中北大学概率统计练习册答案详解

1、实用标准文档第一章随机事件与概率1、(1)。=3,4,川,18 , A=4,6,川,18;(2) C=(正，反)，(正，正)，(反，正)， (反，反), B=(正，反)，(正，正)。2、(1)表示三门炮中至少有一门炮击中目标(2)表示三门炮中至少有两门炮击中目标(3)表示三门炮都击不中目标(4)表示三门炮中至少有一门击不中目标或表示三门炮中至多有两门炮击中目标(5) ABC + ABC + ABC(6) ABC + abc+AbcABC(8) A + B+C9、0.2510、(1) 0.2;(2)0.4;(3)0.8;(4)0.7。11、(1) 0.85 0.9411712、8013、C2Cm

2、C2 或。cmeC1 C1C2CmCM mCmC2 一 C2CMCM m14、 (1) 23;22P p 1；(3) 3p 22 _P_ 一 215、(1)5 ,、 8(2)122516、0.042;0.02317、设 A="甲机床需要看管”；B =“乙机精彩文案3、(1)(2)(3)(4)7244、5、6、mn(1) 0.00539 (2) 0.03795(1)p =c6c2c2c2c2/c1；=33(2)17337、1n_ n n8 _5_4_9n9n9n8、1725床需要看管" ；C= "丙机床需要看管”；A B、C相互独立，(1) 0.003 ;(2) 0

3、.38818、独立19、0.99420、(1) D ; (2) D ; (3) C ; (4) B21、(提示：先求出击不沉的概率)1283/129622、1 0.9981500 定 0.95第二章随机变量及其概率分布X0123p1/32/94/278/271、,、八 1,、62、(1) C =一；(2)一。770, x<11/3, 1 <x<43、(1) F(x) =41/2, 4Mx<65/6, 6<x<101, x.10,、1(2) P2：Xe6；2,、1PX <4=;3,、1P1 <X <5 =-o k 1k 14、(1)PX=k=

4、q p=(1p) p k=1,2,3,|(2) PX =k =C：；prqk+ k=r,r+1"|qqOQ(3) 2 PX =2k =£ 0.45(0.55)27=11 k 1k 1315、(1) k = 4 ；(2) PX >0.8 =0.1296。6、(1) A=1/n(2) 13'0x < -1_1，n- F(x)= (arcsin x )-1 - x -1二21x 11 1 x三e7、(1) f (x) = <x(2) ln5 2ln 20 else8-80816 )8、(1)©2 0.3 0.1 0.4 71 125)(2)03

5、 0.3 0.4 y_i_(2)fY( y) = 2y 0,2<y<1；其他0 : y ： 1其他10、(1)在放回抽样的情况下,(X,Y)的联合分布列为:2(a b)X01paba+ba +b随机变量X的边缘分布律为:X01paba+ba +b随机变量Y的边缘分布律为:X与Y是相互独立的(2)在不放回抽样的情况下,1ab2(a b)2b(a ' b)2(3)X、Y010a(a -1)ab(a +b)(a +b -1)(a +b)(a +b -1)1abb(b-1)(a +b)(a +b -1)(a +b)(a +b -1)（X,Y）的联合分布列为:X01paba +ba

6、+b随机变量X的边缘分布律为:X01Paba+ba+b随机变量Y的边缘分布律为:因为 PX =0,Y =0 #PX =0PY =0,所以X与Y是不独立的。11、x7123411/400021/81/80031/121/121/12041/161/161/161/1612、（1) k =1一 ；8（2）3一;8(4)13、(3)(4)14、15、16、*17、27一;322-o3(1) A = 6 ；F5(e产,x：,y00,其它fX (x)=fY(y)=,2ex,x >0i 0,x <0y,y > 01 0,y <017e”定 0.983。l2x, 0 : x 1 &q

7、uot;0,1 y, fY(y) = 1 -y, 0,11a b =五(2)1 -其它-1 二 y _ 0;0 : y m 1其它aAb=3一8:二 z ：二 1fz (z) = (e 1)e",00.250.75,0,z 一 1其它*18、PQ 之 0 = PX2-4Y 之 01 一，3J l(4) D(X)=-O9l <412第三章随机变量的数字特征1、易知X的分布列为40.180.2100.7所以E(X)=9; D(X)=3.42、3、PX =2 = P1P2 (1 -P1)(1-P2)PX =3 = (1-p2)p1 (1-pi)piP2PX =4 =(1-p1)p1(

