北师大版七年级下全等三角形压轴题分类解析

1、1 / 11七年级下三角形综合题归类双等边三角形模型1.(1)如图 7,点 0 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD,连结 AC 和 BD，相交于点 E，连结 BC.求/ AEB 的大小;(2)如图 8,AOAB 固定不动，保持 OCD 的形状和大小不变，将(AOAB 和AOCD 不能重叠)，求/ AEB 的大小.2.已知：点 C 为线段 AB 上一点， ACM,ACBN 都是等边三角形，且 AN、BM 相交于 O.1求证：AN=BM2求/ AOB 的度数。3若 AN、MC 相交于点 P, BM、NC 交于点 Q,求证

2、：PQ/ AB。同类变式：如图 a,AABC 和厶 CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C,连接 AF 和 BE.线段 AF 和 BE 有怎样的大小关系？请证明你的结论；(2) 将图 a 中的 CEF 绕点 C 旋转一定的角度，得到图 b, (1)中的结论还成立吗？作出判 断并说明理由；(3) 若将图 a 中的 ABC 绕点 C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗？作出判断不必说明理由OCD 绕着点 O 旋转(湘潭中考题)图 7DA2 / 11CD BE, AMN是等边三角形.3.如图 9,43 / 11(1)当把ADE绕A点旋转到图

3、 10 的位置时，CD BE是否仍然成立？若成立，请证 明；若不成立，请说明理由；(2)当厶ADE绕A点旋转到图 11 的位置时，AMN是否还是等边三角形？若是，请 给出证明，若不是，请说明理由.BAC DAE,且点B, A, D在一条直线上，连接BE, CD, M , N分别为BE, CD的中点.(1) 求证：BE CD:AM AN(2) 在图的基础上，将ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到 图所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立 4.如图，四边形ABCD四边形AEFG匀为正方形，连接BG与DE相交于点H(1) 证明：ABG也ADE;(2) 试猜想BHD的度

4、数，并说明理由；同类变式：已知，如图所示，在ABC和ADE中,ABAC,ADAE,图 9图 10图 11CENCNDMA4 / 11求证：(1) AE = CD ;(2)若AC= 12(3)将图中正方形ABC哦点A逆时针旋转(0BAEv180 ),设厶ABE勺面积为$ , ADG勺面积为S2，判断与S2的大小关系，并给予证明.5已知：如图，ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG/BC,交AC于点G, 在GD的延长线上取点E,使DE DB，连接AE,CD.(1)求证：AGE=DAC；(2)过点E作EF/DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断AEF是怎样的三角形，试证明你的结论.二、垂直模型

5、(该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容)考点 1:利用垂直证明角相等1.如图，ABC 中，/ ACB = 90, AC=BC , AE 是 BC 边上的中线，过 C 作 CF 丄 AE，垂 足为F，过 B 作 BD 丄 BC 交 CF 的延长线于 D .C45 / 112.（西安中考）如图，已知 ABC 中,/ BAC=90, AB=AC, AE 是过 A的一条直线,且 B、C 在A E的异侧,BD 丄 AE 于 D, CE 丄 AE 于 E。图（1）试说明：BD=DE+CE.若直线 AE 绕 A 点旋转到图（2） 位置时（BDCE）, 其余条件不变问 BD 与 DE、CE 的关系DB6

6、/ 113.直线 CD 经过BCA的顶点 C, CA=CB. E、F 分别是直线 CD 上两点，且BEC CFA.（1）若直线 CD 经过BCA的内部，且 E、F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：如图 1,若BCA 90：90o，则EF_ BE AF（填“ ”，“ ”或号）;如图 2，若0oBCA 180o,若使中的结论仍然成立，则 与BCA应满足的关系是_（2）如图 3,若直线 CD 经过BCA的外部,线段的数量关系，并给予证明.BCA，请探究 EF、与 BE、AF 三条图 2图 3图 17 / 11考点 2:利用角相等证明垂直1.已知 BE, CF是厶ABC 的高，且 BP=AC C

7、Q=AB 试确定 AP 与 AQ 的数量关系和位置关系2.如图，在等腰 Rt ABC中，/ACE=90,D为BC的中点，DEL AB垂足为E,过点B作BF/ AC交DE的延长线于点F,连接CF.(1)求证：CD=BF求证：ADLCF;连接AF,试判断ACF的形状.拓展巩固：如图 9 所示， ABC 是等腰直角三角形,过 C 作 AD 的垂线，交 AB 于点 E,交 AD 于点 F,求证：/ ADC=ZBDE.(提示：对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像，有什么区别和 联系？)ACB= 90, AD 是 BC 边上的中线,BE 图 98 / 113.如图 1，已知正方形AB

8、CD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE,GC.（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图 2,连接AE和GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由4.如图 1，ABC的边BC在直线I上,AC BC,且AC BC,EFP的边FP也 在直线I上，边EF与边AC重合，且EF FP（1） 在图 1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2） 将EFP沿直线I向左平移到图 2 的位置时，EP交AC于点Q,连接AP, BQ.猜想并写出BQ与AP

