《数学建模》设计性实验任务书

1、数学建模设计性实验任务书实验：DVD在线租赁学时：4学时实验目的：通过求解全国大学生数学建模竞赛05年B题，掌握综合运用数学软件求解复杂问题的方法。实验内容：随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，

2、网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVDa放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：1） 网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备

3、多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2） 表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从asp下载），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001C0030）分别获得哪些DVD。（一次分配，每人三张，一共需要3000张，而现有数量一共有3007张，超出供应）3） 继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以

4、及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？（一次分配，DVD数量不够，需要进行二次分配）4） 如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。表1 对1000个会员调查的部分结果DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意观看的人数200100502510表2 现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例）DVD编号D001D002D003D004DVD现有数量10401520会员在线订单C00016000C00020000C00030

5、003C00040000注：D001D100表示100种DVD, C0001C1000表示1000个会员, 会员的在线订单用数字1,2,表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。（注：表2数据位于文件B2005Table2.xls中, 可从asp下载）提示：对于问题1，在确定情况下，可假设10万人中有2万人愿意观看DVD1。设需要N张DVD1，则由，可以解出N=6250。在随机情况下，DVD1的需求数量是一个随机变量，满足二项分布： 其中，n为网站会员总数10万；p为每个会员想看DVD1的概率200/1000。在95%的置信水平上，假设至多有M个会员

6、想看DVD1：要求求解出M，并画出如下图形：图1 DVD1准备的数量与满足题目条件的概率关系图2 DVD1准备的数量与在95%的概率意义上所能满足题目条件的关系对于问题2，可建立如下0-1规划模型：其中cij是偏爱指数，其中0改成-1，其他数字如果是c，则用11-c代替。求解以上模型，列出前30个会员具体的分配方案，并画出如下图形：图3 问题2分配方案中会员的相对满意度对于问题3：网站购买的DVD越多（网站的满意度越小），会员的满意度也就越大 。对于每种DVD来说，越多人想看并且修正偏爱指数越高的DVD应该准备得越多。假设每种DVD需要购买的数量和该DVD的对应的非负修正偏爱指数的总和成正比： 计算出具体比例并画出如下图形：图4 各种DVD的购买比率于是，如果确定了DVD总数，我们便可以确定购买方案，并且可以用问题2中的0-1规划模型进行第一次分配。然而，由于我们并不能确切知道分配半个月内哪些会员归还了DVD，所以估算会员的满意度有一定困难。我们在第一次分配之后，随机产生60%的会员半个月内归还DVD，然后再次用0-1规划模型进行下一次分配，最终计算得出满意度。由于所给数据的均匀性，对于半个月内哪60%的会员归还DVD进行第二次分配对会员的满意度的影响很小。要求按此思路计算出如下图表：DVD总数60610001500200