8、1-p2)E(X)=(2-6)1 +«(2心2)。4、5、6、7、8、E(X)9、(1) E(5X -2 = -12 ；(2) D(2X +5) =20 。10、(1) E(Y)=0；(2) D(Y) =1。11、12、13、14、=0 D(X)=2。k =4 , a =3。(1) c = 1;2一 一 1(2) P-1<x<1=_;4“、4(3)E(X)=一 ；389(1) 9.6 14.1 。(1) E(X)=2, E(Y)=1; 3311D(X)一，D(Y)=一;1818(3)(4)15、1-cov(x，y)f PxyE(XY)=1, E(X2+Y2) 4设进货量为

9、a,利润为Y_ 500a 300(X - a), 30 - X a一 500X -100(a -X) 10 MX < a1 E(Y)= 20a,(0l500x-100(a-x)】dx301.500a 300(X -a) Idx - 9280 20 a二 302 Wa£26,a最少为 213z 2 116、(1) 一 ,一 ，3 182 1三,瓦（3）d（X）3 18*17、 PX =11 1 PX =2=-2 3,、1PX =3 =22 1'一'一, 3 41 2PX=k=2 36、 (1) PX<10=0.5(2) P0 <X <10 = 0

10、.3(3) PX <0 =0.27、 (1) E(Z)=2E(X) =" kk=4D(Z) =97故x的数学期望不存在。第四章 几类重要的概率分布1、设X表示提出正确意见的顾问人数，则 X u B(3,0.8)PX _2 =PX =2 PX =3 =0.8962、设X表示同时开动机床数的台数,一 ,2则 X B(5,2)3(1)(2)(3)PX =4=80243,、17PX <2 1 812 10E(X) = np = 5 =不33(4)3、0.959574、(1)九=4则 E(X)=九=4；8(2) PX =2 = 7 之0.1465。 e5、 a =162797(2)

11、 Cov(X,Y)=2.4E(Z) = 2 D(Z) =82.68、最多装39袋水泥9、(1)10.2231(2)1上0.0111。10、(1) PX <0.2 =0.4;(2) E(X) = 0。111、(1) f(x,y)=3 0(2) P(X <Y)=56(3)0<x<1,0<y<3其他0105/6011/121/121122、23、2,，+。2U+V012p5/61/121/12第五章基本极限定理4、设X表示晚间同时去图书馆上自习的人数，P650 <X <750之 0.916。5、设 也表示掷n次铜币正面出现的次数，则P0.4<0.

12、6 _0.9= n . 250n6、0.68267、(1) 0.5436。(2) 0.98169。8、(1) 0.1802(2)最多只能有443个9、0.706210、(1) 0.0003。(2) 0.511、因为服从参数为的指数分布，故:lim PrX E(XJniimn'、D(Xi) <xi 1n= lim P Xi n 二 yEx =6(x).第六章样本及抽样分布(1) （1）PXi =X,X2 =X1,|",Xn = XnJnx=pi (1-P) i-。(2)nPXi =k =C：pk(1-p)J k =0,1,|l|,n i 4(3) E(X)=p, D(X)

13、= p(1-p), nE(S2) = p(1p)。2、样本均值：X &13.42(mm)样本方差：s2 ： 0.01221(mm2)2、B2 球 0.01215( mm )。3、 (1)n >40； (2) n>1537； (3) n 2 255；4、证：略5、0.95446、 (1)E(X) = p,D(X)= p(1p) n(2)E(S2) = p(1-p)X X7、提示：U =厂 N(0,1)Jn1，222=in4)SL 2(n-1) 二28、(1) 72(2n) , (2) 72(1), (3) F(n, n),(4) t(n), (5) t(2)9、C, A, D

14、10、豆1 =10.932 ,仪2 =62.082211、 2.706na(3) 193.0,247.0。1 , I-12、a=，b=;2 20100*13、2n 1fz(Z)= nz0 < z< 10,其它，、,、 1、(2)PminX1,X2，川,X10”2(4) 258.1,3985.6。9、(1) -0.3545, 2.5545(2) 0.1767, 1.613610、(1)日的极大似然估计量为e=minX1,X2,|",Xn。-11 .= PX1 ,X2 一, ,X10223=min Xi, X2,111, Xn的概率密度函数为第七章参数估计fZ (z)=.n(

