基于MATLAB的IIR 数字滤波器设计

1、第20卷第3期湖南理工学院学报(自然科学版V ol.20 No.32007年9月Journal of Hunan Institute of Science and Technology (Natural Sciences Sep.2007基于MA TLAB的IIRIIRIIR数字滤波器设计数字滤波器设计数字滤波器设计张登奇,周张登奇,周张登奇,周婷婷婷(湖南理工学院计湖南理工学院计湖南理工学院计算机系,湖南岳阳岳阳岳阳算机系,湖南算机系,湖南414000414000414000摘摘摘要要要:数字滤波是数字数字滤波是数字数字滤波是数字信号处理的重要内容,信号处理的重要内容,信号处理的重要内容,数

2、字滤波器可分为数字滤波器可分为数字滤波器可分为FIFIFIRRR和和和IIRIIRIIR两大类两大类两大类。文章根据文章根据文章根据。IIRIIRIIR滤波器的设计原滤波器的设计原滤波器的设计原理,详细介绍了,详细介绍了,详细介绍了理理MAMAMA TLATLA TLABBB环境下下下环境环境IIRIIRIIR数字数字数字滤波器的设计方法和操作步骤,并列出了设计实例程序及运行结果。滤波器的设计方法和操作步骤,并列出了设计实例程序及运行结果。滤波器的设计方法和操作步骤,并列出了设计实例程序及运行结果。关键词关键词关键词:MMMAAA TLATLA TLABBB;数字信号处理;数字滤波器;无限冲激

3、响应;数字信号处理;数字滤波器;无限冲激响应;数字信号处理;数字滤波器;无限冲激响应中图分类号:中图分类号:中图分类号:TP391.75TP391.75TP391.75 文献标识码:文献标识码:文献标识码:AAA文章编号:文章编号:文章编号:1672-5298(200703-0026-041672-5298(200703-0026-041672-5298(200703-0026-04Design of IIR digital filterDesign of IIR digital filterDesign of IIR digital filter based on Matlabbased o

4、n Matlabbased on MatlabZHANG Deng-qiZHANG Deng-qiZHANG Deng-qi,ZHOU TZHOU TZHOU Tiiinnnggg(Departm(Departm(Departmententent ofofof ComComComputerputerputer, Huna, Huna, Hunan Institutn Institutn Instituteee ofofof SciSciScieeencencence andandand TTTechnoechnoechnologyy, YYY uuueeeyyyang 4ang 4ang 41

5、 4000, Chin 4000, Chin4000, Chin11 aaaAbAbAbssstract:tract:tract: TheTheThe dddiiigitagitagital fl fl filtiltiltererer is onis onis one ofe ofe of thththe me me mooost imst imst important portantportant parparparttts ins ins in dididigital signgital signgital signal proal proal processing, it can ce

6、ssing, it cancessing, it can b e eebb divdivdiviiideddedded intointointo twtwtwo kinds, tho kinds, tho kinds, theeefinite imfinite impulse response andpulse response andpulse response and thethethe infinite iminfinite iminfinite impulse rpulse rpulse reeespspsponse. Accoonse. Accoonse. Accordrdrding

7、 toing toing to thththe IIRe IIRe IIR filter d eeefilter dfilter d sign prsign prsign principle, thinciple, thinciple, this papis papis papeeerrr ininintroducestroducestroduces the IIRthe IIRthe IIRdigital fdigital fdigital filteilteilter dr dr deeesign msign msign meeethods andthods andthods and op

8、eration operationoperation steps usteps usteps under thnder thnder the MA TLAB environme MA TLAB environme MA TLAB environment, th ent, thent, the de de deeesign psign psign progrogrogramramramsss and thand thand the rune rune run resul tststsresulresul arealsalsooopresented entedentedprespres.KeKeK

