孤子，以及他们叠加而成的形形色色的孤子。按照空间维数来分，孤子可分为：（）（）维空间中的孤子：（明、暗）钟形孤立子、（反）扭形孤立子、奇异孤立子、紧孤立子（）、尖峰孤立子（，）、呼吸子、类孤立子、孤立子、光弧子等。（）（）维空间中的孤子：（明、暗

22、）钟形孤立子、（反）扭形孤立子、奇异孤立子、（多类）紧孤立子（）、（多类）尖峰孤立子（）、呼吸子、类孤立子、孤立子、（多）解（直线孤子）、（多）解（半直线孤子）、圆锥曲线孤子（抛物孤子、双曲孤子、环孤子）、（多类）孤子（团孤子）、峰孤子、方形孤子、菱形孤子、瞬子、似瞬子、折叠子、光弧子、激子孤子、声子孤子、磁子孤子、质子孤子、液晶孤子、分子孤子、型孤子、型孤子、涡旋孤子和水孤子等。（）（）维空间中的孤子：除了上述孤子类以外，更多的类别和形式的孤子结构还有待我们探寻和发现。而从拓扑的角度，孤子可分为拓扑性孤子和非拓扑性孤子。拓扑性孤子存在的必要条件是在无穷远处存在不同的真空态，或者说有不同的边界

23、条件；有孤子解时，无穷远处的边界条件就与没有孤子解时的不同。非拓扑孤子不需要真空态，无论有无孤子，在无穷远处都有同样的边界条件。随着研究的深入，新的研究方法不断的被发现，因此，新的孤子结构还将不断的涌现，这对我们进一步深入了解和研究非线性科学必将提供新的视角。精确解、相似解、近似解在数学家和物理学家的不断研究和探讨下，我们已经找到了许多求精确解的有效的方法，但我们的工作仍存在很大的困难，能够求得精确解的那些方程对于大量的非线性发展方程来说数量是非常有限的，求解方法也有待于我们进一步的研究和钻研，来找到更简洁有效的求解方法。江苏大学硕士学位论丈到目为止，就我们所掌握的求解方法而言，对于更多的非线

24、性发展方程，我们只能求得近似解或者确定解的渐近行为。人此也即现了各种求近似解和相似解的方法，如：摄动方法和约化方法分别足求近似解和相似解的有效方法。摄动法的具体步骤如下：第一步是在方程中引入无量钢的小参数（）；第二步将方程的解展开为小参数的幂级数，从而可依次求得方程的各级近似解；第三步是分析摄动级数的收敛性。按照收敛和不收敛（通常在解的表达式中存在与，成正比的永久项）两种情况又把摄动方法分为正规摄动法和奇异摄动法。奇异摄动法通常又包含：多尺度法、法、平均值法、法、约化摄动法、幂级数展开法，具体参见书。相似解也称群不变解，是在群变换之下的不变解，是方程的一种特殊的精确解。通常一个非线性偏微分方程

25、可以通过相似变换化为一个常微分方程，如果这样的常微分方程具有性质，那么这个非线性偏微分方程通常是可积的，至少能通过相似变换求渐近解。求相似解的一种有效的方法是直接法。江苏大学硕士学位论文第三章研究方法近年来，人们对求解非线性发展方程的精确解提出了许多方法，如齐次平衡法乜“引、双曲函数法阳，嚣、一展开法盯驯、反散射法、投射的方程法删，椭圆函数展开法国瑚删、分离变量法，变换嘲和变换等，并利用这些方法求得了非线性发展方程的许多有价值的精确解。由于椭圆函数展开法能够借助计算机代数系统得以实现，因此，得到了广泛的推广和应用口引。椭圆函数法椭圆函数法是一种直接拟设的方法，就是通过直接拟设方程的解为椭圆函数

26、来求解方程的精确解的方法。椭圆正弦函数展开法设非线性发展方程的一般形式为：（，盯，耐，）其中是关于变元“，的多项式。第一步：做行波变换：（，）比（囝，孝（）（）将（）式代入（）式中，则（）式约化为一个非线性常微分方程：似砧，口。，。）（）其中“为塑。乡第二步：假设（）的行波解“（孝）可以展开为下列椭圆正弦函数玎（善）的级数：江苏大学硕士学位论文（）口，皤）其中骞善口，聆卜细善如亭，册善和如善分别为椭圆余弦函数和第三种椭圆函数且满足上一章的所列举的恒等关系和导数关系。第三步：通过平衡（）式中的最高阶导数项和最高阶非线性项，可以确定的值。（注：如果得到的值不是正整数，则可以作变换“（矽“（，代入（

