位值原理与数的进制教师版知识交流

1、5-7位置原理与数的进制教学目标本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。通过本讲的学 习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与 实际问题的综合应用。并学会在其它进制中位值原理的应用。从而使一些与数论相关的问题简单化。、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“ 2 ”，写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。位值原理的表达形式：以

2、六位数为例：abcdef a xiOOOOO+b xiOOOO+c xiOOO+d xioo+e xio+f。二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110) 2=1 X25+0 X24+0 X23+1 X22+1 X21+0 X20。二进制的运算法则：“满二进一”、“借

3、一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。注意：对于任意自然数n,我们有n 0=1。n进制：n进制的运算法则是“逢 n进一，借一当n ”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后 加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。进制间的转换：如右图所示。目(也匸例题精讲模块一、位置原理【例1】 某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于 与的差；【解析】本题属于基础型题型。我们不妨设a>b> c。(abc - cba )*99=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)*99=(99a-99c) +99=a-c ;【巩固】ab与ba的差被

4、9除，商等于 与的差；【解析】(不-ba )+9=(10a+b)-(10b+a)-9=(9a-9b) -9=a-b ;【巩固】ab与ba的和被11除，商等于 与的和。【解析】(品+ ba)-11=(10a+b)+(10b+a)-11=(11a+11b)+1仁a+b。【例2】(美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45,试求这样的两位数中最大的是多少？【解析】设原来的两位数为ab，交换后的新的两位数为ba，根据题意，ab ba (10a b) (10b a) 9(a b) 45, a b 5，原两位数最大时，十

5、位数字至多为9，即a 9 , b 4，原来的两位数中最大的是94 【巩固】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802 .求原来的四位数.【解析】设原数为abcd，则新数为dcba,dcba abcd (1000d100c 10b a) (1000a 100b 10c d) 999(d a) 90(c b).根据题意，有 999(da) 90(c b) 8802, 111 (d a)10 (c b)978 88890 .推知 d a 8 , c b9，得到 d 9, a 1 , c 9, b0，原数为1099 .【巩固】如果一个自然数的各个

6、数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”。例如，99就是一个巧数，因为 9X 9+ (9 + 9) = 99。可以证明，所有的巧数都是两位 数。请你写出所有的巧数。【解析】设这个巧数为ab，则有ab+a+b=10a+b , a(b+1)=10a ，所以b+1=10 , b=9 。【例3】(第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位 数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？【解析】设这六个不同的三位数为abc,acb,bac,bca,cab,cba ,因为 abc 100a 10b c , acb 100a 10c b

7、 ,，它们的和是：222 (a b c) 1554，所以 a b c 1554 222 7 ,由于这三个数字互不相同且均不为0 ,所以这三个数中较小的两个数至少为1 , 2，而7 (1 2) 4 ,所以最大的数最大为 4 ;又1 2 3 6 7 ,所以最大的数大于 3 , 所以最大的数为 4,其他两数分别是1, 2.【巩固】(迎春杯决赛)有三个数字能组成 6个不同的三位数，这6个三位数的和是 2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数.【解析】设三个数字分别为 a、b、c,那么6个不同的三位数的和为：abc acb bac bca cab cba 2(a b c) 100 2(a b c)

8、 10 2(a b c) 222 (a b c) 所以abc 2886 222 13，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13 1 9 3，所以所有这样的6个三位数中最小的三位数为139.【巩固】用1, 9, 7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？【解析】卡片“9”倒过来看是“ 6”。作为卡片“ 9”，由第3题的结果可知，1 , 9 , 7可组成的六个不同 的三位数之和是(1 + 9 + 7 )X222 ;同理，作为卡片“ 6 ”，1 , 6 , 7可组成的六个数之和是(1 +

9、 6 + 7)X222。这 12 个数的平均值是：(1 + 9 + 7 ) + ( 1 + 6 + 7) X222 -12 = 573.5。【巩固】从19九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是3330 ,则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？【解析】设这三个数字分别为 a、b、c。由于每个数字都分别有两次作百位、十位、个位，所以六个不同的三位数之和为 222 X(a + b + c)= 3330，推知a + b + c = 15。所以，当 a、b、c取1、5、9 时，它们组成的三位数最小为159，最大为951。【巩固】a, b, c分别是0： 9中

