高考数学二轮复习不等式选讲

1、第2讲不等式选讲年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷绝对值不等式的解法、不等式的恒成立问题·T231.不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解2此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用.卷绝对值不等式的解法、不等式的恒成立问题·T23卷含绝对值函数图象的画法、不等式的恒成立问题·T232017卷含绝对值不等式的解法、求参数的取值范围·T23卷基本不等式的应用、一些常用的变形及证明不等式的方法·

2、T23卷含绝对值不等式的解法、函数最值的求解·T232016卷含绝对值函数图象的画法、含绝对值不等式的解法·T24卷含绝对值不等式的解法、比较法证明不等式·T24卷含绝对值不等式的解法、绝对值不等式的性质·T24绝对值不等式的解法(综合型)含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)<a；(2)|f(x)|<a(a>0)a<f(x)<a；(3)对形如|xa|xb|c，|xa|xb|c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解 典型例题 (2018·太原模拟)已知函

3、数f(x)|xm|2x1|.(1)当m1时，求不等式f(x)2的解集；(2)若f(x)|2x1|的解集包含，求m的取值范围【解】(1)当m1时，f(x)|x1|2x1|，当x1时，f(x)3x22，所以1x；当<x<1时，f(x)x2，所以<x<1；当x时，f(x)23x2，所以0x，综上可得原不等式f(x)2的解集为.(2)由题意可知f(x)|2x1|在上恒成立，当x时，f(x)|xm|2x1|xm|2x1|2x1|2x1，所以|xm|2，即2xm2，则2xm2x，且(2x)max，(2x)min0，因此m的取值范围为.|xa|xb|c(或c)(c>0)，|xa

4、|xb|c(或c)(c>0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解(1)零点分区间法的一般步骤令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集(2)利用绝对值的几何意义由于|xa|xb|与|xa|xb|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|xa|xb|c(或c)(c>0)或|xa|xb|c(或c)(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观 对点训练(2018

5、3;合肥第一次质量检测)已知函数f(x)|2x1|.(1)解关于x的不等式f(x)f(x1)1；(2)若关于x的不等式f(x)<mf(x1)的解集不是空集，求m的取值范围解：(1)f(x)f(x1)1|2x1|2x1|1，则或或解得x或x<，即x，所以原不等式的解集为.(2)由条件知，不等式|2x1|2x1|<m有解，则m>(|2x1|2x1|)min即可由于|2x1|2x1|12x|2x1|12x2x1|2，当且仅当(12x)(2x1)0，即x时等号成立，故m>2.所以m的取值范围是(2，)不等式的证明(综合型) 含有绝对值的不等式的性质|a|b|a±

6、b|a|b|. 算术几何平均不等式定理1：设a，bR，则a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a，b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立定理3：如果a，b，c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立定理4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立 典型例题 (2018·长春质量检测(一)设不等式|x1|x1|<2的解集为A.(1)求集合A；(2)若a，b，cA，求证：>1.【解】(1)由已知，令f(x)|x1|x1|由|f(x)|<2得1<x<1，即Ax|1<x<1(2)

7、证明：要证>1，只需证|1abc|>|abc|，只需证1a2b2c2>a2b2c2，只需证1a2b2>c2(1a2b2)，只需证(1a2b2)(1c2)>0，由a，b，cA，得a2b2<1，c2<1，所以(1a2b2)(1c2)>0恒成立综上，>1.证明不等式的方法和技巧(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本

8、思路是化去绝对值符号，转化为常见的不等式(组)求解多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据对点训练(2018·陕西教学质量检测(一)已知函数f(x)|2x1|x1|.(1)解不等式f(x)3；(2)记函数g(x)f(x)|x1|的值域为M，若tM，证明t213t.解：(1)依题意，得f(x)所以f(x)3或或解得1x1，即不等式f(x)3的解集为x|1x1(2)证明：g(x)f(x)|x1|2x1|2x2|2x12x2|3，当且仅当(2x1)(2x2)0时取等号，所以M3，)t213t，因为tM，所以t30，t2

9、1>0，所以0，所以t213t.含绝对值不等式的恒成立问题(综合型)典型例题 (2018·郑州第一次质量预测)设函数f(x)|x3|，g(x)|2x1|.(1)解不等式f(x)<g(x)；(2)若2f(x)g(x)>ax4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围【解】(1)由已知，可得|x3|<|2x1|，即|x3|2<|2x1|2，所以3x210x8>0，解得x<或x>4.故所求不等式的解集为(4，)(2)由已知，设h(x)2f(x)g(x)2|x3|2x1|当x3时，只需4x5>ax4恒成立，即ax<4x9恒成立，因为x3&

10、lt;0，所以a>4恒成立，所以a>，所以a>1；当3<x<时，只需7>ax4恒成立，即ax3<0恒成立，只需所以所以1a6；当x时，只需4x5>ax4恒成立，即ax<4x1恒成立因为x>0，所以a<4恒成立因为4>4，且x时，44，所以a4.综上，a的取值范围是(1，4绝对值不等式的成立问题的求解模型(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为af(x)或af(x)形式(2)转化最值：f(x)>a恒成立f(x)min>a；f(x)<a恒成立f(x)max<a；f(x)>a有解f(x)max>

