分式(基础)知识讲解

1、分式的概念和性质(根底)【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2. 掌握分式的根本性质，并能利用分式的根本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算.【要点梳理】要点一、分式的概念A-般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子一叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. B要点诠释：(1)分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数足整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.(2) 分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母町以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性：分数足分式中字母取特定值后

2、的特殊情况.(3) 分母中的“字母是表示不同数的“字母，但几表示圆周率，是一个常数，不是字母，如纟是71整式而不能当作分式.V" V(4) 分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如一是分x式，与秽有区别，Q是整式，即只看形式，不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1. 分式有意义的条件：分母不等于零.2. 分式无意义的条件：分母等于零.3. 分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：(1)分式有无盘义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以防止分母的值为零.(2)

3、 本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.(3) 必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的根本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的根本性质，用式子+ _口 A Ax A/ A A-i-M z+. .表水是：一=,=(其中M是不等于零的整式).B BxM B B+M要点诠释：H0是条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；MHO是在解题过程屮另外附加的条件，在运用分式的甚本件质时，必须币占强调0这个前提条件.(2) 在应用分式的根本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的

4、取值范闱有可能t- 1r 1发生变化.例如：冷L =，在变形后，字母x的取值范围变人了.XX要点四、分式的变号法那么对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何州个.分式的值不变；改变其中任何一个或三个， 分式成为原分式的相反数.要点诠释:根据分式的根本性质=-,=.根据有理数除法的符号法那么有分式，与 -a a a -aa -a a b-2互为相反数.分式的符号法那么在以后关于分式的运算中起着朿要的作用.h要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的根本性质，约去分子和分母的公肉式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做 分式的约分.如果一个分式的分子与分母没冇相同的因式1除

5、外，那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：1约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.2约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最人 公约数与相同因式最低次幕的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之 转化为分子与分母是不能再分解的因式枳的形式，然后再进行约分.分式的乘除(根底)【学习目标】1. 学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法那么.2. 会分式的乘法、除法运算.3. 掌握乘方的意义，能根据乘方的法那么，先乘方，再乘除进行分式运算.【要点梳理】要点一、分式的乘除法a c cic1. 分式的乘法法

6、那么：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母用字母表示为：rb d ha其中a、b、c、d是整式，bdHO2. 分式的除法法那么：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为： ¥二=学0 = 0 其中厶b、c、d是整式，bed沁b a b c be要点诠样：(1)分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.(2) 分式与分式相乘，假设分子和分母足多项式，那么先分解因式，看能否约分，然后再乘.(3) 整式与分式相乘，可以直接把整式(整式可以看作分母是1的代数式)和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要

7、先分解因式，便于约分.(4) 分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.要点二、分式的乘方分式的乘方运算法那么：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：1"为正整数)要点诠释:(2)分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.(3)在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式再约分.分式的加减(根底)【学习日标】1. 能利用分式的根本性质通分.2. 会进行同分母分式的加减法.3. 会进行异分母分式的加减法.【要点梳理】要点一、同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法那

8、么可用式子表为：a b a±b± =.C C C要点诠释：把分子相加减是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时， 括号町以省略：当分子是多项式时，特别足分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.(2)分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.要点二、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的根本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不 同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：(1)通分的关键暹确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幕的积作为公分母.(2) 如果各分母都是单

9、项式，那么垠简公分母就是各系数的故小公倍数与相同字母的瑕高次幕的乘枳：如果各分 母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.(3) 约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分那么是针对多个分式而言.要点三、异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法那么可用式子表为：a c ad be ad ± beb d bd bd bd要点诠释：(1)异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.(2)异分母分式加减法的一般步骤：通分，进行同分母分式的加减运算，把结果化成最简分式.要点四、分式的混合

10、运算与分数的加、减乘、除混合运算一样，分式的加、减乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减：遇到括 号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后人括号的顺序计算.分式运算结果必须到达最简，能约分的要约 分，保证结果是最简分式或整式.要点诠释：(1)正确运用运算法那么：分式的乘除(包括乘方)、加减、符号变化法那么是正确进行分式运算的根底， 要牢牢掌握.(2) 运算顺序：先算乘方，再算乘、除，址后算加、减，遇有括号，先算括号内的.(3) 运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将人人提高运 算速度.分式方程的解法及应用1根底)【学习目标】1. 了解分式

11、方程的概念利检验根的意义，会解町化为一元一次方程的分式方程.2. 会列出分式方程解简单的应用问题.【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：(1)分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未知数.(2) 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数(不是一般的字母系数)分母中含有未 知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.(3) 分式方程和整式方程的联系：分式方程町以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的根本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以故简公分母，去掉分母.在去 分母这一步变形时，冇时

12、可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增 根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的-般步骤：(1) 方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程(注意：当分母是务项式时，先分解因式，再找出 垠简公分母)；(2) 解这个整式方程，求出整式方程的解：(3) 检验：将求得的解代入最简公分母，假设最简公分母不等于0,那么这个解是原分式方程的解，假设最简公 分母等于0,那么这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三.解分式方程产生増根的原因方程变形时，M能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是

13、含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式 方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：1)增根是在解分式方程的第一步“去分母时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以(或 除以)同一个不为0的数.所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0,那 么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.(2)解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而 足检验足否出现增根，它足在解方程的过程中没仃错课的前提卜进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分

14、式方程解应用题按以下步骤进行：(1) 审题了解己知数与所求各臺所表示的意义，弄清它们之间的数呈关系;(2) 设未知数;(3) 找出能够表示题中全部倉义的相等关系，列出分式方桥：(4) 解这个分式方程：(5) 验根，检验是否是增根：(6) 写出答案.分式全章复习与稳固根底【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义.分式无意义.分式值为0的条件.2. 了解分式的根本性质，掌握分式的约分和通分法那么.3. 点握分式的四那么运算.4. 结合分析和解决实际问题，讨论可以化为-元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归 思想.【知识网络】要点一.分式的有关概念及性质1. 分式A

15、一般地.如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子2叫做分式其中A叫做分子，B叫做分母. BA要点诠释：分式屮的分母衷示除数，由于除数不能为0,所以分式的分母不能为0,即当BH0时，分式一才有B 意义.2. 分式的根本性质A_AxM A_AME BxM' B B十M M为不等于0的整式.3. 最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点二、分式的运算1. 约分利用分式的根本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2. 通分利用分式的根本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，

16、把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.3. 根本运算法那么分式的运算法那么与分数的运算法那么类似，具体运算法那么如下：(1) 加减运算-±- = :同分母的分式柑加减，分母不变，把分子相加减.C CCa c ad 土 be-±-=:异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.b d bd(2) 乘法运算 -=-jr 其中a、b、c、d是整式，bd 0.b d bd两个分式相乘，把分子相乘的枳作为积的分子，把分母相乘的枳作为枳的分母.(3) 除法运算 子7=，其中b、c、d是整式，bed 0.b a b c be两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.乘方运算 (-)* =.分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4. 分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三.分式方程1. 分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2. 分式方程的解法解分式方程的关键是去分母，即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程.3. 分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把