10、不同的数码，用 a, b, c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数 之和是2234,那么另一个三位数是几？【解析】由a ,b , c组成的六个数的和是222(a bc).因为2234222 10，所以 a b c 10若abc11,则所求数为222112234208 ,但2081011，不合题意.若abc12,则所求数为222122234430,但4 30712，不合题意.若abc13,则所求数为222132234652,6 5 213 ,符合题意.若abc14,则所求数为222142234874,但8 741914，不合题意.若abc15,则所求数2221522341096,但所求数为三位

11、数，不合题意.所以，只有a bc 13时符合题意，所求的三位数为652 .【例4】 在两位自然数的十位与个位中间插入09中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。求出所有这样的三位数。【解析】因为原两位数与得到的三位数之和是原两位数的10倍，所以原两位数的个位数只能是0或5。如果个位数是0,那么无论插入什么数， 得到的三位数至少是原两位数的10倍，所以个位数是5。设原两位数是 ab，则b=5，变成的三位数为 ab5，由题意有100a + 10b + 5 =( 10a + 5 )X9, 化简得a + b = 4。变成的三位数只能是4

12、05 , 315 , 225 , 135。【巩固】一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑 上的数是原来两位数字交换后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换 所得的三位数。【解析】设第一个2位数为10a+b ;第二个为10b+a ;第三个为100a+b;由题意：(100a+b)- ( 10b+a )=(10b+a)- (10a+b);化简可以推得 b=6a , 0 <a,b <9，得 a=1 , b=6 ;即每小时走 61-16=45;

13、(601-106) +45=11 ;再行11小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换 所得的三位数。【巩固】将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数现有一个四位数码互不相同，且没有0的四位数M，它比新数中最大的小3834,比新数中最小的大 4338.求这个四位数.【解析】设组成这个四位数的四个数码为a, b, c , d (9 a b c d 1),则有 abcd dcba 3834 4338 8172 ,可得 999(a d) 90 (b c) 8172 7992 180,则a d 8 , b c 2 , a 9 , d 1 , M 面9 4338，且M的四位数字

14、分别为 1、c、b、9 , 由于8 9 17的个位数字为7 ,所以b , c中有一个为7,但b c 2 ,所以c不能为7 ,故b 7 , c 5, M 1579 4338 5917.【例 5 】 已知 abcd abc ab a 1370,求abcd .【解析】原式：1111a + 111b + 11c + d = 1370 ,所以 a = 1 ,贝U 111b + 11c + d = 1370 1111 = 259 , 推知b = 2 ;进而推知 c = 3 , d=4 所以abcd=1234。【巩固】(2008年清华附中考题)已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008 ,则所有这样的

15、四位数之和为多少.【解析】设这样的四位数为abcd ,贝U abcdabc d2008，即 1001a 101b 11c 2d 2008，则 a 1或2.若a2，则 101b 11c 2d 6 ,得bc 0,d 3,abcd 2003 ;若a 1 ,则 101b 11c2d1007 ,由于11c 2d 11 929 117 , 所以101b1007 117890，所以b8 ,故b为9 , 11c2d 1007 90998，则c为偶数，且11c 98 2 9 80,故 c 7 ,由 c 为偶数知 c 8 , d 5 , abcd 1985 ;所以，这样的四位数有 2003和1985两个，其和为：

16、2003 1985 3988.【例6】 有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3,则可得到一个四位数.将这两个三位数和一个四位数相加等于3600 .求原来的两位数.【解析】设原来的两位数是Ob，则得到的两个三位数分别为赢和議，四位数为 融，由题知ab3 3ab 3ab3 3600，即 10 ab 3 300 ab 3003 10 ab 3600 , 21 ab 294，故 ab 14 .【巩固】如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加A1111，这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A。【解析

17、】设这个数为x，则10x+5-x= A1111,化简得9x= A1106 ,等号右边是9的倍数，试验可得A=1 ,x=1234 。【巩固】某八位数形如2abcdefg，它与3的乘积形如abcdefg4，则七位数abcdefg应是多少？【解析】设 abcdefg x , 则 2abcdefg 2 107 x , abcdefg4 10x 4 , 根据 题意， 有2 107 x 3 10x 4，得 7x 6 107 4 59999996，所以 x 8571428.【例7】 一个 六位数abcdef ,如 果满足4 abcdef fabcde ,则 称abcdef为"迎 春数”（例如4 1

