直线倾斜角和斜率优秀教案

1、资源信息表标题：11.2直线的倾斜角和斜率关键词：直线、倾斜角、斜率描述：教学目标理解倾斜角与斜率的概念；建立倾斜角、斜 率与直线方向向量、法向量的关系；认识事物问 联系的本质，体会用联系的观点看问题.教学重点与难点直线的倾斜角、斜率的概念；已知倾斜角、斜率、方向向量中的一个，求 其它两个.学科：高二年级 数学第二册 11.2语种：汉语媒体格式：教学设计.doc学习者：学生资源类型：文本类素材教育类型：高中教育 高中二 年级作者：单位：地址：Email:11.2 直线的倾斜角和斜率1、 教学内容分析本节的重点是直线倾斜角和斜率的概念. 引入斜率和倾斜角是为了刻画直线和X轴间的相对位置关系，是由

2、于进一步研究直线方程的需要. 在直线倾斜角和斜率学习过程中，要引导学生理解倾斜角与斜率的相互联系，以及它们与三角函数知识的联系 .本节的难点是当斜率为负值或斜率不存在时，求直线的斜率；弄清倾斜角、斜率与直线方向向量、法向量的联系，已知其中一个，会求其它三个.2、 教学目标设计理解倾斜角与斜率的概念; 建立倾斜角、斜率与直线方向向量、法向量的关系；认识事物间联系的本质，体会用联系的观点看问题.三、教学重点及难点直线的倾斜角、斜率的概念以及它们之间的关系；已知倾斜角、斜率、方向向量中的一个，求其它两个四、教学用具准备投影仪，ppt演示 五、教学流程设计六、教学过程设计一、复习引入第一节中，我们学习

3、了一次方程 ax +by+ c = 0（a,b不全为0）是 直线的方程，即可以用方程这个代数形式描述直线这个几何曲 线.任意两条直线都可以构成角，为了把它代数化，我们用第三 条直线去交这两条直线，如果知道它们各自与第三条直线所交 成的角，那么它们构成的角就可以算出.我们取x轴作为第三条直线，考虑任意直线与x轴构成的角.二、讲授新课1、概念引入什么是倾斜角？给出一些与x轴相交的直线(如y =x-1,y = -x-1,x=1),学 生对照图形，给出倾斜角的定义，教师帮助规范语言，完善概 念.若直线l与x轴相交于点M ,将x轴绕点M逆时针方向旋转 至与直线l重合时所成的最小正角0t叫做直线l的倾斜角

4、.那么y =3的倾斜角怎么规定呢？当直线 l与x轴平行或重合(即l与y轴垂直)时，规定其倾斜角口 =0 .根据定义，直线的倾斜角口的取值范围是0M).特别地，l与x轴垂直时，口什么是斜率当口 #工时，记0f的正切值为k ,把k =tana叫做直线l的斜 212 / 11率；当时，直线l的斜率k不存在.2、概念深化随着倾斜角a在0,叼内的取值逐渐增大，斜率的值如何变化呢?当口 ¥ "时 斜率k =tanot存在，作出y =tanot在0, " ）U （工，江） 222的图像，正切函数y=tana在区间0,2）为单调增，在区间（Ln）22内也是单调增，但在0,3U（L

5、n）内，却不具有单调性. 22得到以下结论：（1） 0 _ :：二一2随着倾斜角u的不断增大，直线斜率不断增大，k w 0,收）.（2） 一 ：二：二2随着倾斜角口的不断增大，直线的斜率不断增大，k （-二，0.）反之，k 0时,二（0,一）； k =0时，二=0； k ：二0时，;（一，二）. 22直线l的倾斜角久、斜率k、方向向量d之间有什么关系？已知其中一个可以求其它两个吗？（1）已知倾斜角久当c（#二时 k=tana；当口=，时，斜率k不存在. 22方向向量I =（r cos%r sin"）, r =0.特别地，当土时，显然 2rcosa#0,则（8",而）=（1卜

6、）也是直线的一个方向向量. r cos 二 r cos ;（2）已知斜率k （"#；）当k之0时，由口三0,：）,故倾斜角a = arctan k ；当k < 0时， 由 uw （一,冗），故 a =冗+arctan k .由于，直线的一个方向向量d = (1,k).2(3)已知一个方向向量d = (u,v)当u = 0时 直线垂直x轴，k不存在 a =;当u/0时2d=(1,v)也是一个方向向量，而k存在，再由上面的分析知(1,k)也 u是方向向量，故k=v (这个结论也可以从几何角度研究得到)； u倾斜角的研究要根据k=v的符号讨论(请学生课后自行完成). u思考：法向量，

7、倾斜角，斜率又有何关系？(请学生课后自行完成)3、例题解析例1 .已知直线l上两点A,B ,求直线l的倾斜角a和斜率k .(1) A(1,3), B(5,-1)； A(1,2), B(1,-1);(3) A(0,5), B(1,5).说明本题考察学生对倾斜角、斜率定义和关系的掌握.一i般，当X1 # X2日寸，过两点A(x1, y1), B(x2,y2)的直线的斜率 k = y2 -y1 ；当k=X2时，直线斜率不存在.X2 -XI I解： 直线的一个方向向量为d=7B = (4, Y),故k = -4 = 143a =冗 +arctan(-1)=n；4一 ,.,，、,人、，一、.1 一一，1

