高等数学考研知识点总结10

1、 第十讲 常微分方程一、 考试要求1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。 2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的解法。会解伯努力方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。会用降阶法解下列形式的微分方程：y(n)=f(x),y/=f(x,y/)和y/=f(y,y/).3、掌握(会解)二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。4、理解(了解)线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程 。5、了解差分与差分方程及其通解与特解等

2、概念。 6、掌握一阶常系数线性差分方程的解法。 7、会用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题。 8、会解欧拉方程。9、会用微分方程解决一些简单的应用问题。 二、内容提要 （一）、一阶微分方程 1 可分离变量微分方程 或 直接积分： 2 齐次方程 , 3 一阶线性微分方程 或 4 贝努里方程 , 5 全微分方程 6 可用简单变量代换求解的微分方程 （二）、可降阶的高阶微分方程 1 , 连续积分n次 2 , 3 , （三）、高阶线性微分方程 1、 (1) (2) 解的性质、结构 2、常系数线性齐次方程 (1) 特征方程，特征根三种情况： (2) 3、二阶常系数线性非齐次方程 (1) , 特解：

3、 (2) , 特解： (3) , 特解：4、 欧拉方程 令 5、 微分方程组 ，一般化为二阶常系数线性微分方程求解.三、 典型题型与例题 题型一、一阶微分方程的求解 解题步骤： (1) 判断方程的类型； (2) 注意； (3) 若不能确定类型，考虑用适当的变量代换.例1、 (98 1) 已知函数y=y(x)在任意点x处的增量, 且当时，a是的高阶无穷小量，, 则y(1)= . 例2、求。例3、求的通解。例4、（99）设有微分方程，其中,试求在内连续的函数y=y(x)，使之在和内都满足所给方程且y(0)=0.例5、 求微分方程的一个解y=y(x)，使得由曲线y=y(x)与直线x=1,x=2以及x

4、轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小.例6、解微分方程 ; 例7、; 例8、例9、解1、A 用曲线积分法: B 用全微分运算:C 用偏积分法:原方程的通解为注：全微分方程的解法：则存在1、曲线积分法：2、全微分的运算。3、偏积分法 ，则，题型二、可降阶的高阶微分方程例10、(001) 微分方程的通解为_,例11、 (99 1) 设函数y(x)(x³0)二阶可导且 过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1, 区间0,x上以y=y(x)为曲线的曲边梯形面积记为S2. 并设,求此曲线的方程. 例12、题型三、高阶常系数线性微分方程的求解1、二阶常系数齐次线性微分方程的解2、二阶常系数非齐次线性微分方程的解方法：1）求特征方程的根 2）写出齐次方程的通解 3）求出非齐次方程的一个特解 4）写出非齐次的通解例13、例14、例15、例16、 (002)具有特解的3阶常系数齐次线性微分方程是_, 例17 （10123）3阶常系数线性齐次微分方程的通解为. 例18、 设都是某二阶常系数线性微分方程的解，则此二阶常系数齐次