18、02564 410256，贝U 102564就是“迎春数”）.请你求出所有“迎春数”的总和.【解析】由于是把六位数abcdef的末位f调到首位构成了新六位数fabcde ,所以不妨把abcde看成一个整体，设abcde A ,则根据位值原理可知“迎春数”是10A f ,并满足关系式：4 10A f 100000 f A .对等式化简得：39 A 99996 f .所以：A 2564 f .因为A是五位数，f是一位数，所以f可以为4, 5 , 6 , 7 , 8 , 9.而“迎春数” abcdef 10A f 10 2564 f f 25641 f ,那么，所有“迎春数”的总和是：25641 4

19、 5 6 7 8 9 25641 39 999999 .【巩固】（2008年“华杯赛”决赛）设六位数abcdef满足fabcde f abcdef，请写出这样的六位数.【解析】令 abcde x，则：fabcde f 10 x, abcdef 10x f，所以 f 10 x f 10x f，可得 f 105 fx.此时可将f 1 , 2 , 3 , 4, 5 , 6 , 7, 8 , 9 一一代入进行检验，可得当f 1时,10 f 1x 111111 ;当f 4时，x 102564 .只有这两个数满足条件.由于将f可能的值一一代入进行检验有些麻烦，可以将其进行如下变形后再进行:f 1051x1

20、0f1105f105 f 1041042-104210f1,所以x1041041044.105 10f2x 1010 f10f 110610f设其为a ,则10a1 -10f110f 1999999 的约数.当10510f210f2 f105 f是整数.10f110f 110610f10f 1106 1999999r-r- f口1 -是整数,所以10f1是10f110f 110f 110f 110f 11分别为1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6, 7 , 8 , 9 时，10f9, 19 , 29 , 39 , 49 , 59 , 69 , 79 ,89，由99999933 7 11 1

21、3 37容易知道其中只有9和39是999999的约数，此时f分别为1和4 .这样的六位数有 111111和102564【例8】 记四位数abcd为X ,由它的四个数字a,b,c,d 组成的最小的四位数记为X ,如果 X X* 999，那么这样的四位数 X共有个.【解析】X X* 999得到X 999 X X 1000 1，所以如果a、b、c、d组成的四位数 X末位数 字不是0,那么X等于将X的千位数字加1,个位数字减1 ,反过来X等于X的千位数字减1 , 个位数字加1，所以X为a 1 bc d 1 ,与X比较，b和c位置没有换，交换的是 a和d , X 表示为dbca,可以得到等式a 1 d，

22、即a d 1 所以a和d的取值组合，只有2和1 ,3和2, 9和8，共8种情况.对于其中任意一种组合，由于 dbca是由四个数字 a b、c、d组成的最小的四位数，分别考虑 b、 c中有0的情况（可能两个都为0;若只有一个0,则b 0 , d c a）；以及b、c都不为0的情 况（此时d b c a ），可知两种情况下各有 3种可能，共6种可能：d00a , d0da , d0aa , ddda ,ddaa , daaa .比如以 a 4 , d 3为例，dbca可能的取值有 3004 , 3034 , 3044 , 3334 , 3344 ,34444这6个数.根据乘法原理，满足条件的四位数

23、一共有8 6 48种.如果a、b、c、d组成的最小的四位数 X末位数字是0,显然X的百位、十位都是0,此时a、 b、c、d无法组成其它的四位数，不合题意.由于每一个X对应一个X，所以满足条件的四位数X共有48个.【例9】 将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数(4 3 2 1 24).将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在30004000之间.求这24个四位数中最大的那个.【解析】从题中可以看出，这4个数都不为0 .设这4个不同的数从小到大依次为a,b,c,d，它们组成的2