8、(2)直线的一个万向向量为d=AB=(0,-3)，故k不存在，口 = 1兀；2(3)直线的一个方向向量为d=/=(1,0),故k=0,3=0； -i思考：已知直线l过两点A(a,0), B(0,b),直线l的倾斜角u和斜率k是什么？例2. (1)已知直线斜率k=-2,求倾斜角a及一个方向向量； (2)已知直线l的一个方向向量为4=(后-3),求直线l的倾斜角和斜率.说明本题考察直线倾斜角、斜率、方向向量之间的关系.解：(1) k = 一2 <0,故a 为专屯角，a = n +arctan(-2) =n -arctan 2 ;直线的一个方向向量d =(1,k) =(1,-2)；/ c 一一

9、3一 一-2(2) k=7 = V3<0, 3 = n+arctank =冗 +arctan(->/3)=、冗.注意：通过k求a时，要先判断k的符号，若k A0,支=arctank为锐角；若k <0, 口 =兀+ arctan k为钝角；若 k =0, 口 =0 .例3.已知M(2m+3,m), N(m-2,1),当m取何值时，直线MN的倾斜角为锐角、直角、钝角？说明本题主要涉及倾斜角和斜率的关系.解：若直线MN 的倾斜角为锐角，则k = y1 - y2 =m211= m11 >0, 故 m<-5 或 m>1; 若直线Xi -x2(2m 3) -(m -2)

10、 m 5MN的倾斜角为直角，则k = m-1不存在，故m = -5;若直线MN m 5的倾斜角为钝角，则k=3<0,故_5<m"m 5思考：m=1时，直线MN的倾斜角为何值？例4.求直线y =sina|Jx十1的倾斜角的范围说明本题主要涉及倾斜角和斜率关系的应用.解：设倾斜角为 M由题意知斜率k=sinae_1,1；1当 kw1,0)时，P 为钝角，P=n+arctank,由翻k= 0-jt,43得 B = n + arctan k 匚一 n ,n);4当 kw(0,1时，B 为锐角，得 P=arctankw(0，；4当 k=0 时，P=0;综上所述，倾斜角的取值范围是0

11、U3二,二). 44说明上题的a不是倾斜角.解题时需注意当k的符号不同时须分开讨论，因为k>0,倾斜角为锐角；k<0,倾斜角为钝角.思考：若已知倾斜角«-,2,斜率k的取值范围是什么？4 3例5.已知M(-1,-5), N(3,-2),若直线l的倾斜角是直线MN的倾斜角的一半，求直线l的斜率.说明本题主要涉及倾斜角、斜率定义及其应用.解：设直线l的倾斜角为a ,则MN的倾斜角为2c(.由2口 w 0, n )得K0；).由已知 tan2a=kMN=仝*=3，二2"二 ,即23 -(-1) 4 1 - tan a 42 13 t a n + 8at -a n=.解

12、彳枳tan= -成一，由 c( w 0, )但 tana > 0 ,32故tana = 1直线l的斜率为-. 33说明倾斜角的范围2uw0,n)是一个隐含的条件，由它得到的 咱0,2)是一个舍解的条件.例6.已知P(3,-1),M(5,1),N(2,73-1),直线l过P点且与线段MN相交，求：(1)直线l的斜率k的取值范围；(2)直线l的倾斜角a的范围.说明本题主要涉及倾斜角和斜率定义和关系的灵活应用.解：(1) kpM JE =1, kpN ;二73,故kw (口,_73U1,f)； 5-32-3(2)当YD时，倾斜角a呜|叼;当YL)时, 二 二一二 r “人 y ，- r: 2a

13、W一,)；又a =也付合题息，综上，aW一,一叼.4 224 3说明先画出图形，在学习解析几何时要多注意数形结合.三、巩固练习1 .已知直线的倾斜角为 。，且cosx=3 ,则直线的斜率为5.2 .经过点A(-2,0), B (5, 3两点的直线的斜率是 ，倾斜角是.3 .下列命题中正确的是(1)若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；(2)若两直线的斜率相等，则它们的倾斜角也一定相等；(3)若两直线的倾斜角不相等，则它们中倾斜角大的，斜率也 大；(4)若两直线的斜率不相等，则它们中斜率大的，倾斜角也大.4 .过A(1a,1+a), B(3,2a)的直线的倾斜角为专屯角，贝U实数 a的取 值范围是.5 .直线x yc o - s- -8 一 小 0 ( R的倾斜角的取值范围是6 .过P(-1,-封的直线l与y轴的正半轴没有公共点，求直线l的 倾斜角的范围.7 .直线l x-2y+2=0的倾斜角大小为a , l与y轴交于点P,将l 绕P逆时针旋转a角得直线求l，的方程.说明相关的例题和练习请教师根据学生的实际选用.四、课堂小结1 .倾斜角与斜率的概念；2 .斜率和倾斜角的相互联系，倾斜角、 斜率与直线方向向量、法向量的相互联系五、课后作业 书面作业：习题11 .2A组1-10, B组1-3七、教学设计说明1 .分类讨论的思想在这节里，斜率k和倾