9、ey words:y words:y words: MAMAMA TLAB; dTLAB; dTLAB; diiigital signal progital signal progital signal processing; cessing;cessing; digdigdigital fital fital filter; infiniteilter; infiniteilter; infinite im imimpulse rpulse rpulse reeesponsesponsesponse数数数字滤字滤字滤波是数波是数波是数字信字信字信号处理号处理号处理的重的重的重要内容要内容要内

10、容,是,是,是由乘法由乘法由乘法器、器、器、加法器加法器加法器和单和单和单位延时位延时位延时器组器组器组成的一成的一成的一种运种运种运算过程算过程算过程,其,其,其功功功能能能是是是对输入对输入对输入离散离散离散信号进信号进信号进行运行运行运算处理算处理算处理,以,以,以达到改达到改达到改变信变信变信号频谱号频谱号频谱的目的目的目的。数数数的。的。字滤字滤字滤波器根波器根波器根据频据频据频域特性域特性域特性可分可分可分为低为低为低通、高通、高通、高通、通通带通和带阻带通和带阻带通和带阻四个基本类四个基本类四个基本类型;根据时型;根据时型;根据时域特性可分域特性可分域特性可分为无限长单为无限长单

11、为无限长单位冲激响应位冲激响应位冲激响应IIR (InfiniteIIR (InfiniteIIR (Infinite IIImmmpulsepulsepulseRespRespResp nsensense 滤波器和有限长单位冲激响应滤波器和有限长单位冲激响应滤波器和有限长单位冲激响应FIR (Finite Im FIR (Finite ImFIR (Finite Impulse Responsepulse Responsepulse Response滤波器。文章根据滤波器。文章根据滤波器。文章根据IIRIIRIIR滤波器的设滤波器的设滤波器的设ooo计原理,计原理,计原理,重点介绍重点介绍重

12、点介绍MAMAMA TTTLABLABLAB环境下环境下环境下IIIIIIRRR数字滤波器的设计方法和操作步骤,数字滤波器的设计方法和操作步骤,数字滤波器的设计方法和操作步骤,并以实例形式列出设计程序并以实例形式列出设计程序并以实例形式列出设计程序和运行结果。和运行结果。和运行结果。111 IIRIIRIIR数字滤波器的设计原理数字滤波器的设计原理数字滤波器的设计原理滤滤滤波器波器波器的设计实实实的设计的设计质质质上是寻上是寻上是寻找一找一找一个既能个既能个既能物理物理物理实现,实现,实现,又能又能又能满足给满足给满足给定频定频定频率特性率特性率特性指标指标指标要求的要求的要求的系统系统系统传

13、输函传输函传输函数。数。数。IIRIIRIIR滤波器一般采用递归型的结构,系统的输入与输出服从滤波器一般采用递归型的结构,系统的输入与输出服从滤波器一般采用递归型的结构,系统的输入与输出服从NNN阶差分方程:阶差分方程:阶差分方程: (N NN iiiyyyni nini =(M MM i (ii ( . . ( 其中a 0a其中其中0a0= 111=a(aa( . bb.bxxxnininii0 iiii0i0 = 00=0=相应的传输函数为:相应的传输函数为:相应的传输函数为:bz cz.1(M (M (1iii.i=0 i=1( =AHz .1 +az (1 .dz.1(N jj.(N

14、j11jj=设计IIR数字滤波器就是要确定传输函数中的系数aj、bi,或零极点增益ci、dj、A,使滤波器的频率特性满足给定的性能指标要求。设计原理主要包括两个方面:一是根据设计指标,先设计出相应的模收稿日期:2007-06-18作者简介:张登奇(1968-,男,湖南理工学院副教授,硕士,主要研究方向:电子与信息处理方面的教学研究工作。第3期张登奇,周婷:基于MA TLAB的IIR数字滤波器设计27拟滤波器,再通过脉冲响应不变法或双线性变换法转换成对应的数字滤波器;二是先选择一种最优准则,如最小均方误差准则,再在此准则下求出滤波器传输函数的系数。根据设计理论1,在MA TLAB环境下设计IIR