15、z _-) ne0,z»z ； ?1、 ？=x=1147 W2 =s2 =7578.9。2、 (1) (?="夕=528(2) LC)=2i5(1-i)33 = 53、(1)，? = 1/ X n(2)?=n/< Xi =1/ Xi 111 _n o4、?=乙Xi ,无偏估计n i 15、443.5,448.5。6、68.2,71.8。7、12.49,118.34 o 18、(1 ? = x =-(221 +191+111+245)=220(2)H2=s2 =662.4。E(因-二 1 E(M) = u n(2)日的矩估计量为另=X -1。E(岑)= E(X 1)=E

16、(X)1 = e , (3)D(g) =D(X -1) = D(X) =-D(X)=- n nD(彳) n当n>1时,D(耳)<D遥)，故里比与有效。11、证略，国是u的最有效估计量.12、证略，a = -n- , b = n n2n11第八章假设检验1、按题意，要检验的假设是 Ho：N=32.0, Hi：N=32.0。因为仃2 =1.21已知，所以选取统计量10.1-10M0.1,5-2.24U =X 飞1N(0,1)二 / , n拒绝域为：W=u|>u J一2当 a =0.05时，U a =u0.975 1.96 ，1 _2落入拒绝域，故拒绝原假设。即可以认为这批 新摩托

17、车的平均寿命 N有显著提高。3、仃2未知时，对N的假设检验X所选用的统计量为T=X 0 L t(n-1)S/ . n故拒绝域为 W = u| >1.96计算样本均值_ 1 _，一x = (32.6 30.0 I 31.6) =31.66统计量的观测值为X坊| 31.6-32.0u =lxV6 =0.89二/ . n 1.1没有落入拒绝域，故接受原假设。即可以认为N=32.0。拒绝域为： W = t >t q(n1) 一2当 a =0.05时，t1§(n-1)=t0.975(19) = 2.093,一2 故拒绝域为 W=t .2.093样本均值X= 0.6605,样本均方差

18、s=0.0925于是统计量的观测值为0.6605-0.618720 = 2.0550.0925没有落入拒绝域，故在显著性水平口=0.05下接受原假设卜=0.618。2、按题意，要检验的假设是H0：Y10, H1 : >10o因为=0.12已知，所以选取统计量X - J0 1U -0 L N(0,1)二 / ,n拒绝域为：W =u u1 _：当 a =0.05时， uy = u0.95 =1.645 ,故拒绝域为 W =u 1.645统计量的观测值为4、(1)按题意，要检验的假设是Ho：N=30, H1 30。这是仃2未知时，对N的假设检验所选用的统计量为T =X -,0|_ t(n-1)

19、S/ . n拒绝域为： W=t t -.(n-1)一2当 a =0.05时，t1§(n-1)=t0.975(6) =2.447,一2：1.06故拒绝域为W =t >2.447样本均值X =29,样本方差s 二(n-1)= 20.025(6)=1.2372故拒绝域为W = 2 14.449 or 2 ：二 1.237统计量的观测值为2 (n -1)S2 6 3 «=2 = = 4.5二 04没有落入拒绝域，故接受原假设。即可以认为。2 =4。 =3于是统计量的观测值为x-1 29 -301 厂t =.=. 7 =1.528s/ . n 3没有落入拒绝域，故接受原假设。即

20、可以认为3 =30。(2)按题意，要检验的假设是22Ho :仃=4 , Hi :仃 ¥4。这是N未知时，对1的假设检验所选用的统计量22 =In4)S_1 2(n-1) 二 0拒绝域为：W = 2 :二 2.(n -1)or2222 -Xn-1)1;2当 a =0.05时，：.(n-1)= 20.975 (6) =14.4491 _25、设第一批电子元件的电阻XL N(H,a2),第二批电子元件的电阻yL N(N2,。；)。由已给数据分别计算两批电子元件电阻的样本均 值与样本方差的观测值，得X =0.1405(0), S12 =7.5X10-(Q2).y=0.1385(Q), S2

21、=7.1父10"(。2)。(1) 按题意，要检验的假设是, 22. .22H 0 :1 = '- 2 , H 1 ：1-1 2。因为因，匕均未知，所以选取统计量S2f =看鼻(叫-1，叫-1)拒绝域为： W =F :二 F-.(n1 -1,n2 -1) or2F F1 ：.(n1 -1,n2-1)一2当 a =0.05时，F一.(» -1,n2-1)=F0.975(5,5) = 7.15一21F-.(n1 -1,n2 -1)-F0.025(5,5) = -2F0.975(5,5)10.1407.15故拒绝域为 W=F 7.15 or F < 0.14统计量的观

