131单调性与最大值学案

1、1.3函数的基本性质观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律1、观察这三个图象，你能说岀图象的特征吗?X随K的旳*的值仃匸么变化？单调性与最大（小）值请观察函数y=x2与y=x3图象，回答下列问题1、当XEO, +8 ） , X 增大时，图 （1）中的y值 ；图（2）中的y值。2、当xe （ 8, 0 ） , x 增大时，图 （1）中的y值 ;图（2）中的y值3、 分别指岀图（1）、图（2）中，当x e0,+8）和xe （-co, ）时，函数图象是上升的还是下降的4、通过前面的讨论，你发现了什么？观察某城市一天24小时气温变化图.以作0, 24t/h问题：如何描述气温

2、0随时间t的变化情况？问题：研究函数 9= fit), 沱0, 24 的图象在区间4,14 上的变化情况.问题：在区间4, 14 上，如何用数学符号语言来刻画“。随f的增大而增大”这一特征？在4, 14 士，取几个不同的输入值，例如h=5,元=6, t3 =8, r 4=10,得到相对应的输岀值门，%ft ?1?2?3A4时，有妁。3。4,所以在4, 14 上，。随f的增大而增大.取区间内个输入值 ？1, h，t3,，tB,得到相对应的输岀值。1，O 2。3，o 2在t3 t n时，有&! o 2 A3 * ，所以在区间4, 14 上，。随f的增大而增大.在4, 14 任取两个值上奶只要 h0

3、，就有。2,就可以说在区间 4, 14 , o随“勺增大而增大. 问题：设函数y=/(x)的定义域为 A,区间/ 或,在区间/ 上, y随x的增大而增大，该如何用数学符号语言来刻画呢？问题：如何定义单调减函数和单调减区间呢?概念辨析问题：区间0, 3 是该函数的单调增区间吗?1. 函数y=f(x), x e 0, 3 的图象如图所示判断2. 对于二次函数 f(x)=x 2,因为一 1, 26( 8, +8),当一12时，人一 1)0,都有大政 犬0)，贝U函数y=/W在区间0, + 8)上是单调减函数.一、增函数设函数f(x)的定义域为I :如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值

4、Xi,X2,当 XiX2 时，都有 f(Xi) f(X2),那么就说f(X)在这个区间上是减函数三、单调性与单调区间如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这个区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间.请问：在单调区间上增函数的图象是，减函数的图象是.(填“上升的”或“下降的”)想一想：如何从一个函数的图象来判断这个函数在定义域内的某个单调区间上是增函数还是减函数？1、增函数、减函数的三个特征：(1) 局部性：也就是说它肯定有一个区间。区间可以是整个定义域，也可以是其真子集，因此，我们说增函数、减函数时，必须指明它所在的区间。女口y=x+l

5、(XeZ)不具有单调性(2) 任意性：它的取值是在区间上的任意两个自变量，决不能理解为很多或无穷多个值。(3) 致性：增函数：xivx2 = f(xD f(x2)减函数：X1 f(x2)例1.下图是定义在闭区间-5,5上的函数y=f(x)的图象，根据图象说岀y=f(x)的单调区间，以及在每个单调区间上，y=f(x)是增函数还是减函数？例2:物理学中的玻意耳定律P = (k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小V时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。分析：按题意，只要证明函数在区间上是减函数即可。V12%岭？殳形由 Vi，匕e (0,+8)且 v!0, V 2- Vj 0又k0

6、,于是p(y )-p(K)0即 p(y 这个函数的定义域I是什么？ 它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论) p(yj 定号k所以，函数P = -Ve(0,+3)是减函数.也就是说，当体积 v减少时，压强 p将增大. 结论例3:证明函数f(x)= x 3在R上是增函数.证明：设Xi,X2是R上任意两个实数，且XiX2,则331 22f(Xi)-f(X2)=Xi -X2 =(X1-X2)(Xi+XiX2 +X2 )12 3 2=(X1-X2)(X1+x 2) + X2 2413因为 xix 2 ,贝 u XX 024所以 f(Xi)-f(X2)0 即 f(Xi)0人人2 人2人/ U.?.

7、函 W( A)=在(0, + 8)上是减函数.X问题：函 W(x) = 在(-8,0)上是减函数吗?.问题：能说：函 W(x) = L的单调递减区间是(-8, 0)U(0,+ 8) 吗?X方法小结 用定义证明函数的单调性的步骤：(1)设Xif(0).f(b);课堂练习1、 函数f(x)=x 求 f(x) =x 2-ax+a 在区间 -1, 1 上的最值+4ax+2在区间(-8,6内递减，则a的取值范围是()A、 a 3B、 aW3C、 aN-3D、 aW-32、在已知函数 f(x)=4x2-mx+l, 在(-8, 一 2上递减，在 - 2,+ )上递增，则 f(x) 在 1,2 上的值域 归纳小结