必修二立体几何题型归纳

1、第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图考点一空间几何体的结构特征【例1给出下列四个命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是（）.A.0B.1C.2D.3【训练1】给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱.其中错误的命题的序号是.考点二由空间几何体的直观图识别三视图

2、【例2】（2013新课标全国n卷）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1,0,1）,（1,1,0）,（0,1,1）,（0,0,0）,画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）【训练2】（2014济宁一模）点MN分别是正方体ABCD-ABCD的棱AB,AQ的中点，用过A,MN和D,N,C的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1,则该几何体的正视图，侧视图、俯视图依次为图2中的（）.考点三【例3】（2） 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是由空间几何体的三视图还原直观图（2013四川卷）一个几何体的三视图如图所示，则该

3、几何体的直观图可以是（）.()3】若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()易错辨析一一三视图识图不准致误【典例】（2012陕西卷）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的侧【自主体验】（2014东北三校模拟）如图，多面体ABCD-EFG的底面ABCM正方形，FC=GD=2EA其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是（）.第2讲空间几何体的表面积与体积考点一空间几何体的表面8表的矩形.则该几何【例1】（2014日照一模）如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为体的表面积是（）.A. 8C. 16考点二空间几何体的体积【例2】 （2013

4、 新课标全国I卷B.20+8y12D.24+8J2）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.16+8兀B.8+8兀C.16+16兀D.8+16兀（2）（2014福州模拟）如图所示，已知三棱柱ABOABC的所有棱长均为1,且AA，底面ABC则三棱锥BABC的体积为（）.【训练2】如图所示，已知E,F分别是棱长为a的正方体ABCDABGD的棱AA,CC的中点，求四棱锥G一BEDFB勺体积.考点三球与空间几何体的接、切问题【例3】（1）（2013福建卷）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是

5、.（2）（2013辽宁卷）已知直三棱柱ABC-ABC的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3,AC=4,ABLAC,AA=12,则球O的半径为B.2回D.3月【训练3】（2013新课标全国I卷）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度，则球的体积为（）.cm3cm3372兀，3）cm3048兀，3）cm3考点四几何体的展开与折叠问题【例4】（1）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABC由，AC!BD相交于Q剪去AOB将剩余部分沿OCOD折叠，使OAOB重合，则以A,B,C,D,O为顶点的四

6、面体的体积为.(2)如图所不在直二棱柱ABC-ABCi中，ABCj直角二角形，/ACB=90,AC=4,BC=CG=是BG上一动点，则CKPA的最小值为(其中PA表示P,Ai两点沿棱柱的表面距离).【训练4】如图为一几何体的展开图，其中ABC虚边长为6的正方形，SD=P>6,CR=SCAQ=AP,点S,D,A,Q共线，点P,D,C,R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P,Q,RS四点重合，则需要个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体方法优化一一特殊点在求解几何体的体积中的应用【典例】（2012山东卷）如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为1,E,F分别为线段AA,BC上的点，则三棱

7、锥DEDF的体积为.第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系考点一平面的基本性质及其问厂例1(1)以下四个命题中，正确命题的个数是().不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A,B,C,D共面，点A,B,C,E共面，则A,B,C,D,E共面；若直线a,b共面，直线a,c共面，则直线b,c共面；依次首尾相接的四条线段必共面.A.0B.1C.2D.3(2)在正方体ABCDABCD中，P,QR分别是ABADBC的中点，那么正方体的过P,QR的截面图形是().A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形考点二空间两条直线的位置关系【例2】如图是正四面体的平面展开图，GH,MN分别为DEBEEF,EC的中点

8、，在这个正四面体中,GWEF平行；BD与MNK/异面直线；GHPfMN60角；DE与MNB直.以上四个命题中，正确命题的序号是.GH MN异面直线的图形有(填上所有正确答案的序号).考点三异面直线所成的角(1)求四棱锥的体积;【训练2】在图中，GH,MN分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线【例3】在四麴隹P-ABCDK底面是边长为2的菱形,/DAB=60,对角线AC与BD交于点O,POL平面ABCD（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.【训练3】（2014 成都模拟）在正方体 ABCP ABGD中,E, F分别是棱 ABi, AD的中点，则 A1B与EF所成角的

9、大小为思想方法一一构造模型判断空间线面的位置关系【典例】（2012 上海卷）已知空间三条直线l , mi n,若A. m与n异面 B . m与n相交 C . m与n平行l与m异面，且l与n异面，则（）.D . m与n异面、相交、平行均有可能【自主体验】1. （2013 浙江卷）设ml n是两条不同的直线,a , 3是两个不同的平面（)A.若m"a,n"a,则m"nB.若m"a,m"C.若m/n,mla,则n,aD.若m/a,a，B,贝UmlB2.对于不同的直线min和不同的平面a,3,T,有如下四个命题：若ma,m±n,则n,a；若m

