随机变量的特征函数

1、第四章 大数定律与中心极限定理4.1特征函数内容提要1. 特征函数的定义 设X是一个随机变量,称为X的特征函数,其表达式如下由于,所以随机变量X的特征函数总是存在的.2. 特征函数的性质(1) ;(2) 其中表示的共 轭;(3) 若Y=aX+b,其中a,b是常数.则(4) 若X与Y是相互独立的随机变量,则(5) 若存在,则可次求导,且对,有(6) 一致连续性 特征函数在上一致连续(7) 非负定性 特征函数是非负定的,即对任意正整数n,及n个实数和n个复数,有 (8) 逆转公式 设F(x)和分别为X的分布函数和特征函数,则对F(x)的任意两个点,有特别对F(x)的任意两个连续点,有(9) 唯一性

2、定理 随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定；(10) 若连续随机变量X的密度函数为p(x),特征函数为如果,则3. 常用的分布函数特征表分布特征函数退化分布P(X=a)=1二项分布几何分布正态分布标准正态分布均匀分布U(a,b)均匀分布U(-a,b)指数分布伽玛分布Ga(a,l)分布泊松分布习题与解答4.11. 设离散随机变量X的分布列如下,试求X的特征函数.X0123P0.40.30.20.1解 2. 设离散变量X服从几何分布 试求X的特征函数,并以此求E(X)和Var(x).解 记q=1-p, 则,3设离散随机变量X服从巴斯卡分布 试求X的特征函数. 解 设是相互独立同分布的随机变量,且

3、都服从参数为p的几何分布Ge(p),则由上一题知的特征函数为其中q=1-p. 又因为,所以X的特征函数为.4求下列分布函数的特征函数,并由特征函数求其数学期望和方差.(1) (a>0); (2) (a>0).解 (1)因为此分布的密度函数为 所以此分布的特征函数为 = 又因为 所以 Var(X)= (2) 因为此分布的密度函数为 所以此分布的特征函数为 又因为当t>0时,有(见菲赫金哥尔茨微积分学教程第二卷第三分册或查积分表)所以当t>0时,有 而当t<0时,有 所以又因为在t=0处不可导,故此分布(柯西积分)的数学期望不存在.注：也可利用复变函数中的留数理论来计

4、算,方法如下：t>0时,5. 设试用特征函数的方法求X的3阶及4阶中心矩.解因为正态分布的特征函数为所以由此得X的3阶及4阶中心矩为6. 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性：若X b (n , p),Y b(m , p),且 X与Y独立,则X+Y b(n + m, p).证 记q=1-p, 因为 , , 所以由 X与Y的独立性得,这正是二项分布b(n + m, p)的特征函数,由唯一性定理知X+Yb(n+m,P).7. 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性：若XP(l1),Y P(l2),且X与Y独立,则X+YP(l1+l2).证：因为 所以由X与Y独立性得这正是泊松分布 P(l1

5、+l2).的特征函数,由唯一性定理知X+Y P(l1+l2). .8. 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性：若 ,且X与Y独立,则.证 因为 ,所以由X与Y的独立性得,这正是伽玛分布的特征函数,由唯一性定理知 .9.试用特征函数的方法证明分布的可加性：若,且X与Y独立,则证 因为,所以由X与Y的独立性得,这正是分布(n+m)的特征函数,由唯一性定理知10. 设独立同分布,且.试用特征函数的方法证明:.证 因为,所以由诸的相互独立性得的特征函数为,这正是伽玛分布的特征函数,由唯一性定理知.11. 设连续随机变量X服从柯西分布,其密度函数如下：,其中参数,常记为,(1) 试证X的特征函数为,且

6、利用此结果证明柯西分布的可加性；(2) 当时,记Y=X,试证,但是X与不独立；(3) 若相互独立,且服从同一柯西分布,试证：与Xi同分布.证 (1) 因为的密度函数为,由本节第4题(2)知Y 的特征函数为.由此得的特征函数.下证柯西分布的可加性: 设服从参数为的柯西分布,其密度函数为: .若与相互独立,则,这正是参数为柯西分布的特征函数.所以由唯一性定理知, 服从参数为的柯西分布.(2) 当时有 ,所以 .由于Y=X,当然X与Y不独立.此题说明,由不能推得X与Y独立.(3) 设都服从参数为的柯西分布,则特征函数为.由相互独立性得, 的特征函数为 ,即 与X1具有相同的特征函数,由唯一性定理知它们具有相同的分布.12.设连续随机变量X的密度函数为p(x),试证：p(x)关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.证：记X的特征函数为.先证充分性,若是实的偶函数,则或,这表明X与-X有相同的特征函数,从而X与-X有相同的密度函数,而-X的密度函数为p(-x),所以得p(x)=p(-x),即p(x)关于原点是对称的.再证必要性.若p(x)=p(-x),则X与-X有相同的密度函数,所以X与-X有相同的特征函数.由