量子力学复习题答案与题解

1、量子力学复习题导致量子论产生的物理现象主要有哪些？p2量子的概念是如何引进的？p5为什么说爱因斯坦是量子论的主要创始人之一？p6写出德布罗意公式并说明其中各量的含义和该公式的意义。P12什么是波函数的几率解释？p18态的迭加原理。P22动量算符的定义。P27写出单粒子薛定谔方程。P27写出多粒子薛定谔方程。P28写出单粒子哈密顿算符及其本征值方程。P33什么条件下可以得到定态薛定谔方程？p32什么是束缚态？p37什么情况下量子系统具有分立能级？p37什么是基态？p37写出线性谐振子的定态薛定谔方程。P39写出线性谐振子的能级表达式。P40写出波函数应满足的三个基本条件。P51写出算符的本征值方

2、程并说明其中各量的含义。P54量子力学中的力学量算符如何由经典力学中相应的力学量得出？p55 写出厄米算符的定义，并解释为什么量子力学中的力学量要用厄米算符来表示。P56写出轨道角动量算符的各分量表达式。P60什么是角量子数、磁量子数？写出相应的本征值表达式及其数值关系。P632Y(,)=l(l+1) 2Y(,) 解：LlmlmY(,)=m Y(,) Lzlmlm其中l表征角动量的大小，称为角量子数，m称为磁量子数。对应于一个l的值，m可以取（2l+1）个值，从-l到+l。写出波尔半径的值和氢原子的电离能，可见光能否导致氢原子电离？a0=0.52AV分) ( 3分) E1=13.6e( 3可见

3、光的能量不超过3.26eV, 这个值小于氢原子的电离能，所以不能引起氢原子电离。( 4分)写出类氢原子体系的定态薛定谔方程。P65写出氢原子能级的表达式及其简并度。P68s, p, d, f 态粒子是什么含义？p63关于力学量与算符的关系的基本假定。P83写出力学量平均值的积分表达式。P84两个算符可对易的充要条件是什么？p89写出X方向坐标与动量的不确定关系。P92什么是Q表象？p108久期方程带来的好处是什么？p113写出两个表象中的力学量和态矢量之间的变换公式。P117 写出幺正变换的两个重要性质。P118应用微扰法的限制条件是什么？p135写出用非简并微扰法解题的基本步骤。P136写出

4、用变分法求解体系基态能量的基本步骤。P145写出黄金规则公式，并解释其含义。P154什么是量子力学中的共振现象？p157自旋角动量与其它力学量的根本差别是什么？p197电子自旋的取值有何特点？p196写出泡利矩阵。P202写出电子自旋算符各分量之间的对易关系（矢量形式和分量形式）。P198C-G 系数是如何定义的？其中各参数的含义是什么？p209 在角动量耦合问题中，j1 和j2 给定后，j 的取值范围是什么？p210写出全同性原理。P217什么是费米子？什么是玻色子？P220写出全同玻色子体系的波函数表达式，并说明其中各量的含义。P223 什么是自旋单态和三重态？P223根据能量算符和动量算

5、符的定义及经典的能量动量关系，“推 3导”单粒子薛定谔方程。P27 推导定态薛定谔方程。P32 一个质量为m的粒子置于宽度为a的无限深势阱中：V(x)=00xa其它求该系统的能量本征值。P340 a解：设系统波函数为(x)当0xa时，薛定谔方程可以写为- 222mx2(x)=E(x) (1)当x<0,x>a时，薛定谔方程可以写为22-2mx2(x)+V(x)(x)=E(x)当V(x)时，根据系统波函数的有限性及系统能量的有限性，可得 (x)=0。令k2=2mE，可将(1)式化为 222x2(x)+k(x)=0 (2)则方程(2)的解可以写为(x)=Asinkx+Bcoskx由波函数

6、的连续性可得(a)=(0)=0Asinka+Bcoska=0B=0Asinka=0B=0即，得 (3)由于当A=0，B=0时，系统波函数(x)=0，与粒子的存在相矛盾，所以A，B不能同时为0，所以(3)式的解为B0，sinka0，由此有ka=n ( n = 0，±1，±2，±3，)因为n0对应(x)=0，故舍去， n取负整数与取正整数的情况，系统状态完全一样，故只取正整数即可， n2mE2因此k=，再结合k=得， 2a2mE2=na2222 即系统能量本征值为E= n2ma222 (n=1，2，3，)。 证明厄米算符的本征值是实数。P56 证明厄米算符属于不同本征

7、值的两个本征函数彼此正交。P78 根据坐标算符和动量算符的定义证明：在X方向上两算符满足,px=i 。P87 x 证明：在Q表象中, Q算符本身的表示矩阵是对角的。P110 试推导非简并定态微扰理论中一级修正项所满足的方程。P131 一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场 作用，电场沿正x方向。用微扰法求体系定态能量的一级修正，用变量替换法求能量修正。P137 用变分法解氦原子基态问题时，哈密顿算符如何给出？其中各量是何含义？尝试波函数如何选取？p146 写出乌伦贝克和哥德斯密特关于电子自旋的假设。P196(1) 每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：sz=±

8、;2；eS，式中(2) 每个电子具有自旋磁矩MS，它和自旋角动量S的关系是MS=-e 是电子的电荷，是电子的质量。 在两个角动量耦合的问题中，什么是无耦合表象？什么是耦合表象？写出两种表象基矢的关系式。P208 写出全同费米子体系的波函数表达式，并由此给出泡利不相容原理。P223,a=1。 写出坐标表象下，产生、湮灭算符的表达式，并证明 aP125 由坐标表象下的薛定谔方程推导Q表象下的薛定谔方程（分量形式和矩阵形式）。P1132y+sz=0，其中 s222,s2=s+s 证明自旋算符满足：s。P198 xz 对泡利矩阵证明:（1）xy=2i,z;（2）z的本征值为±1,并求出相应的

9、归一化本征矢；（3）x在z的两个本征态中的平均值皆为0。P202答：泡利矩阵: x=101,0y0=i-i1,=z00-i0-0i0,（3-1-i001分）0=2iz-1（1）x,y=xy-yx（3分） （2）zu=u即0=1100i11=2i00100aa=-1bb，由此得久期方程：-00-1-=-1=02解得=±1（4分）设平面波具有如下一般形式：(r,t)=Aei(kr-t)其中A为常数，k 和 满足= k2/2m。(1) 试验证平面波满足自由粒子薛定谔方程。(2) 解释为什么说平面波不能严格代表一个自由粒子。（1）it(r,t)=(-22m)(r,t)2左边 =itAei(k

10、r-t)=i A(-i)ei(kr-t)= Aei(kr-t)=k2m2222Aei(kr-t)右边 =(-22m)Ae2i(kr-t)=(-22m)A(ik)e22i(kr-t)=k2mAei(kr-t)左边 = 右边（2）平面波不满足平方可积条件*)r(t,d)= (r,tA2d=上述积分的涵义是粒子存在的总几率，应当是有限值。所以平面波不能严格代表一个自由粒子。(a) Write the postulate for the relationship between an observable and the result of its measurement. (b) Suppose a system is at the superposition state of two energy eigenstates: |=c1|1+c2|2. What result would be obtained when measuring the energy of the system? (10 marks