27、）式，然后在平衡其中的最高阶导数项和非线性项。）第四步：借助软件，将（）代入（）并结合椭圆函数的性质，可得到一个关于孝（，）的代数方程（组）。第五步：收集关于册乒，）的同幂次项，并令它们的系数为零，得到一个关于七，。，；（，）的超定的非线性代数方程组。借助软件，利用吴消代数元法，解上面得到的超定非线性代数方程组，可得到七，（，）的值。第六步：将结果回代后，可求得原方程的解。同样，相应的自椭圆余弦函数展开法和第三类椭圆函数展开法，类似可得。椭圆正弦函数展丌法、椭圆余弦函数展开法和第三类椭圆函数展丌法，统称为椭圆函数展开法。应当指出，当胁时，册，（）式就退化为：“（口，这正是双曲正切展开法。可见文

28、献推广的椭圆函数展开法之一设非线性发展方程的般形式为：，耐，）江苏大学硕士学位论文其中是关于变元口，心，的多项式。第一步：作行波变换：（，）“（，善（）将（）式代入（）式中，则（）式约化为一个非线性常微分方程：（，“”，”）（）其中为骞。第二步：假设（）的行波解“（善）可以展开为下列椭圆函数的级数：（。孝（口陀孝：万口其中各椭圆函数之间的恒等、导数、退化关系见第二章。第三步：通过平衡（）式中的最高阶导数项和非线性项，可以确定的值。（注：如果得到的聍值不是正整数，则可以作变换（矽“（亭），代入（）式，然后在平衡其中的最高阶导数项和非线性项。）第四步：借助软件，将（）代入（）并结合椭圆函数的性质，

29、可得到一个关于册跏善，）（，）的代数方程（组）。第五步：收集关于细孝，）（，）的同幂次项，并令它们的系数为零，得到一个关于七，。，包，）的超定的非线性代数方程组。借助软件，利用吴代数消元法，解上面得到的超定的非线性代数方程组，可得到足，。，包（，）的值。第六步：将结果回代后，可求得原方程的解。可见文献同理，在上述第二步中将（）式改为：江苏大学硕士学位论文比（孝）册卜（，册亭岛砌善）（善）卜善（搬孝岛岱善）跖（瑚卜孝（）“（孝）。孝（呸孝包口。比（孝）孝（孝）则可以求得原方程不同形式的解。推广的椭圆函数展开法之二设非线性发展方程的一般形式为：（，）其中是关于变元，。，。，的多项式。第一步：作行波

30、变换：（，）“（孝），善（）将（）式代入（）式中，则（）式约化为一个非线性常微分方程：（，比。，“”）其中为筹。第二步：假设（）的行波解“（孝）可以展开为下列椭圆函数的级数：矗一“（善）呸厂（善）红厂卜（善）（），（善）（孝）口。江苏大学硕士学位论文其中厂（再，（石，（：等（）十之这里，为常数。各椭圆函数之间的恒等、导数、退化关系见第二章。容易验证（）式中的各函数满足下面的关系，（）加砌，（历，）唐一聊馏）厂，（朋厂）厂，靠矿，靠其中“为老，所为椭圆函数的模（一般朋）。第三步：通过平衡（）式中的最高阶导数项和非线性项，可以确定玎的值。（注：如果得到的聆值不是正整数，则可以作变换（矽”（善），代

31、入（）式，然后在平衡其中的最高阶导数项和非线性项。）第四步：借助软件，将（）代入（）并化简，可得到一个关于厂，厂，厂，（，）的代数方程（组）。第五步：收集关于厂，厂，厂，厂（，）的同幂次项，并令它们的系数为零，得到一个关于，；，龟，）的超定的非线性代数方程组。借助软件，利用吴代数消元法，解上面得到的超定的非线性代数方程组，可得到七，包，）的值。第六步：将结果回代后，可求得原方程的解。本方法见文献齐次平衡方法齐次平衡法是求解非线性发展方程孤波解的一种十分有效的方法，这种方法提供了一种构造非线性物理模型精确解的分析技术，已经被推广用来得到非线性物理模型的多孤子解。这种方法的步骤如下：第一步：对给定

32、的非线性方程，例如两个变量，的方程（，“，“甜，盯，。，）（）通过要求方程（）式中最高阶导数项与非线性项达到平衡，可以选择甜为江苏大学硕士学位论文如下函数，或，（叻，合适的线性组合，记为比（厂（）望二。旦盟厂（叻的低于所，阶导数项，彬以，）的低于朋疗阶导数项其中厂（），（）是待定的函数，某些系数是待定常数。第二步：将（）代入（）经求导整理后，将的相同导数及最高次幂项放在一起，并令其系数为零，可以得到关于厂（叻的常微分方程，解之得（叻（）（）第三步：由（）式出发可将第二步所得方程的表达式中，的各阶导数的非线性项转化为，的高阶导数的线性项，然后把厂对相同导数项放在一起，并令各系数为零，得到关于的一

33、组齐次微分方程组（叻第四步：设（）式具有如下形式的解，“埘（）（）其中，为待定常数。将（）式代入（）式，可得关于，及（）式中的待定系数为未知量的代数方程组，并可对它们进行求解。第五步：将（）、（）式及必要的待定常数代入（）式，即得方程（）的精确孤立波解。从上面的求解步骤，我们可以发现，采用上述方法所得到的精确解仅是孤立波型的解，难以得到其它类型的精确解。分析主要原因是在第四步中假设肘埘，这种假设限制了以，）的一般性，因而导致了在求解的过程中疏漏了其它形式的精确解。如果不假设（，）具有驸的形式，而采江苏大学硕士学位论文用直接求解齐次方程组日（曲的方法，首先通过相容性条件消去关于的导数项，从而得到