22、测值为S2 7.5 炉F =:二TS27.1 10没有落入拒绝域，故接受原假设。即可以认为 两批电子元件电阻的方差无显著差异。(2) 按题意，要检验的假设是一：片=芯,Hi： 2；叶/。因为仃；,222均未知，由(1)的结论知O: =02 , 所以选取统计量T =X -丫口面1 1 -1) -1)§2 仙 -1虑 ni n2L t(n1 n2 -2)拒绝域为： W = t >t a(n1 +n2 2)1 士2当 a =0.05时，t(n1 n2 -2) = to.975(10) =2.23,1故拒绝域为W =t >2.23统计量的观测值为t _|x y|n1n2(n1 +

23、n2 7)(ni -1)S2 (n2 -1)S2 n1 n20.1405-0.13851,33 1.345 (7.5 106 7.1 10，)没有落入拒绝域，故接受原假设。即可以认为 两批电子元件电阻的均值无显著差异。故接受原假设。即可以认为两批电子元件电阻 的方差无显著差异。4、26(2) -1 ; 5、-0.2542, 1.2542三、(本题满分12分)解：设D=电路不能正常工作,A = 电池A损坏, B = 电池B损坏, C =电池C损坏;(1) P(D) = P(AU BUC)= 1-P(AB C) =1 - P(A B C)=1 -P(A)P(B)P(C) =0.552(2) P(D

24、)=P(A (B C)=P(A) P(B C) - P(A B C) =P(A) P(B)P(C) - P(A)P(B)P(C)=0.328四、(本题满分12分)k解：(1) . f(x)dx=1,，=dx=1,“1000 x2从而k =1000(2)当 xM 1000时，F(x) = 0,当 x>1000 时,x 10001000F(x)2 dt -1 -10002tx概率统计模拟题一设随机变量 Y表示任取 5只中寿命大于1500小时的电子管的只数。又设事件、单项选择题(本题满分 15分，每题3分)1、B; 2、A; 3、D; 4、口 5、C、填空题(本题满分15分，每空3分)1、4/

25、7 ; 2、0.1 ;A =电子管寿命大于1500小时。令p = P(A),则所求概率归结为计算服从二项分布的随机变量丫之2的概率5P( Y- 2Cqkk支3、一、户ln(y/3)fY(y)=0y 0y <0如能求出p ,即可求得上面的概率。p = P(A) = P(1500 :二 X :二二)= 1500 f(x)dx = 1:学dx = 2500 x23-bofY(y”二”会必故 P(Y _2) =1 - P(Y =0) P(Y =1)h-c；%)5%1%4e2 1dx, 1 20 M y m e：e? < y E1,、=1-(13)5 -10(13)5232243五、（本题满

26、分14分）解：（1）区域D的面积c,e2 1 ,. e2 CSD = dx = ln x=2L 1 x1、0 ,1(e2-1),211« 一 , 2y 2其它0 _ y _ee 2 二 y 三 1(X,Y)的概率密度为0 , 其它因 f(x,y)# fx(x) -fY(y)，所以 X,Y 不独(3) P(X +Y 至2)= 1-P(X Y ：二2尸1 -f(x, y)dxdyx» 21, (x, y) D f(x,y) =2' '''0,其它.(2)fx(x) = J f(x, y)dy112二.0x2dy,1 - x-e,、0 ,其它.,1

27、MxMe2,=2x0 ,其它.=113二1 一一 二 = 0.75 .4 4六、（本题满分12分）解:43c因为 EX =. xf (x)dx =广(t +8)e*dt =1 + gxe"x-%x u令ex = X ,得e?=X -1是日的矩估计量。e（X -1） = e（x）-1 =e（2）作似然函数,nine'x 一5 exi 二LC)二 y1I0其它n取对数得 ln LC) - -、： Xinui 1检验用的统计量2 = S二 0拒绝域为212.(n-1)= 0.95(3)=7.81520 = 40/4=10 7.815，洛在拒绝域内,求导得 dln L(u)/d i

28、- n所以似然函数关于e是单调递增函数，要使似 然函数取最大值，e只能在其参数空间中取最大，故？=min x是0的极大似然估计量。七、(本题满分12分)解：由样本得 X =1267 ,S = 1 (Xi -X)2 = 40/3 =3.65.3y(1)要检验的假设为H0 :=1260, Hi :1260检验用的统计量XT - t (n - 1),S/、n拒绝域为T| 训1口1) =M.975(3) =3.1824。故拒绝原假设H0 ,即不能认为测定值的方差不超过4。八、(本题满分8分)解：设预备组织货源y吨，国家收入为Y万元，国际市场的需求量为 X吨，则丫.3y ,3X -(y-X) y X令