15、数字滤波器主要有四种方法:一是典型设计法;二是完全设计法;三是最优设计法;四是工具设计法。其中,典型设计法和完全设计法统称为经典法,其设计流程及设计过程中用到的MA TLAB函数如图1所示2。归一化设计指标2 IIR数字滤波器的典型设计法典型设计法的设计思想是:利用已有的模拟滤波器设计理论,首先根据设计指标设计一个合适的模拟滤波器,然后再通过脉冲响应不变法或双线性变换法,完成从模拟到数字的变换。常用的模拟滤波器有巴特沃斯(Butterworth滤波器、切比雪夫(Chebyshev滤波器、椭圆(Ellipse滤波器、贝塞尔(Bessel滤波器等,这些滤波器各有特点,供不同设计要求选用。滤波器的模

16、拟数字变换,通常是复变函数的映射变换,也必须满足一定的要求。频率变换(低通、高通、带通和带阻Lp2lp,lpp,lp22hp,lp2bbs模拟低通原型设计Buttap, cheb1ap归一化低通原型butterellip合为一设步cheby2ellipCheb2ap ellipapcheby1cheby2计频率须归一化buttercheby1besself转换成传输函数zp2tfbesself从模拟到数字变换:impinvar, Bilinear生成数字滤波器传输函数:sys = tf (b, a, T求最小阶数N和频率参数WnButtord, cheb1ord, Cheb2ord, elli

17、pord由于数字滤波器传输函数只与频域的相对值有关,故在设计时可先将滤波器设计指标进行归一化处理3。设采样频率为Fs,归一化频率的计算公式是:图1 经典法设计流程归一化频率=实际模拟角频率(rad / =实际数字频率=实际模拟频率(Hz s×Fs Fs /2利用典型设计法设计数字滤波器的步骤:(1将设计指标归一化处理。如果采用双线性变换法,还需进行预畸变。(2根据归一化频率,确定最小阶数N和频率参数Wn。可供选用的阶数选择函数有:buttord,cheblord,cheb2ord,ellipord等。(3运用最小阶数N设计模拟低通滤波器原型。模拟低通滤波器的创建函数有:buttap,

18、 cheblap, cheb2ap, ellipap和besselap,这些函数输出的是零极点增益形式,还要用zp2tf函数转换成分子分母多项式形式。如果想根据最小阶数直接设计模拟低通滤波器原型,可用butter, chebyl, cheby2, ellip, bessel等函数,只是注意要将函数中的Wn设为1。(4根据第2步的频率参数Wn,将模拟低通滤波器原型转换成模拟低通、高通、带通、带阻滤波器,可用函数分别是:lp21p, lp2hp, lp2bp, lp2bs。(5运用脉冲响应不变法或双线性变换法把模拟滤波器转换成数字滤波器,调用的函数是impinvar和bilinear。脉冲响应不变

19、法适用于采样频率大于4倍截止频率的锐截止低通带通滤波器,而双线性变换法适合于相位特性要求不高的各型滤波器。(6根据输出的分子分母系数,用tf函数生成H(z的表达式,再用freqz函数验证设计结果。设计实例:设计一个butterworth数字低通滤波器,要求通带临界频率fp=3400Hz,阻带临界频率fs=5000Hz,通带内的最大衰减Rp=2dB ,阻带内的最小衰减Rs=20db,采样频率Fs=22050Hz。用脉冲响应不变法设计的m 程序如下:clear;close all;clc; % 开始准备fp=3400;fs=5000;Fs=22050;R p=2;Rs=20;T=1/Fs; %设计

20、指标28湖南理工学院学报(自然科学版第20卷W1p=fp/Fs*2; W1s=fs/Fs*2; % 求归一化频率% 确定butterworth的最小阶数N和频率参数WnN, Wn = buttord(W1p, W1s, Rp, Rs, 's'z,p,k = buttap(N; %设计模拟低通原型的零极点增益参数bp,ap = zp2tf(z,p,k; % 将零极点增益转换成分子分母参数% 上两步也可用bp,ap=butter(N,1,'s'直接获取归一化低通原型bs,as = lp2lp(bp,ap,Wn*pi *Fs; %将低通原型转换为模拟低通bz,az =