10、£a,m£n,则n/a；若丫，§,则“/丫；若m£a,m/n,n?B,则a±（3.其中真命题的个数是（）.A.1B.2C.3D.43 .（2013安徽卷）如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为1,P为BC的中点，Q为线段CC上的动点，过点AP,Q的平面截该正方体所得的截面记为S则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）.当0vC比1时，S为四边形；当CQ=1时，S为等腰梯形；当CQ=3时，S与CD的交点R满足CR=。当322434C比1时，S为六边形；当CQ=1时，S的面积为Y6.4 .如图，在正方体ABCDA1B1GD中，（1）求A1C与B

11、C所成角的大小；（2）若E,F分别为AB,AD的中点，求AG与EF所成角的大小.第4讲直线、平面平行的判定与性质考点一有关线面、面面平行的命题真假判断【例1】（2013广东卷）设mn是两条不同的直线，a,3是两个不同的平面，下列命题中正确的是（A.若a，B,m?a,n?B,则mlnB.若a/B,m?a,n?B,则m/nC.若mi!n,m?a,n?B,则aX（3D.若mi!a,mi/n,n/B,则a±（3（2）设m,n表示不同直线，a,B表示不同平面，则下列结论中正确的是（）.A.若mila,棺1n,则n"aB.若m?a,n?3,m/§,n/a,则a/（3C.若a/

12、B,m/a,rm/n,则n/BD.若a/§,m/a,n/m,n?B,则n/B【训练1】（1）（2014长沙模拟）若直线a,b,且直线a/平面a，则直线b与平面a的位置关系是（A.b?aB.b/aC.b?a或b/aD.b与a相交或b?a或b/a（2）给出下列关于互不相同的直线l,mn和平面a,B，丫的三个命题：若l与m为异面直线，l?a,m?B,则a/B；若a/3,l?a,m?B,则l/m；若anB=l,Bn丫=m,Yna=n,l/丫，则m/n.其中真命题的个数为（）.A.3B.2C.1D.0考点二线面平行的判定与性质【例2】如图，直三棱柱ABOAB'C',ZBAG=9

13、0°,AB=AO®AA=1,点MN分别为AB和B'C'的中点.（1）证明：MN/平面AACC;（2）求三棱锥AMNC勺体积.【训练2】如图，在四面体ABC/，F,E,H分别是棱AB,BQAC的中点，G为DE的中点.证明：直线HG/平面CEF考点三面面平行的判定与性质【例3】(2013陕西卷)如图，四棱柱ABCD-ABCD的底面ABCD1正方形，O是底面中心，AiC±底面ABCDAB=AA=2.(1)证明：平面ABD/平面CDB;(2)求三棱柱ABD-ABD的体积.【训练3】在正方体ABCDABGD中，MNP分别是GC,BG,CD的中点，求证：平面P

14、MN平面ABD【自主体验】(2013福建卷改编)如图，在四棱锥P-ABC丽，AB/DCAB=6,DC=3,若M为PA的中点，求证：DM/平面PBCh/、9.(2014青岛一模)四棱锥P-ABCDK底面ABC四平行四边形，N是PB中点，过A,N,D三点的平面交PC于M(1)求证：PD/平面ANC(2)求证：M是PC中点.第5讲直线、平面垂直的判定与性质考点一直线与平面垂直的判定和性质【例1】如图，在四棱锥PABC阴,P4底面ABCDAB±AQACLCQZABC=60,PA=AB=BCE是PC的中点.证明：(1)CDLAE(2)PDL平面ABE【训练1】如图，直四棱柱ABCDABCD中，

15、AB/CDADLAB,AB=2,AD=®AA=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3.证明：BE1平面BBCC考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】（2014深圳一模）如图，在三棱柱ABC-A1BG中，AA，平面ABCAB=BC=AA,且AC=42bC点D是AB的中点.证明：平面ABC,平面BCD【训练2】如图，在长方体ABCD-ABCD中，AB=AD=1,AA=2,证明：平面ABML平面ABM考点三平行、垂直关系的综合问题【例3】如图，在四棱锥PABC前,AB!ACABIPAAB/CDAB=2CDE,F,GBCPDPC的中点.求证：CE/平面PAD(2)求证：平面EFGL平面EM

16、NM是棱CC的中点.M N分别为PB AB,【训练3】如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点.求证：BCL平面PAC(2)设Q为PA的中点，G为AOC勺重心，求证：QG/平面PBC考点四线面角、二面角的求I【例4】如图，在四棱锥PABCW,PA1底面ABCDAB1AQACLCDZABC=60,PA=AB=BCE是PC的中点.求PB和平面PAD：所成的角的大小；(2)证明AE1平面PCD(3)求二面角APD-C的正弦值.【训练4】在正方体ABCPABGD中，BB与平面ACD所成角的余弦彳1为()转化思想：垂直关系的转化判定II线线垂直,，线面全克""面面垂克性质创新突破求解立体几何中的探索性问题【典例】(2012北京卷)如图1,在Rt