高一数学_集合总结

1、一、知识结构本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例人手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子二、重点难点分析这一节的重点是集合的基本概念和表示方法，难点是运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合这一节的特点是概念多、符号多，正确理解概念和准确使用符号是学好本节的关键为此，在教学时可以配备一些需要辨析概念、判断符号表示正误的题目，以帮助学生提高判断能力，加深理解集合的概念和表示方法1关于牵头图和引言分析章头图是一组跳伞队员编成的图案，引言给出了一个实际问题，其目的都是为了引出本章的内容

2、无论是分析还是解决这个实际间题，必须用到集合和逻辑的知识，也就是把它数学化一方面提高用数学的意识，一方面说明集合和简易逻辑知识是高中数学重要的基础2关于集合的概念分析点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念，集合则是集合论中原始的、不加定义的概念初中代数中曾经了解“正数的集合”、“不等式解的集合”；初中几何中也知道中垂线是“到两定点距离相等的点的集合”等等在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念的描述性说明我们可以举出很多生活中的实际例子来进一步说明这个概念，从而阐明集合概

3、念如同其他数学概念一样，不是人们凭空想象出来的，而是来自现实世界3关于自然数集的分析教科书中给出的常用数集的记法，是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意新的国家标准定义自然数集N含元素0，这样做一方面是为了推行国际标准化组织（ISO）制定的国际标准，以便早日与之接轨，另一方面，0还是十进位数0，1，2，9中最小的数，有了0，减法运算 仍属于自然数，其中 因此要注意几下几点： （1）自然数集合与非负整数集合是相同的集合，也就是说自然数集包含0； （2）自然数集内排除0的集，表示成 或 ，其他数集如整数集Z、有理数集Q、实数集R内排除0的集，也可类似表示 ， ， ； （3）原教科书或根据原教

4、科书编写的教辅用书中出现的符号如 ， ， 不再适用 4关于集合中的元素的三个特性分析集合中的每个对象叫做这个集合的元素例如“中国的直辖市”这一集合的元素是：北京、上海、天津、重庆。集合中的元素常用小写的拉丁字母 ，表示如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作 ；否则，就说a不属于A，记作 要正确认识集合中元素的特性： （l）确定性： 和 ，二者必居其一 集合中的元素必须是确定的这就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了例如，给出集合地球上的四大洋，它的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋其他对象都不用于这个集合如果说“由接近 的数组成的集合”，这里“接近 的数”是

5、没有严格标准、比较模糊的概念，它不能构成集合 （2）互异性：若 ， ，则 集合中的元素是互异的这就是说，集合中的元素是不能重复的，集合中相同的元素只能算是一个例如方程 有两个重根 ，其解集只能记为1，而不能记为1，1 （3）无序性：a，b和b，a表示同一个集合 集合中的元素是不分顺序的集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（l，0）和点（0，l）表示不同的两个点，而集合1，0和0，1表示同一个集合 5要辩证理解集合和元素这两个概念 （1）集合和元素是两个不同的概念，符号和是表示元素和集合之间关系的，不能用来表示集合之间的关系例如 的写法就是错误的，而 的写法就是正确的 （2）一些对

6、象一旦组成了集合，那么这个集合的元素就是这些对象的全体，而非个别现象例如对于集合 ，就是指所有不小于0的实数，而不是指“ 可以在不小于0的实数范围内取值”，不是指“ 是不小于0的一个实数或某些实数，”也不是指“ 是不小于0的任一实数值” （3）集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件 6表示集合的方法所依据的国家标准本小节列举法与描述法所使用的集合的记法，依据的是新国家标准如下的规定符号应用意义或读法备注及示例诸元素 构成的集也可用 ，这里的I表示指标集使命题 为真的A中诸元素之集例： ，如果从前后关系来看，集A已很明确，则可使用 来表示，例如 此

7、外， 有时也可写成 或 7集合的表示方法分析集合有三种表示方法：列举法、描述法、图示法它们各有优点用什么方法来表示集合，要具体问题具体分析（l）有的集合可以分别用三种方法表示例如“小于 的自然数组成的集合”就可以表为： 列举法： ； 描述法： ； 图示法：如图1。 （2）有的集合不宜用列举法表示例如“由小于 的正实数组成的集合”就不宜用列举法表示，因为不能将这个集合中的元素一列举出来，但这个集合可以这样表示： 描述法： ； 图示法：如图2 （3）用描述法表示集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义例如： 集合 中的元素是 ，它表示函数 中自变量 的取值

8、范围，即 ； 集合 中的元素是 ，它表示函数值。的取值范围，即 ； 集合 中的元素是点 ，它表示方程 的解组成的集合，或者理解为表示曲线 上的点组成的集合； 集合 中的元素只有一个，就是方程 ，它是用列举法表示的单元素集合实际上，这是四个完全不同的集合列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法要注意，一般无限集，不宜采用列举法，因为不能将无限集中的元素一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定 8集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集，如图1所示含有无限个元素的集合叫做无限集，如图2所示9关于空集分析 不含任何元素的集合叫做空集，记作 空集是个特殊的集合，除了它本身的实际意

9、义外，在研究集合、集合的运算时，必须予以单独考虑注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：51，52，53，100所有正奇数组成的集合：1，3，5，7，（2）a与a不同：a表示一个元素，a表示一个集合，该集合只有一个元素。描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。格式：xA| P（x） 含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。例如，不等式 的解集可以表示为： 或 所有直角三角形的集合可以表示为： 注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。 如：直角三角形；大于104的实数（2）错误表示法：实数集；全体实数

10、3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。注：何时用列举法？何时用描述法？（1） 有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。如：集合 （2） 有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。如：集合 ；集合1000以内的质数注：集合 与集合 是同一个集合吗？答：不是。集合 是点集，集合 = 是数集。（三） 有限集与无限集1、 有限集：含有有限个元素的集合。2、 无限集：含有无限个元素的集合。3、 空集：不含任何元素的集合。记作，如： 练习题：1、P6练习2、用描述法表示下列集合1，4，7，10，13 -2，-4，-6，-8，-10 3、用列举法表示下列集合xN|x是15的约数 1，3，