21、 impinvar(bs,as,Fs % 用脉冲响应不变法进行模数变换sys=tf(bz,az,T % 给出传输函数H(zH,W=freqz(bz,az,512,Fs; % 生成频率响应参数plot(W,20*log10(abs(H; % 绘制幅频响应grid on; %加坐标网格程序运行结果(幅频响应图略:bz = -0.0000 0.0008 0.02 30 0.0607 0.0316 0.0032 0.0000az = 1.0000 -2.6672 3.66 71 -3.0760 1.6603 -0.5676 0.1126 -0.0099如果用双线性变换法完成上述设计实例,归一化频率需预

22、畸变处理,公式应修改为:W1p=2*tan(2*pi*fp*T/2/pi;W1s=2*tan(2*pi*fs*T/2/pi;当然,从模拟到数字的变换函数也应改为:bz,az = bilinear (bs,as,Fs程序运行结果:bz = 0.0047 0.0280 0.0700 0.0933 0.0700 0.0280 0.0047az = 1.0000 -1.9161 2.1559 -1.3866 0.5585 -0.1257 0.0125其它各型数字滤波器设计可参照进行,用到的MA TLAB函数可用help命令了解。3 IIR数字滤波器的完全设计法完全设计法是将典型设计法中的第3、4、5步

23、合为一步进行的设计方法,用到的函数有:butter, chebyl,cheby2, ellip和bessel。用type命令可知它们是利用双线性变换原理,预畸变在函数内部进行,且要求输入归一化频率参数,但不需要进行预畸变处理。上述设计实例如果用完全设计法设计,只须将第3、4、5的程序改为:bz,az = butter(N,Wn ;程序运行结果:bz = 0.0016 0.0109 0.0328 0.0546 0.0546 0.0328 0.0109 0.0016az = 1.0000 -2.4110 3.2031 -2.5741 1.3506 -0.4483 0.0869 -0.0075该结果

24、与典型设计法中双线性变换结果不同,是因为预畸变处理位置不同所致。4 IIR数字滤波器的最优设计法典型设计法和完全设计法都是经典设计法。如果设计的IIR数字滤波器频率特性有特殊要求,经典设计法往往显得无能为力,最优设计法在这些频率特性有特殊要求的场合很有用场。MA TLAB 提供了yulewalk和maxflat两个最优设计函数4。yulewalk函数以平方误差最小为设计准则,可设计出任意频率响应的数字滤波系统。调用格式为B,A=yulewalk(N, F, M,其中:向量F和M表示理想滤波器的幅频特性,F为归一化的频率向量,该向量中每一个元素都在0到1之间取值,而且元素必须递增排序,并要求第一

25、个元素为0,最后一个元素为1;M是对应F频率处的幅度,它是一个长度和F相同的向量。当确定理想滤波器的幅频响应后,为了避免通带到阻带的陡峭过渡,应该对过渡带进行多次的试验,以便得到最佳的滤波器。第3期张登奇,周婷:基于MA TLAB的IIR数字滤波器设计29如前述设计实例中指标可定义为:N=7;F=0,0.3084,0.4535,1;M=1,1,0,0;运行bz,az=yulewalk(N, F, M程序,结果是:bz = 0.0349 0.0618 0.0761 0.0602 0.0334 0.0161 0.0088 0.0148az = 1.0000 -2.4025 3.6134 -3.4805 2.4116 -1.1287 0.3402 -0.0473Maxflat函数以频率特性平滑为目标,可设计出分子分母阶数不同,甚至高于分母阶数的butterworth数字低通滤波器,以满足频率特性的平滑要求。调用格式为B,A= maxflat(NB, NA, Wn,其中:NB和NA是设定的分子分母阶数,Wn为衰减3dB归一化频率。5 IIR数字滤波器的工具设计法工具设计法是利用MA TLAB提供的滤波