34、的方程看作关于的常微分方程，即可将解出来。需要注意的是在求解过程中积分常数应看作，的函数，最后将代（），确定这些积分函数，这样得到的以而）更具有一般性，从而可获得一大批新的具有更为丰富形式的精确解，孤波解只是其中的特殊形式，这对于发现其它形式的精确解足很有用的。吴代数消元法吴文俊消元法的建立，为非线性发展方程组的求解建立完整理论，提供论文有效算法此节介绍吴代数消元法，详细可参见李志斌教授的文章【】。基本术语和符号设是特征为零的数域，在应用中一般实数域或复数域。设“是上的维线性空问，中的元素（或者称为点）记作。，吒），为方便起见记五，恐，），尼。设。】是上以，为变元的多项式环，以下记研】【。】。

35、设是【石】中的非零多项式，关于变元的最高次幂记为（，）；中实际出现变元的最大下标记作（）；令豳（），记（）；将（，）记为（），其中（）；是的系数记为（），其中（）。（，鼍）称作关于毛的阶；（）称作的类，规定常数的类为，（）称作是的主变元，（）称作的阶，（）称作的初式有了以上的记号，】中任意的非零多项式一般可写作江苏大学硕士学位论文的低次幂项，其中（），（），（），（）卜设邢是】上的一组多项式，多项式组邢的零点集作（）即（）卯，（）。为了方便起见又记（麟）：（）（）（，）：（）（）。其中魍，：】任意给定【】中的一组多项式邢，如何确定咖（瑚）的结构以及给出（）的算法是吴代数消元法要解决的主要问题。

36、特征列与消元算法及多项式组的零点集定理多项式之间的求余运算是消元法中的基本运算。任给两个非零多项式，【】，可作对的求余运算。设（），（），则存在非负整数和多项式，【】使得。，（，）（），（）若幂次选取为使上式成立的最小负整数，则多项式唯一确定，尺称作多项式对的余式，记为（）。与线性情况不同，求余运算不能保证把变元屹从中消去，它只是降低了多项式中的幂次。一般而言，余式仍为研】的多项式。在目前通行的计算机数学软件中，余式计算式非常简单的事情，例如在系统中，键入命令，。即可得到余式尺。由（）式容易看出（，）（，）（）即在多项式组中添加此多项式组中各多项式的余式，不会改变这个多项式江苏大学硕士学位论文

37、组的零点集。进一步，若能确定初式，不为零，则有（，）（，尺）注在（）中存在两种情况：第一种，若或则，即任意多项式对常数的余式为零，多项式自身的余式也为零。第二种，（，）（），则，即若的阶高于关于主变元的阶，则关于的余式仍为。注设，】，若凼（，（，）（），则称对已经约话。从求余运算可以看出，求余实际就是一种约化过程。升列是消元法中的基本概念。升列是约化了的“三角化”多项式。所谓“三角化”多项式是指变元一次出现的多项式组，可以认为“三角化的多项式组的零点集是能够完好确定的，消元法的结果就是导致方程组的“三角化。定义如果多项式组似，：，）满足（）是“三角化”的，即凼似）出弘）；（）是任意两个多项式，

38、），已经对，约化，（，）（，）。则多项式组称为升列。数域中任一非零常数构成一类特殊升列，称为平凡升列。余式公式是消元法中的基本公式。给定升列似，），考虑任意非零多项式对升列的求余。首先，对求余的余式公式对一。求余得到余式一：，依次下去对求余得到余式，一，。可以归纳这一过程为如下公式砰×蟹×妒，一，。（）其中（），为非负整数，研】，。公式（）称作多项式对升列求余的余式公式。称作多项式对升列求余的余式，记作（）。一般仍记为】中的多项式并且满足江苏大学硕士学位论文（，毛）（，），厂，即民关于中每个已经约化。一般多项式邢对升列求余表示中每个多项式关于求余，所得余式全体记为（）。特征列是吴代数消元法中的基本概念，实际上可由特征列的零点集给出多项式零点集的构造性描述。定义给定多项式，如果下列条件成立（）（）：（）（）（）。那么非平凡升列称为的特征列。特征列的计算就是消元过程。给定多项式组假，己，只】，将邢中类（）为的多项式归为一类。记为乙每一类中选取主变元鼍幂次最低的多项式置，则多项式组邯置吼）是“三角化的。一般的不一定是升列，可以通过中的多项式的求余运算余式来扩充多项式组邢。有（）式可知，这样的扩充不会改变邢的零点集。经过有限部求余可以由产生一个升列，仍记为，称此为的一个基列。可由下述算法实现特征集的计算输入：多项式组邢；输出多项式组的