29、丫 =g(X)40001E(Y) = .二 g(x)f(x)dx= 2000 g(x)赢dxy 140001(3x - y x)dx(3y) dx2000 2000y 2000126=-y2 7000y - 4 1061000所以当y= 3500时，E(Y)取到最大值。1267 -12603.65/、4= 3.836 >3.1824 ,落在拒绝域内，故拒绝原假设H0 ,即不能认为结果符合公布的数字12600C。(2)要检验的假设为H0:二2 三4 , H1 :二2 4概率统计模拟题二一、填空题(本题满分15分，每小题3分)c c '012 ' c -11、0.3； 2、；

30、 3、2; 4、一;5、4.775,5.225;二、单项选择题 (满分15分，每小题3分)1、D; 2、A; 3、C; 4、B; 5、B三、(本题满分12分)解：设A= "被调查的客户信用确实可靠”B = "被调查的客户被评为信用可靠”，由题 设知P(A =0.95,P(A) =0.05,P(B A) =0.05,P(B： A) =0.03,P(B A) =1 -P(B A) =0.97,P(B,. A) =1 -P(B A) =0.95.问题(1)要求P(B),由全概率公式，有P(B) -P(B A)P(A) P(B A)P(A)= 0.95 0.05 0.05 0.97

31、= 0.0960, x < 023F（x） = <3x2 -2x3, 0<x<11, x 1五、（本题满分10分）解：（1）由于误差X服从均匀分布，因此只要确定误差 X的取值区间，就可以得到它的概率密度函数f （x）。当小数点后第三位数字小于等于4时，要舍去，这时产生的误差 X > -0.005;当小数点 后第三位数字大于等于5时，要入，这时产生的误差X M 0.005.这说明误差 X的取值区间为（0.005, 0.005,所以误差 X的概率密度函数为问题（2）要求P（AB）,由贝叶斯公式，有P(AB)=P(B A)P(A)P(B A)P(A) P(B A)P(A

32、)100, f(x) =/,0,x (-0.005,0.005其它45c(2) E(x) = f xf(x)dx = f0.005100xdx = 0.0.005_0.95 0.95- 0.95 0.95 0.05 0.03-0.998.六、（本题满分10分）解：将两封信投到3个信箱的总投法四、（本题满分14分） 解：由1 = p(x)dx = kx(1 一 x)dx 012= k(x-x )dx=k/6 得 k=6。因此密度函数为6x(1 -x) f(x)=')所以F1PX 0.3= 03 f (x)dx= 036x(1 x)dx =0.784分布函数为2n=3 =9 ,而X和Y的可

33、能取值均为0,1,2于是1P(X =0,Y =0)=一，9hl 2P(X =0,Y=1)=C2C11/9=9 ,1P(X =0,Y =2)=P(X =2,Y =0)= 。9同理可得22P(X=1,Y=0)=g P(X=1,Y=1尸gP(X =1,Y =2)=P(X =2,Y=1尸P(X =2,Y =2)=0故（X,Y）的联合分布律及边缘分布律为01201/92/91/94/912/92/904/921/9001/9P，4/94/91/91七、（本题满分12分）由样本值可得 X -125, S2 =2.712因为方差未知，所以构造统计量X - JT 二Sx - 则 t =xS.n t(n 1)1

34、25-124 - cc” n = 6 = 0.976,2.71且拒绝域为 W=t t >1.943,则t的值不在拒绝域内，所以接受原假设，即这块土地的面积N显著为124m2是成立的。（二：；1）x"dx、填空题（本题满分15分，每小题3分）而样本的一阶原点矩为二 2- 1X = Xi ,n i 11、0.18 ; 2、0.8单项选择题；3、2;（本题满分4、 6; 5、 215分，每小题3A:2一1由矩估计得-1Aa 22.1 -2X所以：,=L2XX -1似然函数为分）2、解:D; 2、A; 3、C; 4、 B;5、A（本题满分12分）设a = 中靶;B = 取出的枪较正过；L(:)=j(a +1)nx1°X2x|xnx, 0<xi <10, 其它B2= 取出的枪未较正过取对数似然函数nln L( - ) = n ln(三二 1) 一 .二 ln xi ,d ln L n ,n ,则有= ln x = 0 ,d- :工 r i因此参数a的似然估计量为2(1) P(A) =E P(Bi)P(A Bi)-八5-3 49=0.8 +0.3 -=8 80n-1nIn Xii 1P(BJP(AB)(2) P(B A)=IP(A)八、