24、4个四位数中，第二小的是abdc,是5的倍数，又c不为0,所以c 5 .它们组成的24个四位数中，第二大的是 猛，是2的倍数但不是4的倍数，所以b是偶数，而 ab不是4的倍数由b是偶数且b c 5知b为4或2 若为2，那么a 1，但此时ab 12是4 的倍数，矛盾，所以，又 Ob不是4的倍数，所以a为1或3.它们组成的24个四位数中，第五小的为adbc (最小的5个依次为abcd , abdc , acbd , acdb ,adbc)，第五大(第二十小)的为dacb (最大的5个依次为dcba , dcab , dbca , dbac, dacb ),所 以dacb adbc得到的四位数的千位

25、为3 .由于a d，所以acb dbc，那么减法算式中百位要向千位借位，所以 d 1 a 3，故d a 4 又d c 5，所以a 1，那么a 3, d 7, 它们组成的24个四位数中最大的为 dcba，即7543 .模块二、数的进制【例 10 】(101)2 (1011)2 (11011)2 ； (11000111) (10101)2 (112 ( ) 2 ； (3021)4 (605)7 ()10 ； (63121)8(1247)8 (16034)8 (26531)8 (1744)8 ； 若(1030)n 140，则 n .【解析】 对于这种进位制计算，一般先将其转化成我们熟悉的十进制，再将

26、结果转化成相应的进制：(101)2 (1011)2 (11011)2 (5)10 (11)10 (27)10 (28)10 (11100)10 ； 可转化成十进制来计算：(11000111) (10101) 2 (112(199)10(21)10 (3)10(192)10(11000000);如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对(10101)2 (11 2进行除法计算，只是每次借位都是 2,可得(11000111)2 (10101)2 (11)2 (11000111)2 (111)2 (11000000)2 ； 本题涉及到3个不同的进位制，应统一到一个进制下.统一到十进制比较适宜：32(

27、3021)4 (605)7 (3 42 4 1加(6 75朮 (500)® ； 十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法”，在n进制中也有“凑整法”，要凑的就是整n .原式(63121)8 (1247)8 (26531)8】 (16034) 8 (1744)*(63121)8(30000)8(20000)8(1312厲； 若(1030)n 140，则n 3n 140，经试验可得n 5 .【巩固】567() 8() 5() 2 ； 在八进制中，1234 456 322 ； 在九进制中，14438 3123 7120 11770 57

28、66 . 原式 1234 (456322)12341000234 ; 原式 14438(3123 5766)(712011770)14438 10000 200004438 .【例11】在几进制中有4 13 100?【解析】利用尾数分析来解决这个问题：由于(4)10 (3)10 (12)10，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位. 所以说进位制n为12的约数，也就是12 , 6 , 4, 3, 2中的一个.但是式子中出现了 4，所以n要比4大，不可能是4, 3 , 2进制.另外，由于(4)10 (13)10 (52)10，因为52 100，也就是说不到10就已经进位，才

29、能是 100，于 是知道n 10，那么n不能是12 .所以，n只能是6 .【巩固】在几进制中有125 125 16324?【解析】注意(125)10 (125)10 (15625)10，因为15625 16324,所以一定是不到10就已经进位，才能得到 16324，所以 n 10.再注意尾数分析，(5)10 (5)10 (25)10，而16324的末位为4，于是25 4 21进到上一位. 所以说进位制n为21的约数，又小于10,也就是可能为 7或3 .因为出现了 6，所以n只能是7 .【巩固】算式1534 25 43214是几进制数的乘法？【解析】注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字

30、为4 5 20，但是现在为4，说明进走20 4 16，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2.因为原式中有数字 5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有1534 25 38350 43214，所 以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制.【例12】将二进制数(11010.11)2化为十进制数为多少？【解析】根据二进制与十进制之间的转化方法，(11010.11)2=1 X24+1 X23+0 X22+1 X21+0 X20+1 X2-1+1 X2-2=16+8+0+2+0+0.5+0.25=26.75。【巩固】二进制数转化为8进制数是多少?【解析】根据二进制与八进

31、制之间的转化方法推导出二八对照表：八进制数01234567二进制数000001010011100101110111从后往前取三合一进行求解，可以得知【巩固】将二进制数11101001.1011转换为十六进制数。【解析】在转换为高于9进制的数时，遇到大于9的数用字母代替，如：A代表10、B代表11、C代表12、D代表13。根据取四合一法，二进制 11101001.1011转换为十六进制为 E9.B。【巩固】某数在三进制中为，则将其改写为九进制，其从左向右数第I位数字是几？【解析】由于32=9，所以由三进制化为 9进制需要取二合一。从后两个两个的取，取至最前边为12，用位值原理将其化为 1 X31