11、;a；f(x)<a有解f(x)min<a；f(x)>a无解f(x)maxa；f(x)<a无解f(x)mina.(3)求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值(4)得结论 对点训练1(2018·高考全国卷)已知f(x)|x1|ax1|.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若x(0，1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)|x1|x1|，即f(x)故不等式f(x)>1的解集为x|x>(2)当x(0，1)时|x1|ax1|>x成立等价于当x(0，1)时|ax1|<1成立若a0，则当x(0，1)时|a

12、x1|1；若a>0，|ax1|<1的解集为0<x<，所以1，故0<a2.综上，a的取值范围为(0，22(2018·洛阳第一次联考)已知函数f(x)|x12a|xa2|，aR，g(x)x22x4.(1)若f(2a21)>4|a1|，求实数a的取值范围；(2)若存在实数x，y，使f(x)g(y)0，求实数a的取值范围解：(1)因为f(2a21)>4|a1|，所以|2a22a|a21|>4|a1|，所以|a1|(2|a|a1|4)>0，所以|2a|a1|>4且a1.若a1，则2aa1>4，所以a<；若1<a<

13、;0，则2aa1>4，所以a<3，此时无解；若a0且a1，则2aa1>4，所以a>1.综上所述，a的取值范围为(1，)(2)因为g(x)(x1)25251，显然可取等号，所以g(x)min1.于是，若存在实数x，y，使f(x)g(y)0，只需f(x)min1.又f(x)|x12a|xa2|(x12a)(xa2)|(a1)2，所以(a1)21，所以1a11，所以0a2，即a0，21(2018·高考全国卷)设函数f(x)5|xa|x2|.(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)可得f(x)0的解集为x

14、|2x3(2)f(x)1等价于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，且当x2时等号成立故f(x)1等价于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范围是(，62，)2(2018·开封模拟)已知函数f(x)|xm|，m<0.(1)当m1时，求解不等式f(x)f(x)2x；(2)若不等式f(x)f(2x)<1的解集非空，求m的取值范围解：(1)设F(x)|x1|x1|由F(x)G(x)解得x|x2或x0(2)f(x)f(2x)|xm|2xm|，m<0.设g(x)f(x)f(2x)，当xm时，g(x)mxm2x2m3x，则g(x)m；当m<x<时

15、，g(x)xmm2xx，则<g(x)<m；当x时，g(x)xm2xm3x2m，则g(x).则g(x)的值域为，不等式f(x)f(2x)<1的解集非空，即1>，解得m>2，由于m<0，则m的取值范围是(2，0)3(2018·石家庄质量检测(一)已知函数f(x)|ax1|(a2)x.(1)当a3时，求不等式f(x)>0的解集；(2)若函数f(x)的图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围解：(1)当a3时，不等式可化为|3x1|x>0，即|3x1|>x，所以3x1<x或3x1>x，即x<或x>，所以不等式f(x)

16、>0的解集为.(2)当a>0时，f(x)要使函数f(x)的图象与x轴无交点，只需即1a<2；当a0时，f(x)2x1，函数f(x)的图象与x轴有交点，不合题意；当a<0时，f(x)要使函数f(x)的图象与x轴无交点，只需此时无解综上可知，若函数f(x)的图象与x轴无交点，则实数a的取值范围为1，2)4(2018·高考全国卷)设函数f(x)|2x1|x1|.(1)画出yf(x)的图象；(2)当x0，)时，f(x)axb，求ab的最小值解：(1)f(x)yf(x)的图象如图所示(2)由(1)知，yf(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为

17、3，故当且仅当a3且b2时，f(x)axb在0，)成立，因此ab的最小值为5.5(2018·石家庄质量检测(二)已知函数f(x)|2xa|2x1|.(1)当a1时，求f(x)2的解集；(2)若g(x)4x2ax3.当a>1且x时，f(x)g(x)，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，f(x).当x<时，f(x)2无解；当x时，f(x)2的解集为；当x>时，f(x)2无解综上所述，f(x)2的解集为.(2)当x时，f(x)(a2x)(2x1)a1，所以f(x)g(x)可化为a1g(x)又g(x)4x2ax3在上的最大值必为g、g之一，则，即，即a2.又a>1，

18、所以1<a2，所以a的取值范围为(1，26(2018·南昌模拟)已知函数f(x)|2x3a2|.(1)当a0时，求不等式f(x)|x2|3的解集；(2)若对于任意函数x，不等式|2x1|f(x)<2a恒成立，求实数a的取值范围解：(1)当a0时，不等式可化为|2x|x2|3，得或或，解得x或x1，所以当a0时，不等式f(x)|x2|3的解集为1，)(2)对于任意实数x，不等式|2x1|f(x)<2a恒成立，即|2x1|2x3a2|<2a恒成立因为|2x1|2x3a2|2x12x3a2|3a21|，所以要使原不等式恒成立，只需|3a21|<2a.当a<0时，无解；当0a时，13a2<2a，解得<a；当a>时，3a21<2a，解得<a<1.所以实数a的取值范围是.7(2018·福州模拟)已知函数f(x)x2|x|1.(1)求不等式f(x)2x的解集；(2)若关于x的不等式f(x)在0，)上恒成立，求实数a的取值范围解：(1)不等式f(x)2x等价于x2|x|2x10，当x0时，式化为x23x10，解得x或0x；当x<0时，式化为x