9、所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3） 将EFP沿直线I向左平移到图 3 的位置时，EP的延长线交AC的延长 线于点 Q,连结AP,BQ,你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置 关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由9 / 11三、等腰三角形（中考重难点之一）考点 1 等腰三角形性质的应用1.如图， ABC 中，AB AC , BAC 90 ,D是 BC 中点，ED FD,ED与AB交于E，FD与 AC 交于F求证：BE AF, AE CF .00 f 亠2.两个全等的含 3 , 60 角的三角板ADE和三角板 ABC,如图所示放置，E,A,C三点

10、在 一条直线上，连结BD，取BD的中点M ,连结ME,MC试判断EMC的形状，并说 明理由.压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知 Rt ABC 中，AC BC , C 90 ,D为AB边的中点，EDF 90 ,EDF绕D点旋转，它的两边分别交 AC、CB （或它们的延长线）于E、F10 / 111当EDF绕D点旋转到 DE AC 于E时（如图 1）,易证 SDEFSCEF丄 SABC.当EDF绕2D点旋转到DE和 AC 不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立， 请给予证明；若不成立，SDEF，SCEF，SABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.提示：

11、此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。CF B图2图311 / 113.已知：如图， ABC 中，/ ABC=45, CD 丄 AB 于 D,BE 平分/ ABC,且 BEXAC 于 E,1与 CD 相交于点 F, H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G。(1) BF=AC (2)CE=BF2CE 与 BC 的大小关系如何。考点 2:等腰直角三角形(45 度的联想)1.如图 1，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边 经过点 D,且直角顶点 E 在 AB 边上滑动(点 E 不与点 A, B 重合)，另一条直角边与/ CBM 的平

12、分线 BF 相交于点F.如图 141，当点 E 在 AB 边的中点位置时：1通过测量 DE, EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是 _ ;2连接点 E 与 AD 边的中点 N,猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是 _;3请证明你的上述两猜想. 如图 142，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，请你在 AD 边上找到一点 N,使得 NE=BF，进而猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系并证明A B M014-1圈14212 / 112.在 RtMBC 中，AC= BC,ZACB= 90 D 是 AC 的中点，DG 丄 AC 交 AB 于点 G.（1）如图 1, E 为线段

13、 DC 上任意一点，点 F 在线段 DG 上，且 DE=DF,连结 EF 与 CF,过 点 F 作FH 丄 FC,交直线 AB 于点 H.1求证：DG=DC2判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明.（2）若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点，点F 在射线 DG 上，（1）中的其他条件不变，借助图 2 画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在（1） 中得出的结论是否同类变式：（期末考试原题哦）已知： ABC 为等边三角形，M 是 BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点 A,且 60o 角的顶点 E 在 BC 上滑动，（点 E 不与点 B、C 重合）, 斜边与/AC

14、M 的平分线 CF 交于点 F（1）如图（1）当点 E 在 BC 边得中点位置时CO猜想 AE 与 EF 满足的数量关系是 _.连结点 E 与AE边得中点N,猜想EE和CF满足的数量关系是 _.发生改变.（本小题直接写出结论，不必证明）请证明你的上述猜想;13 / 11四、角平分线问题1.如图：E 在线段 CD 上，EAEB 分别平分/ DAB 和/ CBA, / AEB=90 ,设 AD=X,BOy，且x,y满足X2y26x 8y 250(1 )求 AD 和 BC 的长；(2)你认为 AD 和 BC 还有什么关系？并验证你的结论；(3) 你能求出 AB 的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能

15、，请说明理由2.如图，0P 是/ MON 的平分线，请你利用该图形画一对以0P 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图，在 ABC 中，/ ACB 是直角，/ B=60, AD、CE 分别是/ BAG / BCA的平分线，AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；(2)如图，在 ABC 中，如果/ ACB 不是直角，而中的其它条件不变，请问，你3.(北京市中考模拟题)如图，在四边形BAD，过 C 作CE AB 于 E，ABCD 中，AC 平分14 / 114.如图， ABC 中，AD 平分/ BAC DGL BC

16、且平分 BC, DEI AB 于 E,(1)说明 BE=CF 的理由；(2)如果 AB=a, AC=b，求 AE、BE 的长.、 1并且 AE (AB AD)，贝 U ABC2ADC 等于多少?DF 丄 AC 于F.FD15 / 11五、中点问题1.在厶 ABC 中，D为BC的中点， 过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线AB 2DE.3.已知 ABC 中，AB AC ,BD为AB的延长线，且BD AB, CE 为 ABC 的AB边上 的中线求证 CD 2CE （提示：倍长中线试试）附加思考题：（此题有很好地思维训练价值，值得深入思考探究）以 ABC 的两边AB、AC为腰分别向外作等腰 Rt ABD 和等腰 Rt ACE , BADCAE 90 连接DE,M