32、+2 X30=5，所以化为9进制数后第一位为 5.【例13】现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？【解析】因为砝码的克数恰好是 1 , 2 , 4, 8, 16，而二进位制数从右往左数各位数字分别表示：1 , 2,22=4 , 23=8 , 24=16，在砝码盘上放1克砝码认为是二进位制数第一位 (从右数)是1，放2克 砝码认为是二进位制数第二位是 1,，放16克砝码认为是二进位制数第五位是 1，不放砝码 就认为相应位数是零，这样所表示的数中最小的是1，最大的是(11111)2=24+23 + 22 + 21 +20=(31)10，这就是说1至31的

33、每个整数(克)均能称出。所以共可以称出31种不同重量的物体。【例14】在6进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少【解析】(abc)6=a x 62 +b x 6+c=36a+6b+c;(cba)9=c x 92+b x 9+a=81c+9b+a;所以36a+6b+c=81c+9b+a; 于是 35a=3b+80c;因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数.所以3b也必须是5的倍数，又(3, 5)=1 .所以，b=0或5. 当 b=0，则 35a=80c ;则 7a=16c ; (7, 16)=1，并且 a、c0,所以 a=16 , c=7。但是在6,9进制，不可

34、以有一个数字为16 . 当 b=5，则 35a=3 X5+80c ;则 7a=3+16c; mod 7 后，3+2c 司。所以 c=2 或者 2+7k(k为整数).因为有6进制，所以不可能有 9或者9以上的数，于是 c=2 ; 35a=15+80 X2 , a=5。所以(abc)6 =(552)6 =5 X62+5 X6+2=212 。这个三位数在十进制中为212。【巩固】在7进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少？【解析】首先还原为十进制：2 2(abc)7 a 7b 7 c 49a 7b c; (cba) 9 c 9 b 9 a 81c 9b a .于是 4

35、9a 7b c 81c 9b a ;得到 48a 80c 2b，即 24a 40c b.因为24a是8的倍数，40c也是8的倍数，所以b也应该是8的倍数，于是b 0或8 . 但是在7进制下，不可能有 8这个数字于是 b 0，24a 40c，则3a 5c.所以a为5的倍数，c为3的倍数.所以，a 0或5，但是，首位不可以是 0,于是a 5，c 3 ;所以(abc)7(503)75 493 248 .于是，这个三位数在十进制中为248 .【巩固】一个人的年龄用十进制数和三进制数表示，若在十进制数末尾添个“0”就是三进制数，求此的年龄.【解析】设这个人为a岁，得a(10)臥，又臥)a3103

36、6;3a：10)，解得a 0，不合题意，所以这个人的年龄不可能是一位数.设这个人是ab岁，由题意得：ab(10) ab0(3).因为 臥 10a b,ab0(3) a 32 b 310 30 9a 3b，所以 10a b 9a 3b，即 a 2b .又因为ab0是三进制数，a，b都小于3，所以a 2，b 1 .所以，这个人为 21岁.设这个人为abc岁，由题意有，abc(10) abc0(3)，因为abq1。)100a 10b c ， 32abc0(3) a 3 b 3 c 3 27a 9b 3c,所以 100a 10b c 27a 9b 3c .即 73a b 2c .又a、b、c都小于3，所以上述等式不成立所以这个人的年龄不可能是三位数.综上可知这个人的年龄是21岁.【巩固】N是整数，它的b进制表示是777，求最小的正整数 b，使得N是十进制整数的四次方.【解析】设b是所求的最小正整数，7b2 7b 7 x4 x N ,因为质数7能整除7b2 7b 7 ,所以也能整除x,不妨设x 7m , m是大于0的自然数。贝7b2 7b 7 7m 4，化简得：b2 b 1 7肯4 , 易知，b的值随m的增大而增大，当 m=1时，b=18。【例15】试求(2 2006-1)除以992的余数是多少？【解析】我们通过左式的短除法，或者直接运用